高中数学《数列的概念》教案3 北师大版必修5

1 课课 题题 3 13 1 数列的概念 二 数列的概念 二 教学目的 教学目的 1 了解数列的递推公式 明确递推公式与通项公式的异同 2 会根据数列的递推公式写出数列的前几项 3 理解数列的前 n 项和与的关系 n a 4 会由数列的前 n 项和公式求出其通项公式 教学重点 教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 内容分析内容分析 由于并非每一函数均有解析表达式一样 也并非每一数列均有通项公式 有通项公式的数列只是少数 因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研 究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研 究中 不仅很多重要的数列是用递推公式给出的 而且它也是获得一个数列的 通项公式的途径 先得出较为容易写出的数列的递推公式 然后再根据它推得 通项公式但是 这项内容也是极易膨胀的 例如研究用递推公式给出的数列的 性质 从数列的递推公式推导通项公式等 这样就会加重学生负担考虑到学生 是在高一学习 我们必须牢牢把握教学要求 只要能初步体会一下用递推方法 给出数列的思想 能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 上节学习知识点如下 数列的定义数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列数列 注意注意 数列的数是按一定次序排列的 因此 如果组成两个数列的数相 同而排列次序不同 那么它们就是不同的数列 定义中并没有规定数列中的数必须不同 因此 同一个数在数列中可以 重复出现 数列的项数列的项 数列中的每一个数都叫做这个数列的项项 各项依次叫做这 个数列的第 1 项 或首项 第 2 项 第 n 项 数列的一般形式数列的一般形式 或简记为 其中是数 321n aaaa n a n a 列的第 n 项 数列的通项公式数列的通项公式 如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一 n a n a 个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 2 5 数列的图像数列的图像都是一群孤立的点 6 数列有三种表示形式数列有三种表示形式 列举法 通项公式法和图象法 7 有穷数列有穷数列 项数有限的数列 例如 数列 是有穷数列 8 无穷数列无穷数列 项数无限的数列 二 讲解新课 二 讲解新课 知识都来源于实践 最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题 观察钢管堆放示意图 寻其规律 建立数学模型 模型一 模型一 自上而下 第 1 层钢管数为 4 即 14 1 3 第 2 层钢管数为 5 即 25 2 3 第 3 层钢管数为 6 即 36 3 3 第 4 层钢管数为 7 即 47 4 3 第 5 层钢管数为 8 即 58 5 3 第 6 层钢管数为 9 即 69 6 3 第 7 层钢管数为 10 即 710 7 3 若用表示钢管数 n 表示层数 则可得出每一层的钢管数为一数列 且 n a n 7 1 3 nan 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型 运用 这一关系 会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来 很多方便 让同学们继续看此图片 是否还有其他规律可循 启发学生寻找规律 模型二 上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1 即 4 1 a1145 12 aa1156 23 aa 依此类推 2 n 7 1 1 nn aa 对于上述所求关系 若知其第 1 项 即可求出其他项 看来 这一关 系也较为重要 定义 1 递推公式 如果已知数列的第 1 项 或前几项 且任一项与 n a n a 它的前一项 或前 n 项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公 1 n a 式就叫做这个数列的递推公式 说明 递推公式也是给出数列的一种方法 3 如下数字排列的一个数列 3 5 8 13 21 34 55 89 递推公式为 83 5 3 2121 naaaaa nnn 2 数列的前数列的前 n n 项和 项和 数列中 称为数列的前 n 项和 记为 n a n aaaa 321 n a n S 表示前 1 项之和 1 S 1 S 1 a 表示前 2 项之和 2 S 2 S 21 aa 表示前 n 1 项之和 1 n S 1 n S 1321 n aaaa 表示前 n 项之和 n S n S n aaaa 321 当 n 1 时才有意义 当 n 1 1 即 n 2 时才有意义 n S 1 n S 3 与与之间的关系之间的关系 n S n a 由的定义可知 当 n 1 时 当 n 2 时 n S 1 S 1 a n a n S 1 n S 即 n a 2 1 1 1 nSS nS nn 说明说明 数列的前 n 项和公式也是给出数列的一种方法 三 例题讲解三 例题讲解 例 1 已知数列的第 1 项是 1 以后的各项由公式给出 n a 1 1 1 n n a a 写出这个数列的前 5 项 分析 题中已给出的第 1 项即 递推公式 n a1 1 a 1 1 1 n n a a 解 据题意可知 3 21 1 2 1 1 1 2 3 1 21 a a a aa 4 5 8 3 51 1 5 3 4 a a a 例 2 已知数列中 3 试写出数 n anaaaaa nnn 3 2 1 2121 列的前 4 项 解 由已知得 233 7 3 2 1 23412321 aaaaaaaa 例 3 已知 写出前 5 项 并猜想 2 1 a nn aa2 1 n a 法一 观察可得 2 1 a 2 2 222 a 32 3 222 a n n a2 法二 由 即 nn aa2 1 1 2 nn aa2 1 n n a a 1 1 2 3 2 2 1 1 2 n n n n n n n a a a a a a a a nn n aa22 1 1 例例 4 4 已知数列的前 n 项和 求数列的通项公式 n a n 2n n 2n 1 n S 2 n S 2 解解 当 n 2 时 n 2n n 1 2 n 1 2n 1 n a n S 1 n S 22 当 n 1 时 1 2 1 3 1 a 1 S 2 经检验 当 n 1 时 2n 1 2 1 1 3 2n 1 为所求 n a 当 n 2 时 n 2n 1 n 1 2 n 1 1 2n n a n S 1 n S 22 3 当 n 1 时 1 2 1 1 2 1 a 1 S 2 经检验 当 n 1 时 2n 3 2 1 3 1 2 5 为所求 n a 2 32 1 2 nn n 四 练习四 练习 1 根据各个数列的首项和递推公式 写出它的前五项 并归纳出通项公 式 1 0 2n 1 n N 1 a 1 n a n a 2 1 n N 1 a 1 n a 2 2 n n a a 3 3 3 2 n N 1 a 1 n a n a 解 1 0 1 4 9 16 n 1 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a n a 2 2 1 1 a 2 a 3 2 3 a 4 2 2 1 4 a 5 2 5 a 6 2 3 1 n a 1 2 n 3 3 1 2 7 1 2 19 1 2 1 a 0 3 2 a 1 3 3 a 2 3 55 1 2 163 1 2 1 2 3 4 a 3 3 5 a 4 3 n a 1 n 2 已知下列各数列的前 n 项和的公式 求的通项公式 n a n S n a 1 2n 3n 2 2 n S 2 n S n 3 解 1 1 1 a 2n 3n 2 n 1 3 n 1 4n 5 n a n S 1 n S 22 又符合 4 1 5 4n 5 1 a 1 a n a 2 1 2 2 2 1 a n a n S 1 n S n 3 1 3 n1 3 n n a 232 11 1 n n n 五 小结五 小结 本节课学习了以下内容 1 递推公式及其用法 6 2 通项公式反映的是项与项数之间的关系 而递推公式反映的是相邻 两项 或n项 之间的关系 3 的定义及与之间的关系 n S n a 六 课后作业六 课后作业 1 根据各个数列的首项和递推公式 写出它的前五项 1 n 2 1 a n a 1 n a 1 1 n a 解 由 1 n 2 1 a n a 1 n a 1 1