暑假小升初数学衔接班教材讲义(1)

1 2013 年暑假小升初数学衔接班教材讲义 主编 目 录 第一讲 认识有理数 2 第二讲 数轴与相反数 8 第三讲 数轴与绝对值 15 第四讲 有理数的加法 21 第五讲 有理数的减法 28 第六讲 有理数的加减混合运算 33 第七讲 有理数的乘法 40 第八讲 有理数的除法 48 第九讲 有理数的乘方 54 第十讲 有理数的混合运算 60 第十一讲 复习有理数及其运算 一 64 第十二讲 字母表示数 67 第十三讲 代数式 71 第十四讲 复习有理数及其运算 二 75 第十五讲 期末考试检测试卷 80 第十六讲 初中数学启蒙教育 初中数学的学习方法与学习习惯 2 第一讲 认识有理数 一 学习目标 1 了解与负数是从实际需要中产生的 2 理解正数与负数的概念 并会判断一个数是正数还是负数 3 初步会用正负数表示具有相反意义的量 4 在负数概念的形成过程中 培养学生的观察 归纳与概括能力 二 重点与难点 1 正数与负数的概念和有理数的分类 三 学习过程 正数与负数 同学们 到目前为止 我们学过的数有哪些呢 在小学时我们学过像 1 9 3 81 12 56 这样的数 在小学时 老师给我 3 2 4 3 6 们说 它们分别是整数 小数 分数 进入初中以后 我们把像 1 9 3 81 12 56 3 2 这样的数叫 如果我们把在小学学过的整数 小数 分数前面加一个 4 3 6 比如像这些数 3 2 1 0 58 我们把它们叫 4 1 为什么有正数和负数的存在呢 我们来看一下面的问题 把下列具有相反意义的量有用线边起来 1 收入 20 元 前进 100 米 后退 100 米 支出 20 元 高于海平面 155 米 亏损 6 万元 盈余 6 万元 低于海平面 155 米 2 零上 10 运出 50 筐梨C 高于海平面 8848 米 低于海平面 392 米 运进 80 筐梨 零下 5C 学习与归纳 为了表示具有相反意义的量 我们通常把其中一个数前面加上 号 把另一 个数前面加上 号来进行区分 前面带 号的数叫做正数 前面 的 号经常可以省略不写 前面带 号的数叫做负数 前 面的 号不可以省略 既不是正数也不是负数 是正数和负数的分界点 大于零 小于零 正数 一切负数 3 现在我们就把正数与负数的概念总结如下 像 这样的数叫做正数 它们都比大 52 1 2 1 0 在正数前面加上 号的数叫做负数 如 13 6 1 3 2 既不是正数 也不是负数 0 同学们 对于数学概念我们要在具体的实例中来理解 现在我们就来体会 并理解它们吧 典型例题讲解 理解新知识 例 1 填空 1 如果收入 50 元记作元 那么支出 50 元 记作 元50 80 表示 2 手表的指针顺时针旋转记作 那么逆时针旋转则记作 90 90 60 3 如果比海平面高规定为正 那么珠穆朗玛峰海拨 8848 米记作 吐鲁 番盆地海拨米表示 155 变式练习 判断题 1 前进 100 米和前进 30 米是两个相反意义的量 2 前进 100 米和后退 100 米是两个相反意义的量 3 零上 10和支出 20 元是两个相的反意义的量 C 解题方法点拨 1 用正数和负数表示具有相反意义的量时 可以根据实际 规定哪种意义的量为正 数 那么具有相反意义的量就为负数 2 一般情况下 正 负规定如下 符号具有相反意义的量 收入盈余上升零上向东增加 支出亏损下降零下向西减少 有理数及其分类 试一试 把下列各数分别填在相应的大括号内 7 106 31 25 25 9 10 9 27 4 15 15 7 301 5 3 0 2 1 10 3 1 4 正整数集合 4 负整数集合 整数集合 正分数集合 负分数集合 有理数集合 学习归纳 像 1 2 3 4 5 这样的数叫 像 这样的5 4 3 2 1 数叫 0 统称为整数 像 0 8 的数叫 像 0 8 的数叫 2 1 4 5 3 2 7 2 1 4 5 3 2 7 统称为分数 和 统称为有理数 有理数常用的两种分类方式 注意 在所有含 正 负 字眼的集合中 都不能出现 0 因为 0 既不是正数也 不是负数 在有理数的分类中 未出现小学学过的 小数 自然数 是因为有 理数中的小数都可以化成分数的形式 而 自然数 又包含在整数的范围内 典型例题讲解 理解新知识 例 2 把下列各数填在相应的括号内 1 62 4 0 1 7 5 3 1 1 6 1 7 3 71 1 正整数集合 2 分数集合 3 负数集合 4 有理数集合 5 5 非负数集合 解题方法点拨 认识有理数 我们只要根据概念直接理解就可以了 同时 我们也要注意以下几点 1 不是正数也不是负数 它是正数和负数的分界 更是一个整数 0 2 正数集合包括正整数 正分数 整数集合包括正整数 和负整数 不是有理数 0 但是有理数哦 14 3 3 通常把正数和统称为非负数 负数和统称为非正数 正整数和统称为非负整数000 也叫做自然数 负整数和统称为非正整数 0 4 在对有理数进行分类时 必须按同一标准进行分类 不能混淆标准 基础导学练习 理解新知识 1 统称整数 分数有 和 统称有理数 2 珠穆朗玛峰高出海平面 8 848km 记为海拔 8 848km 那么吐鲁番盆地低于海平面 155m 应记为海拔 3 如果从成都出发向西走 175km 记作 175km 那么 120km 表示 4 关于 0 的叙述错误的是 A 零大于所有的负数 B 零小于所有的正数 C 零是整数D 零既是正数 也是负数 5 3 不是 A 有理数B 自然数C 负整数D 整数 6 负数是指 A 把某个数的前边加上 号 B 不大于 0 的数 C 除去正数的其它数 D 小于 0 的数 7 非负数是 A 正数 B 零 C 正数和零D 自然数 8 下列四句话中 错误的是 A 存在最小的自然数 B 存在最小的正有理数 C 不存在最大的正有理数 D 不存在最大的负有理数 9 在 0 8 10 19 3 3 4 中整数的个数是 2 1 5 1 A 6 B 5 C 4 D 3 10 关于 0 的一些说法正确的有 将序号填在横线上 0 既不是正数也不是负数 0 是最小的自然数 0 是最小的正数 0 是最 小的非负数 0 既不是奇数也不是偶数 0 是整数 6 11 最小的自然数是 最大的负整数是 12 下列各关系中 不具有相反意义的量的是 A 物价上涨 3 元与下降 2 元 B 收入增加 6 9 和减少 3 4 C 升温 5与降温 5 D 亏本 10 元与胜利 10 场 C C 13 零上比零下高 C 5C 3C 14 有七个数 其中正数有 个 负整5 0 3 1 21 0 3 4 4 1 14 3 数有 个 非负数有 个 15 地图上标有甲地海拔高度 34 米 乙地海拔高度 23 米 丙地海拔高度米 其中最12 低处为 地 最高处为 地 它们相差 米 16 某次考试成绩 90 分以上为优秀 以 90 分不标准把三名同学的成绩记为 5 0 10 那么这三名同学的实际成绩分别为 17 写出 3 个大于的负分数 1 课后阶梯练习 巩固新知识 A 组练习题 1 1 如果零上 5记作5 那么零下 3记作 C C C 2 东 西为两个相反方向 如果米表示一个物体向西运动 4 米 那么 2 米表示 4 物体原地不动记为 2 1 如果节约了 15 万元记作万元 那么浪费了 6 万元 记作 15 2 有理数中 最小的正整数为 最大的负整数为 3 1 如果节约 20 千瓦时电记作 20 千瓦时 那么浪费 10 千瓦时电记作 2 如果 20 表示增加 20 那么表示 6 3 如果元表示亏本 20 50 元 那么 100 27 表示 50 20 4 下列说法中错误的是 A 正有理数是正整数和正分数的统称 B 偶数包括正偶数 负偶数和零 C 整数是正整数和负整数的统称 D 是最大的负整数 1 5 在 4 个不同时刻 对同一水池中的水位进行测量 记录如下 上升 3 厘米 下降 6 厘米 下降 1 厘米 不升不降 如果上升 3 厘米记为 3 厘米 那么其余 3 个记录分别记为什么 7 6 把下列各数 10 43 031 0 2107 0 5 4 2 13 12 9 63 6 5 2 1 填入它所属于的集合内 正数集合正数集合 负数集合负数集合 整数集合整数集合 负分数集合负分数集合 非正数集合非正数集合 B 组练习题 1 某日傍晚 黄山风景区的气温由中午的零上 2下降了 7 这天傍晚黄山风景区的C C 气温是 2 冬季某天北京的气温是 长春气温是 气温比 气温低 C 10C 18 3 下例说法 正有理数和负有理数统称为有理数 存在最小的整数 存在最小的自 然数 表示什么也没有 正数 负数统称为有理数 是最小的正00 数 既不是整数也不是分数 是最小的整数 最小的正整数是00 1 正确的序号是 4 按规律 写出后面的 3 个数 并指出第 199 个数是什么 1 第 199 个数是 1 3 1 5 1 7 1 2 第 199 个数是 21 31 41 5 一名足球守门员练习折返跑 从守门员位置出发 向前记作正数 返回记作负数 他的 记录如下 单位 米 5 3 10 8 6 12 10 1 守门员是否回到守门的位置 2 守门员离开守门的位置最远是多少 3 守门员离开守门位置达 10 米以上 包括 10 米 的次数是多少 6 某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示 单位 万元 月份一月二月三月 8 收入324850 支出121310 请问 1 该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元 2 如果收入用正数表示 则总收入与总支出应如何表示 3 该公司第一季度利润为多少万元 C 组练习题 1 下列说法不正确的是 A 0 既不是正数也不是负数 B 一个有理数不是整数就是分数 C 一个整数 不是正的就是负的 D 一个分数 不是正的就是负的 2 两个圈分别表示正数集合和整数集合 你能说出图中表示的是什么数集合吗 3 写出 6 个有理数 不能重复 且同时满足下列三个条件 1 6 个数中有四个非正数 2 6 个数中有 3 个负整数 3 6 个数中有 2 个正整数 第二讲 数轴与相反数 一 学习目标 1 掌握数轴的概念 数轴的三要素 2 知道数轴上的点与有理数的关系 3 会用数轴上的点表示有理数 并会比较数的大小 4 掌握相反数的概念 会求一些数和代数式的相反数 二 重点与难点 数轴和相反数的具体运用 数轴 正数集合负数集合 9 联系生活 创设情景 1 观察一下右边的温度计 你会读吗 2 在一条东西向的马路上 有一个汽车站 汽车站东 3 m 和 7 5m 处分别有一棵柳树和一 棵 杨树 汽车站西 3m 和 4 8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆 试画图表示这一情景 电线杆 槐树 汽车站 柳树 杨树 知识链接 抽象概念 1 观察一下直尺 直尺上哪边的数大 哪边的数小 有理数可以用直线上的点来表示吗 2 同学们 请结合问题情景 回答下面的问题 数轴的画法 第一步 画一条 在 上任取一个点表示数 这个点叫做 0 第二步 规定从原点向右的为 方向 那么相反的方向 从原点向左 则为负方向 第三步 选择适当的长度为 从直线上原点向右 每隔一个单位长度取一个 点 依次表示 1 2 3 从原点向左 用类似方法表示 1 2 3 通过上面问题引导 我们将会得到下面的图形 我们把这个图形叫数轴 在这条数轴上 可以用位于原点右边 3 个单位长度的点表示 可以用位3 2 于 原点左边 2 个单位长度的点表示 学习归纳 数轴的定义 像这样 规定了 和 的直线叫做数轴 想一想 10 10 15 20 25 0 5 5 10 15 25 20 10 10 15 20 25 0 5 5 10 15 25 20 10 10 15 20 25 0 5 5 10 15 25 20 10 用数轴上的哪个点表示 呢 4 1 5 1 导学练习 1 下列所画数轴对不对 如果不对 指出错在哪里 4 5231 102 3 1 1 2 021 0 101 1 2 0 3 21 2 图中 A B C D 分别表示什么数 3 写出数轴上点 A B C D E 所表示的数 利用数轴比较数的大小 4 画一条数轴 并在数轴上标出表示下列各数的点 1 2 3 5 2 5 0 1 2 3 5 思考 0 1 0 01 0 001 0 00 01 能在数轴上表示吗 在第 1 题中 BC 之间有多少个点 每一个点都能用有理数表示吗 0 右侧的数一定比左侧的数大吗 学习归纳 1 任何一个有理数都可以用 上的一个点来表示 但数轴上的每个点 不一定都可以用 表示 2 数都在原点右侧 数都在原点左侧 就是原点 一般地 设 a a 是一个正数 则数轴上表示数 a 的点在原点的 边 与原点的距离是 a 个 单位长度 表示数 a a 的点在原点的 边 与原点的距离是 a 个单位长度 11 23 1 2 3 1 0 DC BA 3 数轴上两个点所表示的数 右边的总比左边的大 正数大于 0 负数小于 0 正数大于负数 导学练习 1 比较下列每组数的大小 1 10 7 2 3 5 1 3 4 3 8 4 1 2 1 4 1 2 在四个数 0 2 1 2 中 最小的数是 A 0 B 2 C 1 D 2 相反数 想一想 与有什么相同点和不同点 它们在数轴上的位置有什么关系 和 22 2 3 2 3 和呢 请你用数轴来探究这个问题 55 学习归纳 1 如果两个数只有 不同 那么我们称其中一个数为另一个数的相反数 也称这 两个数 特别地 的相反数是 0 2 在数轴上 表示互为相反数的两个点 位于原点的 并且与原点的 距离 3 相反数的性质 导学练习 1 如图所示 表示互为相反数的点是 A 点 A 和点 D B 点 B 和点 C C 点 A 和点 C D 点 B 和点 D 2 如果 a 与 3 互为相反数 那么 a 等于 A 3 B 3 C D 1 3 1 3 3 的相反数是 的相反数是 0 的相反数是 2 3 1 5 4 若 a 的相反数是 b 则下列结论正确的是 A a b B a b 0 12 C a 和 b 都是正数 D a 是正数 b 是负数 5 在数轴上到原点距离等于 2 的点所对应的数是 这两点之间的距离是 典型例题讲解 理解新知识 题型一 求一个数的相反数 例 1 求出下列各数的相反数 把其相反数在数轴上表示出来 并用 连接起来 2 1 5 05 3 4 1 3 解题方法点拨 1 在画数轴时 一定要注意标明原点 正方向和单位长度 三者缺一不可 2 一般地 利用数轴比较几个数的大小 可利用 数轴上两个点表示的数 右边的总比 左边的大 这一性质进行比较 例 2 化简下列各数的符号 2 1 5 3 1 5 解题方法点拨 多重符号化简 只需考虑负号的个数 而不必考虑有几个正号 当负号的个数为偶数 时 最后符号为正 当负号个数为奇数时 最后符号为负 正号可以省略不写 例 3 1 的相反数是 相反数是 相反数是 10 3 1 50 2 的相反数是 的相反数是 2 1 3 3 1 2 3 的相反数是 的相反数是 aba 的相反数是 ba 13 解题方法点拨 1 求一个数的相反数时 我们可以根据相反数的定义 在这个数前面添上一个 号 2 当一个数有多重符号时 我们可以先化简 再求这个数的相反数 题型二 相反数的性质 例 4 若的相反数是 求的值 62 x3 x 变式练习 若与互为相反数 求的值 13 x92 xx 解题方法点拨 相反数是成对出现的 不能单独存在 根据相反数定义可知 互为相反数的两个数和 等于 我们可以利用这一性质列出方程 求解未知数的值 0 题型三 数轴上的动点问题 例 5 数轴上的点 A 到原点的距离是 6 则点 A 表示的数为 变式练习 在数轴上 点 P 表示的数是 从 P 点出发 沿数轴移动 4 个单位到达点 Q 则点 Q 所2 表示的数为 14 解题方法点拨 在数轴上 到某一个点的距离 不为 0 的数有两个 它们分别在这个点的两侧 且到这 个点的距离相等 课后阶梯练习 巩固新知识 A 组练习题 1 比较下列每组数的大小 1 2 3 4 8 3 2 1 3 3 2 4 7 5 5 2 2 1 0 2 的相反数是 的相反数是 的相反数是 3 5 3 2 3 2 6 3 数轴上的点 A 到原点的距离是 3 则点 A 表示的数是 4 到的距离是 3 的点表示的数是 1 5 在 这三个数中 离原点最远的点表示的数是 其中数5 4 3 5 3 2 5 最小 的相反数最大 6 如图 若 A 是实数 a 在数轴上对应的点 则关于 a a 1 的大小关系表示正确的是 A a 1 a B a a 1 C 1 a a D a a 1 7 下列说法正确的是 A 带 号 和带 号的数互为相反数 B 数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数 C 和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数 D 一个数前面添上 号即为原数的相反数 8 的相反数是 2 1 A B C D 2 2 1 2 2 1 9 求下列各数的相反数 1 2 3 4 5 5 5 3 2 3 2 1 14 3 01 A 第 6 题图 15 10 计算 1 2 3 2004 1 2 3 2004 B 组练习题 1 若的相反数是 则 2 a5 a 2 大于小于 2 的整数有 5 4 3 在数轴上 点 A B 分别表示和 2 则线段 AB 的长度是 5 4 当和互为倒数 和互为相反数时 则 abmn abnm 2 3 5 如果的相反数是最大的负整数 的相反数是最小的正整数 则 ab ba 6 数轴上 A 点表示 B C 两点表示的数互为相反数 且点 B 到点 A 的距离是 2 则3 点 C 表示的数应该是 7 如果和是符号相反的两个数 在数轴上所对应的数和所对应的点相距 6 个单位abab 长度 如果 则的值为 a2 b 8 如图是一个正方形纸盒的展开图 在其中的四个正方形内标有数字 1 2 3 和 3 要在 其余的正方形内分别填上 1 2 使得按虚线折成的正方体后 相对面上的两个数互 为相反数 则 A 处应填 9 一个数在数轴上所对应的点向左移 6 个单位后 得到它的相反数的点 则这个数是 A 3 B 3 C 6 D 6 10 如果 2 x 3 与 3 1 x 互为相反数 那么 x 的值是 A 8 8 C 9 D 9 11 如果 a 的相反数是 2 且 2x 3a 4 求 x 的值 16 12 若与互为相反数 与互为倒数 且 求的值 abxy 2 m 20133 ba m xy 第三讲 数轴与绝对值 一 学习目标 1 深刻理解绝对值的意义 2 会解决关于绝对值的有关问题 3 掌握数轴上的点与绝对值的关系 二 重点与难点 绝对值的具体应用 绝对值及其性质 观察图形 探究知识 在图中 我们能得到下面的信息 1 小兔子在数轴上表示的数为 这个数到原点的距离为 2 两只小狗在数轴上表示的数分别是 3 与 3 我们知道 3 与 3 是相反数 它们只有符号 不同 它们什么相同呢 答 它们到原点的距离 都等于 学习归纳 在数轴上 一个数所对应点与原点的 叫做这个数的绝对值 导学练习 1 3 的绝对值是表示 3 的点到原点的距离 3 的绝对值是 记作 33 3 的绝对值是表示 3 的绝对值是 记作 2 12 3 2 5 5 0 学习归纳 1 一个正数的绝对值是它 一个负数的绝对值是它的 0 的绝对值是 即 17 当是正数时 当是负数时 当是零时 a a a a a a 2 如果表示有理数 那么表示 aa 从而可知 是一个 数或 即是一个非负数 aa 3 若 为有理数 且 则 ab0 ba a b 4 互为相反数的两个数的绝对值 即 若 则 6 a a 利用绝对值比较两个负数的大小 做一做 1 在数轴上表示下列各数 并比较它们的大小 5 1 3 1 5 2 求出 1 中各数的绝对值 并比较它们的大小 3 你发现了什么 学习归纳 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 典型例题讲解 理解新知识 题型一 利用绝对值求有理数 例 1 1 若 则 2 x x 2 若 则 312 x x 变式练习 1 已知 且 求 的值 2 a3 bba ab 2 已知 且 求 的值 2 a3 babba ab 18 解题方法点拨 绝对值为一个正数的数有两个 它们互为相反数 我们可以根据这一性质列出方程 求出未知数的值 题型二 利用非负数和为 0 求值 例 2 已知 求和的值 032 baab 变式练习 若 求的值 0132 zyxzyx 解题方法点拨 绝对值具有非负性 任何一个数的绝对值都大于或等于零 即 因此 非负数具有0 a 一重要性质 非负数的和等于零 即 若 则且 0 ba0 a0 b 题型三 化简绝对值 例 3 1 2 7 2 1 2 2 当时 化简 21 x1 x21 xx 19 变式练习 1 计算 8 3 16 11 2324 2 计算 99 1 101 1 100 1 101 1 99 1 100 1 解题方法点拨 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的相反数 的绝对值是 当我们化简一个00 数的绝对值时 一定要判定这个数与的大小关系 0 基础导学练习 理解新知识 1 1 的相反数是 绝对值是 7 2 某数的绝对值是 5 则这个数是 3 化简 3 2 2 绝对值小于 3 的整数有 个 它们分别是 3 下列各对数中 互为相反数的是 A 与 B 与 7 7 2 1 5 0 C 与 D 与 4 1 1 5 4 01 0 100 1 4 在数轴上表示下列各数 并求出它们的绝对值 2 3 63 4 5 8 2 5 比较下列各组数的大小 1 2 3 4 10 1 7 2 5 0 3 2 0 3 2 7 7 20 6 计算 1 2 2 63 49 2 5 3 4 8 3 16 11 3 14 3 2 课后阶梯练习 巩固新知识 A 组练习题 1 对应点到原点的距离是 所以 5 5 2 若 则 3 m m 3 比较大小 1 6 5 7 5 6 5 3 8 8 4 计算 5 5 36 2324 5 绝对值最小的数是 绝对值等于 1 的数是 绝对值小于 3 的整 数有 绝对值小于 3 的自然数有 绝对值不大于 3 的 整数有 6 数在数轴上的位置如图所示 则 a 2a a 1 2 1 0 7 1 若 则 2 若 则 7 x x12 x x 8 如果 则 3 a 3a a3 9 已知 那么 032 yx x y 10 下列说法正确的是 A 绝对值相等的数相等 B 不相等两数的绝对值不等 C 任何数的绝对值都是非负数 D 绝对值大的数反而小 11 在 0 中 负数有 1 2 2 4 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 12 下列说法中错误的是 A 一定大于 0 B 一定是非负数 1 xa 21 C 若取最小值 则 D 一定是正数 1 b1 bba 13 1 对于式子 当取什么值时 有最小值 最小值为多少 13 xx 2 对于式子 当取什么值时 有最小值 最小值为多少 53 xx B 组练习题 1 若 则数在数轴上对应点在 aa a A 原点的左侧 B 原点或原点的左侧 C 原点的右侧 D 原点或原点右侧 2 下列各式成立的是 A 若 则 B 若 则 nm nm nm nm C 若 则 D 若 则 nm nm 0 nmnm 3 已知在数轴上的 A 点到原点的距离是 2 那么在数轴上到 A 点的距离是 3 的点所表示 的数是 4 若 则的取值范围是 033 aaa 5 若 化简 02 a 22aa 6 若 则 2 a25 b0 ab ba ba 7 已知 则的值为 0 ab ab ab b b a a 8 有理数 在数轴上的位置如图所示 化简 abc ccabba 22 0 2 bac 9 计算 9 1 10 1 4 1 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 22 10 已知与互为相反数 求代数式的值 2 ba 12 2 ab 1 3 3 2 ba ab ab ba 第四讲 有理数的加法 一 学习目标 1 掌握有理数加法法则 能进行准确的计算 二 重点与难点 有理数加法的法则和加法运算律的灵活运用 有理数的加法法则 知识链接 探究新知 同学们 请计算下面各题 3020 105 3515 上面三个计算题 是同学们在小学时学过的整数加法 比较容易 现在我们就从这三个简 单的计算开始 进一步探究并学习有理数的加法 现在我们就用数轴来形象生动地表达上面的三个计算题 1 50 3020 生活情景 1 小明沿着一条东西走向的跑道步行 先向东走了 20 米 再向东走了 30 米 请 你确定小明现在位于原来位置的哪个方向 相距多少米 为了把问题说明更明确些 我们规定向东的方向为正 向西的方向为负 原来的位置 2 15 105 生活情景 2 小明沿着一条东西走向的跑道步行 先向东走了 5 米 再向东走了 10 米 请 你确定小明现在位于原来位置的哪个方向 相距多少米 为了把问题说明更明确些 我们规定向东的方向为正 向西的方向为负 原来的位置 3 50 3515 生活情景 3 小明沿着一条东西走向的跑道步行 先向东走了 15 米 再向东走了 35 米 请 你确定小明现在位于原来位置的哪个方向 相距多少米 23 为了把问题说明更明确些 我们规定向东的方向为正 向西的方向为负 原来的位置 请同学们在上面探究过程的基础上解决下面的问题 请同学们在上面探究过程的基础上解决下面的问题 1 计算下面各题 计算下面各题 21 18 32 16 12 10 2 计算下面各题 计算下面各题 15 6 8 17 23 10 5 5 12 0 想一想 议一议 两个有理数相加 和的符号怎样确定 和的绝对值怎样确定 一个数同 0 相加 和是多少 学习归纳 有理数加法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时和为 0 绝对值不等时 取绝对值较大的数 的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一个数同 0 相加 仍得这个数 我们可以把有理数加法法则进一步总结如下 有理数加法法则 三步曲 一定类型 二定符号 三定绝对值 第一步 确定有理数加法的类型 同号两数相加 异号两数相加 第二步 确定计算结果的符号 第三步 确定计算结果的绝对值 导学练习 计算下面各题 25 14 39 21 38 29 24 13 45 108 86 56 32 6 5 3 2 4 3 12 11 75 4 2 1 3 有理数加法的运算律 同学们 我们在小学学过的加法交换律和结合律在中学阶段仍然可用 现在我们就来 学习利用加法交换律和结合律简化计算 典型例题赏析 例 1 计算 1 2 4 3 2 75 0 2 1 17 4 1 28 解 1 法一 2 2 0 4 3 2 4 3 4 3 2 4 3 4 3 2 75 0 法二 2 75 0 2 75 0 75 2 75 0 4 3 2 75 0 2 2 1 17 4 1 28 2 1 17 4 1 28 2 1 4 1 17 28 4 1 11 4 1 1 10 4 3 10 4 3 10 例 2 计算 1 2 30 5 712 2 6 1 2 1 6 5 1 2 1 2 解 1 2 2 30 5 712 6 1 2 1 6 5 1 2 1 2 30 5 2712 6 1 6 5 1 2 1 2 1 2 25 35 21 6 1 6 5 1 2 1 2 1 2 14 23 1 典型例题讲解 理解新知识 题型一 带分数的加法 例 1 计算 1 2 4 5 4 3 8 2 1 17 4 1 28 解题方法点拨 1 当分数和小数相加时 我们可以把小数化成分数 然后按照分数的加法法则进行计算 也可以把分数化成小数 然后按照小数加法的法则进行计算 2 带分数相加时 我们可以把带分数拆成整数部分与分数部分的和 然后整数部分与分 数部分分别相加 最后把结果相加 题型二 多个数的有理数加法 例 2 计算 1 18 16 14 26 2 10 3 2 8 0 2 1 10 3 2 解题方法点拨 1 同号两数相加 可以简化计算 2 互为相反数的两个数相加 可以简化计算 例 3 1 4 1 3 2 1 5 3 1 2 3 2 4 4 1 5 75 8 2 1 9 25 8 2 14 3 4 1 7 2 1 75 2 24 26 43 26 解题方法点拨 1 同分母分数相加 可以简化计算 2 能凑成整数或整十的数相加 何以简化计算 基础导学练习 理解新知识 1 计算 1 2 21 17 21 29 3 4 28 17 0 13 2 计算 1 2 10 6 3 10 3 2 3 2 5 6 1 2 3 4 8 3 3 25 4 2 1 5 3 5 6 3 1 2 3 2 3 4 1 3 6 2 3 计算 1 2 8 32 40 3 34 47 56 13 27 3 4 43 27 77 43 72 1652 26 5 6 5 39 5 18 2 3 5 2 2 1 3 7 75 0 2 7 4 3 3 4 5 3 课后阶梯练习 巩固新知识 A 组练习题 1 计算 1 2 7 25 5 13 3 4 0 23 45 45 5 6 10 6 3 10 3 2 3 2 5 6 1 2 2 如果两个异号的有理数的和是负数 那么这两个数中至少有一个数是 数 且 它的绝对值较 4 两个数相加的和小于每一个加数 那么一定是 A 两个加数同为正数 B 两个加数同为负数 C 两个加数的符号不同 D 两个加数中有一个是零 5 下列说法正确的是 A 同号两数相加 其和比加数大 B 两数相加 等于它们的绝对值相加 C 异号两数相加 其和为 0 D 两个正数相加和为正数 两个负数相加 和为负数 6 计算 1 2 65 15634 25 68 23 17 64 3 7 6 7 6 4 2 6 3 4 2 3 1 5 2 3 28 5 6 0215313 3 2 1 4 1 2 3 2 3 4 1 3 B 组练习题 1 当 时 1 2 3 a10 b7 c aaa cba 2 已知是最小的正整数 是的相反数 的绝对值为 3 则的值为 abaccba 3 有下列说法 两数相加和为正数时 这两个数均为正数 两数相加和为负数时 这 两个数均为负数 两个有理数的和可能等于其中的一个加数 两个有理数的和可 能等于 0 其中 正确的有 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 4 用简便方法计算 1 2 25 0 8 7 8 1 3 4 1 3125 0 3 1 12 7 3 3 2 23 4 3 4 8 5 1 2 1 475 0 8 3 3 4 3 20 7 42 2 1 1 20 13 57 2 1 1 5 已知有理数 在数轴上的对应点如图所示 且 则abcba 29 0 acb 1 2 3 4 ba ba ca cb 6 计算 2003 1 2004 1 4 1 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 第五讲 有理数的减法 一 学习目标 1 计算掌握有理数减法法则 能进行准确 二 重点与难点 减法转化成加法 有理数的减法法则 计算下列各式 20 50 2050 10 50 1050 050 050 1050 10 50 2050 20 50 通过上面的计算 你能得出什么结论 有理数减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 导学练习 计算下面各题 7 3 3 10 29 30 120 5 11 5 1 2 1 4 1 30 4 3 4 5 3 2 1 1 3 2 0 8 3 6 学习归纳 做有理数的减法运算时 要先按照有理数的减法法则 将减法转化为加法 然后按加 法法则进行计算 典型例题赏析 例 计算 1 2 5 1 3 2 4 3 12 5 3 1 解 1 5 1 3 2 6 5 6 9 6 4 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 6 7 6 2 6 7 3 1 4 3 12 5 3 1 4 3 12 5 3 1 典型例题讲解 理解新知识 题型一 有理数的减法运算 例 1 计算 1 5 3 3 6 0 3 4 5 2 1 3 2 1 2 5 1 11 10 1 5 2 6 解题方法点拨 做有理数的减法运算时 要先按照有理数的减法法则 将减法转化为加法 然后按加 法法则进行计算 例 2 数轴上 A B 两点表示的有理数分别是和 求 A B 两点间的距离 5 1 5 2 31 解题方法点拨 求数轴上两点间的距离就是求这两点所表示数差的绝对值 通常我们是用较大的数减 去较小的数 这样可以减少绝对值带来的麻烦 题型二 有理数减法运算与化简绝对值 例 3 计算 2012 1 2013 1 5 1 6 1 4 1 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 基础导学练习 理解新知识 1 计算 1 2 16 4 27 33 3 4 0 11 9 0 5 6 18 24 12 16 87 72 27 32 7 8 2 8 10 3 12 4 4 2 填空 1 在括号内填上适当的数 721 3185 37 21 4056 2 在横线上填上适当的运算符号 2 1 4 1 4 1 8 1119 8 5 8 3 4 1 12 57 3 比小的数是 比大 7 的数是 比 0 小的数是 3 55 6 32 4 数轴上表示数 2 的点与表示的点之间的距离是 7 5 下列说法正确的是 A 减去一个数 等于加上这个数 B 零减去一个数 仍得这个数 C 两个互为相反数的数相减得 0 D 在有理数减法中 被减数不一定比差大 6 计算 1 2 5 1 3 5 2 2 5 1 75 1 3 2 1 4 1 1 3 2 7 已知 求的值 3 a5 b7 ccba 课后阶梯练习 巩固新知识 A 组练习题 1 计算 3 5 12 20 6 24 1 3 1 2 1 1 88 2 1 30 5 1 3 2 27 23 2 室内温度是 20 室外温度是 室内温度比室外温度高 C C 1C 3 若 则等于 0 x xx A B C D x 0 x2x2 4 把改成只含加法的式子是 7 1520 A B 731520 731520 C D 7 3 15 20 73 15 20 5 计算 1 2 4 1 2 1 4 3 5 2 2 1 4 1 33 3 4 125 1 3 1 6 1 2 1 4 3 3 2 1 22 3 5 6 153 4 142 6 3 1 6 5 1 3 2 3 3 1 2 6 已知 且 异号 求的值 2 a6 babba B 组练习题 1 计算 99971197531 2 已知 则的值是 031 yx 2 1 xy 3 已知 则化简 0 m mmm 4 12 的和比它们绝对值的和小 7 12 A B C D 44 38 38 5 如果 则 的关系是 0 nmmn A 互为相反数 B 且nm 0 n C 相等且都小于 0 D 是的绝对值mn 6 计算 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 2 1 7 2011 山东济宁 观察下面的变形规律 34 1 21 1 1 232 1 1 23 1 43 1 3 1 4 1 解答下面的问题 1 若 n 为正整数 请你猜想 1 1 nn 2 证明你猜想的结论 将证明过程写在横线上 3 求和 21 1 32 1 43 1 20102009 1 第六讲 有理数的加减混合运算 一 学习目标 1 熟练应用有理数加法法则 2 能将减法准确的转化成加法 3 能熟练应用加法法则进行运算 二 重点与难点 理解减法转化成加法的原理 有理数的混合运算法则与代数和 同学们 我们先看一下下面的实例 35 典型例题赏析 例 计算 3 2 2 1 6 1 4 3 解法一 加减混合运算可以统一成加法运算 3 2 2 1 6 1 4 3 同号的数结合在一起相加 2 1 6 1 3 2 4 3 12 8 12 17 4 3 解法二 加减混合运算可以统一成加法运算 3 2 2 1 6 1 4 3 代数和 省略加号和括号不写 性质符号不省略 3 2 2 1 6 1 4 3 2 1 6 1 3 2 4 3 12 8 12 17 4 3 典型例题讲解 理解新知识 例 1 计算 1 65 24 38 7 36 2 2 1 12 7 3 5 4 2 3 4 解题方法点拨 做有理数加减混合运算时 首先将减法运算转化为加法运算 然后按照加法的的运算 法则进行运算 例 2 计算 1 8 1 3 4 1 4 2 1 5 8 7 4 2 7 23 8 7 5 7 7 2 4 1 3 解题方法点拨 在进行有理数加减混合运算时 应先统一成加法 然后观察算式的特征 适当交换加 数的位置 运用加法交换律和结合律简化运算 正 负数的实际应用 水位的变化 例 3 七名学生的体重 以 48 0 为标准 把超过标准体重的千克计记为正数 不足的千 克记为负数 将其体重记录如下表 37 学生1234567 与标准体重之差 3 0 1 5 0 8 0 5 0 2 1 2 0 5 1 最接近标准体重的学生体重是多少 2 求七名学生的平均体重 3 按体重的轻重排列时 恰好居中的是哪个学生 针对性练习 下表是某一周某种股票每天的收盘价 收盘价 股票每天交易结束时的价格 时间星期一星期二星期三星期四星期五 收盘价 元 股 13 413 4 比前一天涨跌 元 股 0 01 0 02 0 06 0 25 1 填表 并回答哪天收盘价最高 哪天收盘价最低 2 最高价与最低价相差多少 解题方法点拨 水位变化问题是有理数的加减混合运算的实际应用问题 要理解正号负号的意义 正 号表示比某一参考水位上升 负号表示比某一参考水位下降 参考对象必须是某一具体的 值 基础导学练习 理解新知识 38 1 计算 1 2 5 2 2 1 4 1 7 15 1530 3 4 2 1 6 5 4 3 3 1 3 12 1530 5 6 4 3 3 2 3 2 12 9 15 8 2 计算 1 2 18 16 14 26 3 2 8 0 2 1 3 2 3 4 15 5 12 32 5 1 11 10 1 5 2 6 5 6 5 3 3 6 0 3 4 5 2 1 3 2 1 2 1 8 75 3 4 1 3 5 0 课后阶梯练习 巩固新知识 39 A 组练习题 1 计算 7 23 9 6 2 的相反数是 的相反数是 的相反数是 3 5 3 2 yx 3 某一河段的警戒水位为 50 2 米 最高水位为 55 4 米 平均水位为 43 5 米 最低水位为 28 3 米 如果取警戒水位作为 0 点 则最高水位为 平均水位为 最低 水位为 高于警戒水位取正数 4 把 2 5 3 1 写成省略括号的和的形式是 5 将式子写成省略加号的和的形式为 7 4 8 A B C D 748 748 748 748 6 计算 3 5 2 5 15 8 3 8 7 2 1 3 2 7 3 5 3 7 1 5 2 2 1 5 4 3 2 2 1 7 某校初二年级 1 班的学生的平均体重 50 1 下表给出了该班 5 名同学的体重情况 单位 试完成下表 姓 名小张小王小李小山小毛 体 重5545 体重与平均体重差 5 2 1 3 2 谁最重 谁最轻 3 最重与最轻相差多少 8 计算 40 1 2 38152312 2 1 575 3 4 1 2 5 0 3 4 4 4 3 2 11 3 1 8 1 0 3 2 3 5 1 8 3 1 10 3 1 12 B 组练习题 1 若 则 031 ba a b 2 化简 9 3 如果与互为相反数 那么 5 a3 a 4 式子 5 7 看成减法运算 减数是 看成加法运算 第一个加数是 5 第二个 加数是 5 11 7 9 6 11 7 9 6 等式左边的式子是有理数 运算 等式右 边的式子省略了 号 被省略的 号是 符号 6 计算 368 4 1 27310 4 3 3 2 1 752 4 1 50 2 1 3 3 1 1 2 1 250 7 2 6 5 6 5 7 5 41 6 1 250 6 5 2 1 3 2 1 6 4 1 18 2 1 4 8 3 7 7 若 三数在数轴上对应位置如图所示 化简 abccabcbaa ba0c 8 有一架直升飞机从海拔 1000 米的高原上起飞 第一次上升了 1500 米 第二次上升上 1200 米 第三次上升了 1100 米 第四次上升了 1700 米 求此时这架飞机离海平面 多少米 9 计算 1 0 3 4 2 3 1 6 1 5 2 2 1 7 4 12 7 3 12 6 5 3 4 3 1 6 1 5 4 1 3 10 某水库在汛期来临之际加强了水位观测 若以警戒水位作为 0 点 用正号表示水位比 前一天上升 负号表示水位比前一天下降 某天观测的水位在警戒水位下 2 75 米 其 后 5 天的观察记录 单位 米 如下 第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天 38 1 52 0 40 0 40 0 40 0 1 这 5 天的水位分别为多少 2 以警戒水位作为 0 点 第 5 天的水位是否超过警戒水位 3 第 5 天水位比 观测的某天 是上升了 还是下降了 上升或下降了多少 42 第七讲 有理数的乘法 一 学习目标 1 掌握两个有理数相乘的法则 2 掌握多个有理数相乘的法则 3 会运用有理数乘法运算律进行运算 二 重点与难点 1 多个有理数相乘积的符号确定 2 乘法运算律的灵活应用 有理数乘法法则 知识链接 探究新知 在小学课本里我们已经学习了正有理数和零的乘法运算 比如 3 2 6 我们知道 3 2 3 3 6 1 计算下列各式的值 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 猜想下列各式的值 2 2 2 3 2 4 2 5 2 利用以上结论计算下面的算式 你能发现有什么规律 3 3 3 2 3 1 3 0 3 按照上述的规律 下面的空格里可以各填什么数 从中可以归纳出什么结论 3 1 3 2 3 3 4 我们已经知道两个正数相乘结果是正数 现在我们从符号和绝对值两个方面来研究下面 三组 看看他们有什么特点 第一组 3 3 9 3 2 6 3 1 3 第二组 3 1 3 3 2 6 3 3 9 第三组 3 0 0 议一议 两个有理数相乘 积的符号怎样确定 积的绝对值怎样确定 学习归纳 1 正数乘正数积为 数 2 负数乘正数积为 数 3 正数乘负数积为 数 4 负数乘负数积为 数 43 5 乘积的绝对值等于各乘数绝对值的 有理数乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 绝对值相乘 任何数同 0 相乘 积仍为 0 导学练习 1 计算 1 3 9 2 5 7 3 9 12 4 19 5 5 6 1 6 6 1 2 计算 2 3 3 2 1 3 1 3 1 学习归纳 1 一个数乘以 1 得到 2 乘积是 1 的两个数互为 如果有个有理数的乘积为 1 那么称其中的一个数是另一个数的倒数 也 称这两个数互为倒数 例如 与互为倒数 与互为倒数 3 3 1 8 3 3 8 典型例题赏析 例 计算 5 25 24 49 解 5 25 24 49 5 25 24 49 5 25 24 5 49 5 24 245 5 4 249 典型例题讲解 理解新知识 题型 有理数的乘