河北省广平县第一中学2012届高三数学 函数的最值学案

2011 20122011 2012 学年高三数学复习课导学案学年高三数学复习课导学案 3 3 函数的值域和最值函数的值域和最值 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 求函数最值的常用方法有 1 配方法 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和 然后根据变量的取值范 围确定函数的最值 2 判别式法 若函数 y f x 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a y x2 b y x c y 0 则在 a y 0 时 由于 x y 为实数 故必须有 b2 y 4a y c y 0 从而确 定函数的最值 检验这个最值在定义域内有相应的 x 值 3 不等式法 利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值 4 换元法 通过变量代换达到化繁为简 化难为易的目的 三角代换可将代数函数的最 值问题转化为三角函数的最值问题 5 数形结合法 利用函数图象或几何方法求出函数的最值 6 函数的单调性法 闭区间上的增函数或减函数的端点值即为函数的最值 二 点击双基二 点击双基 1 函数 f x 的最大值是 1 1 1 xx A B C D 5 4 4 5 4 3 3 4 解析 1 x 1 x 1 x x2 x 2 2 1 4 3 4 3 f x f x max 1 1 1 xx 3 4 3 4 答案 D 2 若 x2 y2 1 则 3x 4y 的最大值为 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 x2 y2 1 可设 x cos y sin 3x 4y 3cos 4sin 5sin 5 答案 C 3 函数 y x2 2ax 0 x 1 的最大值是 a2 则实数 a 的取值范围是 A 0 a0 y 0 且 3x 2y 12 则 xy 的最大值是 解析 x 0 y 0 3x 2y 2 62xy 6 当且仅当 3x 2y 时等号成立 2 23yx 答案 6 5 2006 北京海淀模拟 对任意实数 x 函数 f x 取 x 2x 1 7 x 三者中的最小值 那么 f x 的最大值是 解析 画图 通过数形结合易知最大值为 3 5 答案 3 5 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 2005 福建高考 设 a b R a2 2b2 6 则 a b 的最小值是 A 2 B C 3 D 2 3 35 2 7 解析 a2 2b2 6 1 6 2 a 3 2 b 设 a sin b cos 0 2 63 a b sin cos 3sin 其中 tan 63 2 2 a b 的最小值为 3 答案 C 例 2 设 f t 4020 41 200 11 2 1 Nttt Nttt g t t 0 t 40 t N 3 1 3 43 求 S f t g t 的最大值 解 当 0 t 20 时 S t 11 t t 22 t 43 2 1 3 1 3 43 6 1 10 5 又 t N 2 2243 t 10 或 11 时 Smax 176 当 20 t 40 时 S t 41 t t 41 t 43 3 1 3 43 3 1 t 20 时 Smax 161 综上所述 S 的最大值是 176 例 3 2004 上海高考 某单位用木料制作如图所示的框架 框架的下部是边长分别为 x y 单位 m 的矩形 上部是等腰直角三角形 要求框架围成的总面积为 8 m2 问 x y 分 别为多少时用料最省 精确到 0 001 m 解 由题意得 x y x 8 2 1 2 x y 0 x 4 4 8 4 8 2 x xx x 2 于是 框架用料长度为 L 2x 2y 2 x 2 4 当且仅当 2 2x 2 3 2 x 16 2 2 3 16 246 2 3 x 即 x 8