高中数学《向量的应用》学案2 苏教版必修4

用心 爱心 专心1 向量的应用向量的应用 平面向量是研究数学问题 物理问题的得力工具 用途十分广泛 也是近年高考命题 的热点之一 因此本文就平面向量的应用作了分类说明 1 定比分点定比分点 例例 1 已知 直线与线段 AB 相交于 M 且 A aBa 032 yax 1 2 则 a 等于 AMMB 2 A B 2C 2 或D 或 4 4 4 2 解 解 由知 点 M 分所成的比AMMB 2AB 2 所以 x aa M 23 12 6 3 y aa M 022 12 42 3 因为 点 M 在直线上yax 1 2 所以 42 3 6 6 aa a 解得 或 选 C a 2 4 2 图象的平移图象的平移 例例 2 把函数的图象按向量 a 平移 得到的图象 且 yxx 245 2 yx 2 2 ab 则 cbc 114 b 分析 关键要弄清平移的方向 该题可将二次函数图象的平移问题转化为顶点的平移 问题 化繁为简 化难为易 直观明了 解 解 其顶点坐标 1 3 的顶点坐标 yxxx 245213 2 2 yx 2 2 0 0 将的图象按 a 平移得的图象 即将点 1 3 沿 a 平yxx 245 2 yx 2 2 移得到点 0 0 用心 爱心 专心2 所以 a 13 因为 ab 故可设 bxx 1 3 又 cbc 114 解得 x 3 所以 b 31 3 三角问题三角问题 例例 3 设平面上有 4 个互异的点 A B C D 已知 则 ABC 的形状是 DBDCDAABAC 20 A 直角三角形B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 等边三角形 分析 根据向量运算的性质 将等价变形为是此题的关键 DBDCDA 2ABAC 再进一步利用这一性质得到结果 ABABACAC 2 2 2 2 解 解 因为 DBDCDADBDADCDAABAC 2 所以 ABACABAC 0 整理得 ABAC 22 从而 ABAC 故选 B 例例 4 设 且 则锐角 的值可能是 ab 1 3 2 1 2 3 4 sincos ab 用心 爱心 专心3 A B C D 12 6 4 3 解析 由 得 ab 1 3 3 4 2 1 2 0 sincos 所以或sin2 1 2 2 6 5 6 即或 故选 A 12 5 12 4 力学中的应用力学中的应用 例例 5 在点和上分别放置质量为 2 和 8 的两个质点 则它们的重 P 1 21 P239 心坐标为 分析 由力矩平衡原理得出点 P 分的比 再用定比分点公式求出点 P 的坐标 PP 12 解 解 设重心 P 点在线段上 P xy PP 12 所以 P 点分的比PP 12 0 由力矩平衡原理 28 12 PPPP 所以 PP PP 1 2 4 所以 x x P P 234 14 14 5 149 14 7 即 重心坐标为P 14 5 7 5 综合题综合题 用心 爱心 专心4 例例 6 已知两点 且点 P 使 MN 1010 MPMNPMPN 成公差小于 0 的等差数列 NMNP 1 点 P 的轨迹是什么曲线 2 若点 P 的坐标 为与的夹角 求 xy 00 PM PN tan 分析 本题主要考查向量的数量积 二次曲线 数列等基础知识 通过假设点 P 的坐 标 写出各向量的坐标表示以及相应的数量积 由题意建立等量关系求出点 P 的轨迹 将 平面向量与平面解析几何知识融合在一起的考查成为了对平面解析几何考查的热点 解 解 1 设 则 P xy MPxy 1 PNxyMN 120 所以 MPMNx 2 1 PMPNxy NMNPx 22 1 2 1 由题意得 xyxx xx 22 1 1 2 2 12 1 2 12 10 即 xy x 22 3 0 所以 点 P 的轨迹是以原点为圆心 为半径的右半圆 不含端点 3 2 若点 P 的坐标为 则 xy 00 PMPNxy xy 0 2 0 2 0 2 0 2 12 3 又 PMPNxyxyx 112 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 用心 爱心 专心5 所以 cos PMPN PMPN x 1 4 0 2 因为 03 0 x 所以 1 2 10 3 cos 于是 sin 1 1 4 3 4 0 2 0 2 0 2 x x x 所以 tan 3 0 2 0 xy 例例 7 已知向量 且 axxb xx cossincossin 3 2 3 222 x 0 2 求 1 及 ab ab 2 若的最小值为 求的值 f xabab 2 3 2 解 解 1 abx x x x x coscossinsincos 3 22 3 22 2 abx x x x x coscossinsincos 3 22 3 22 2 22 2 因为 x 0 2 所以coscosxabx 02 2 f xxxx coscoscos 24212 2 2 由 知 x 0 2 cosx 01 用心 爱心 专心6 当时 当且仅当时 取最小值 与已知矛盾 0cosx 0f x 1 当时 当且仅当时 取得最小值 令01 cosx f x 12 2 解得 12 3 2 2 1 2 当时 当且仅当时 取最小值 令 解得 1cosx 1f x 14 14 3 2