高中数学《函数的奇偶性》文字素材2 新人教B版必修1

1 函数的奇偶性函数的奇偶性 一 奇函数 偶函数的定义 1 偶函数 如果函数的定义域关于原点对称 即 则 且在 f xIxI xI 定义域内任意一个 都有 那么函数就叫做偶函数 Ix fxf x f x 例如 函数 在的图象上任取一点 则关于轴对称的点 2 yx 2 yx a by a b 一定在的图象上 即 所以函数是偶函数 在如 2 yx fxf x 2 yx yx 等等 42 24yxx 2 23f xx 典例 1 已知为偶函数 其定义域为 求的值 2 3f xaxbxab 1 2 aa f x 域 分析 考察偶函数的两大条件 定义域知关于原点对称和 fxf x 解析 为偶函数 其定义域应关于原点对称 2 3f xaxbxab 1 2 aa 22 12 33 aa axbxa b axbxa b 即 1 3 a 0b 故 其值域为 2 1 1 3 f xx 2 2 3 3 x 31 1 27 2 奇函数 一般地 如果函数的定义域关于原点对称 即 则 f xIxI 且在定义域内任意一个 都有 那么函数就叫做奇函xI Ix fxf x f x 数 例如 函数 在的图象上任取一点 则关于轴对称的点 3 yx 3 yx a by a b 一定在的图象上 即 所以函数是奇函数 在如 3 yx fxf x 3 yx yx 等等 3 24yxx 9 2f xx 2 典例 2 若对于一切实数 都有 xy f xyf xf y 1 求并证明为奇函数 2 若 求 0 f f x 1 8f fn nN 解析 1 令 则 则 0 xy 0 2 0 ff 0 0f 令 则 为奇函数 xy 0 0ffxf x yf x 2 为奇函数 yf x fnf n 对于 1 1 1 1 1 8f nf nf nfnfn 8fnn 3 奇偶性 如果函数是奇函数或偶函数 就说函数具有奇偶性 f x f x 二 奇函数 偶函数的图象特征 1 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这 个函数是奇函数 2 偶函数的图象关于轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于轴对称 那么这yy 个函数是偶函数 三 奇函数与偶函数的联系 1 奇函数在其对称区间上具有相同的单调性 即奇函数在上的单调性与它 f x a b 在上的单调性相同 2 偶函数在其对称区间上具有相反的单调性 即奇函数 ba 在上的单调性与它在上的单调性相反 f x a b ba 典例 3 已知函数在 R 上是奇函数 而且在是增函数 证明 yf x 0 在上也是增函数 yf x 0 典例 4 如下左图 已知偶函数在轴右边的一部分图象 根据偶函数性质 画 yf x y 出它在轴左边的图象 y 典例 5 如下右图 已知 3 偶函数在轴右边的一部分图象 根据奇函数性质 画出它在轴左边的图象 yf x yy 四 奇偶性的判断方法 1 定义法 只要把握两点 定义域在数轴上关于原点对称 或 fxf x fxf x 注意 在判断函数是否具有奇偶性时 有时需将函数解析式进行等价化简 有时也用 01 0 fx fxf xfxf xf x f x 典例 6 判断下列函数是否具有单调性 1 2 3 2f xxx 42 23f xxx 3 32 f xxx 4 2 5f xxx 2 图象法 如二次函数成为偶函数 必须要使对称轴 即 2 yaxbxc 0 2 b x a 若二次函数成为奇函数 必须要使 当时 二次0b 2 yaxbxc 0ac 0b 函数是非奇非偶函数 注意注意 若是偶函数 则 反之亦真 f x f xfx 思考思考 3 4 既不 是奇函数又是偶函数 为 什么 4 若是奇函数 且定义域 则 f x0 I 0 0f 若且的定义域关于原点对称 则既是奇函数又是偶函数 0f x f x f x 练习 下列函数哪些是奇函数 哪些是偶函数 哪些既不是奇函数也不是偶函数 1 2 53f xx 5f xx 3 4 2 1f xx 2 21f xxx 5 6 24 f xxx 3 f xxx 规律方法小结 1 奇偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据 2 记住奇偶函数的如下五个性质 有利于解题 1 两个奇函数的和 差是奇函数 积 商是偶函数 2 两个偶函数的和 差 积 商都是偶函数 3 一奇一偶的两个函数的积 商是奇函数 4 奇函数关于原点对称 并且在其两个对称区间上具有相同的单调性 5 偶函数关于轴对称 并且在其两个对称区间上具有相反的单调性y 3 函数的奇偶性是对整个定义域而言的 因此讨论函数的奇偶性首先在看其定义域 函数的定义域关于原点对称 是经具有奇偶性的必要不充分条件 4 要注意从数和形两个角度理