2016年5月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题(解答题)

1 2016 年 5 月北京市怀柔 区高三数学查漏补缺 试题 一、三角 1 已知函数 f (x)= 32 21. ( ) 求 f ( 125)； ( ) 求函数 f (x)图象的对称轴方程 . 解： ( )因为 f (x) 3 2x6) , 所以 f ( 125) 2 3 . (7 分 ) ( ) 令 2x6= k 2(k Z), 得 x=32 k, 所以函数 f (x)图象的对称轴方程是 x=32 k(k Z). (14 分 ) 2 已知函数 ( )求()f 的值 ; ( )求使 14立的 x 的取值集合 解 : (1) 41)2122( 41)32(2(41)621 以. (2)由 (1)知 , )2,2()62(0)62141)621)(f .),12,127(.),12,127( 所以不等式的解集是：3 在 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 设 3A ， . （ ）若 7a ，求 b 的值； （ ）求 值 . （） 解 ：因为 ， 2 由正弦定理 s i n s i n s i na b C， 得 3. 3 分 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A 及 3A， 7a ， 5 分 得 227 b c ， 所以 222( ) 733 ， 解得 3b . 7 分 （） 解 ：由 3A，得 23. 所以 2 s i n ( ) 3 s i C. 8 分 即 31c o s s i n 3 s i C， 11 分 所以 35c o s s i 所以 3. 13 分 4 已 知函数 1 s i n 2()c o s x. (1)求 () (2)设 是第二 象限的角，且 =34，求 ()f 的值 . 二、数列 知126，2312. 3 （ ）求 数列 （ ）设 2244 求数列 计算1 2 3 4 1 0 0b b b b b 解： （ ）设 等比数列 q ， 由已知116a a q， 21112a q a q， 2分 两式相除，得 2q . 4分 所以1 2a ， 6分 所以数列 . 7分 （ ）设 等差数列 d ， 则1 4，1 3 16， 9分 解得1 2b ， 6d ， 11 分 1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 9 9 1 0 0( ) ( ) ( )b b b b b b b b b b b 12 分 5 0 3 0 0d . 13分 2 数列 ，满足1 1=+， 3 2a . （ ） 求 数列 （ ） 若 1()3 ，求 n 项和 解： （ ） 由已知得1 1-=数列 公差 1d 又3 2a ，得1 0a ，所以 1 （ ） 由 （ ） 得， 11()3 ， 所以 111( 1 1 ) ( 2 ) ( )33 211 1 11 ( 1 2 3 )3 3 3 n n 111 ( )( 1 ) 3 3 ( 1 )3 2 213n n 三、概率统计 1育新中学的高二、一班男同学有 45 名，女同学有 15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组 （）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数； （）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名 4 同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率； （）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为 6 8 , 7 0 , 7 1, 7 2 , 7 4，第二次做试验的同学得到的试验数据为 6 9 , 7 0 , 7 0 , 7 2 , 7 4，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由 . 解：（） 416 0 1 5nP m 某同学被抽到的概率为 115 2分 设有 x 名男同学，则 4560 4x， 3x 男、女同学的人数分别为 3,1 4分 （）把 3 名男同学和 1名女同学记为1 2 3, , ,a a a b，则选取两名同学的基本事件有1 2 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 2 3( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,a a a a a b a a a a a b a a a a a 3( , ) , ( , ) , ( , )b a b a b 2种，其中有一名女同学的有 6 种 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 6112 2P 8分 （ ）1 6 8 7 0 7 1 7 2 7 4 715x ，2 6 9 7 0 7 0 7 2 7 4 715x 2221( 6 8 7 1 ) ( 7 4 7 1 ) 45s L， 2222( 6 9 7 1 ) ( 7 4 7 1 ) 3 . 25s L 第二同学的实验更稳定 12分 2 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10分，出现两次音乐获得 20分，出现三次音乐获得 100分，没有出现音乐则扣除 200 分 (即获得 200 分 )设每次击鼓出现音乐的概率为 12，且各次击鼓出现音乐相互独立 (1)设每盘游戏获得的分数为 X， 求 X 的分布列 (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ (3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 解： (1)X 可能的取值为 10， 20， 100， 200. 根据题意，有 P(X 10) 121 1 122 38， P(X 20) 122 1 121 38， P(X 100) 123 1 120 18， P(X 200) 120 1 123 18. 所以 X 的分布列为 ： 5 X 10 20 100 200 P 38 38 18 18 (2)设 “ 第 i 盘游戏没有出现音乐 ” 为事件 Ai(i 1， 2， 3)，则 P( P( P( P(X 200) 18. 所以 “ 三盘游戏中至少有一盘出现音乐 ” 的概率为 1 P( 1 183 1 1512 511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 511512. (3)由 (1)知， X 的数学期望为 10 38 20 38 100 18 200 18 54. 这表明，获得分数 X 的均值为负 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大 四、立体几何 1 如图，在四棱锥 P 中， 平面 底面 菱形，点 O 是对角线 交点 ， 2， 60o ， M 是 中点 ( )求证 ： 平面 ( )平面 平面 ( )当 三 棱锥 C 的体积等于 32时 ， 求 长 证明： （ ） 因为 在 ， O ， M 分别是 中点 ， 所以 又 平面 平面 所以 平面 5分 ( )因 为 底面 菱形， 所以 C 因为 平面 平面 所以 D 又 A AI ， 所以 平面 6 又 平面 所以平面 平面 10 分 （ ） 因为 底面 菱形， 且 2， 60o ， 所以 3 又C P B D P B C ， 三棱锥 P 的高为 所以 13332 ， 解 得 32 14 分 2. 已知在 ， B=90o， D， E 分别为 边 中点 ，将 折后，使之成为四棱锥C （如图） . （ ）求证 ： 平面 （ ）设 平面 C 面 l ，求证 ： l； （ ） 若 C D ， 2， 3， F 为棱 一点， 设， 当 为何值时，三棱锥 C 体积是 1？ 证明：（） B=90o， D， E 分别为 中点 1 分 C D ， E 3 分 又 C D B D DI 4分 平面 5 分 （） 面 面 面 7 分 又 面 面 面 l 9 分 l 10 分 （） C D ， C D ， E D B D DI ， 平面 1C D B 1 1C D F B C 11 分 又因为 ， ， 1C ， 1 1 1 1 1 1 1 3C A D F A C D F A C D B C A D B A D V V C D S 3 11 13分 解得 2 14分 3 如图，三角形 梯形 在的平面互相垂直， C ， /,2A F A C A F C E ， G 是线段 一点， 2A B A F B C . （ ）当 F 时，求证： /面 （ ）求二面角 E 的余弦值； （ ）是否存在点 G 满足 平面 并说明理由 . 解：（ ）取 点 D ，连接 , 又 F ，所以 /2D . 因为 /2E ，所以 /E ,四边形 平行四边形， 所以 /G 因为 平面 平面 所以 /面 （ ）因为平面 平面 平面 面 且 C ， 所以 平面 所以 B ， C 因为 B ，所以 平面 如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 A . 则 ( 0 , 0 , 2 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 2 , 1 )F B C E， (0, 2, 0)BC平面 一个法向量 . 设平面 法向量 ( , , )x y zn ，则 0, 2 0,2 2 0 令 1y ，则 2, 2 ，所以 ( 2,1, 2) n , 所以 1c o s ,3| | |C nn nu u u u 由题知二面角 E 为钝角，所以二面角 E 的余弦值为 13. （ ）因为 ( 2 , 0 , 2 ) ( 2 , 2 , 1 ) 2 0B F A E u u ur u u 所以 垂直 , 所以不存在点 G 满足 平面 4正 边长为 4， 上的高， E、 F 分别是 的中点，现将 折成直二面角 A B（如图（ 2） 在图形（ 2）中： （）试判断直线 平面 位置关系，并说明理由； （）求二面角 E C 的余弦值； （）在线段 是否存在一点 P，使 明你的结论 . 解： 法一：（ I）如图：在 ，由 E、 F 分别是 点，得 又 平面 平面 面 3 分 （ 二面角 A B 的平面角 4 分 面 9 取 中点 M，这时 面 M 作 点 N，连结 二面角 E C 的平面角 6 分 在 ， ， 3 3， 21 8 分 （）在线段 存在点 P，使 9 分 证明如下： 在线段 取点 P。使 过 P 作 点 Q， 面 10 分 3 3231 ， 0 12 分 法二：（）以点 D 为坐标原点，直线 x 轴、 y 轴，建立空间直角坐标系，则 A（ 0， 0， 2） B（ 2， 0， 0） C（ 0， )0,3,1(),1,3,0(),0,32 4 分 平面 法向量为 )2,0,0(设平面 法向量为 ),( 则00即 )3,3,3(0303 6 分 721|,c o s 所以二面角 E C 的余弦值为721 8 分 （）在平面坐标系 ，直线 方程为 323 设 )2,332,(),0,332,( 1340 10 分 10 所以在线段 存在点 P，使 12 分 另解：设3 32023),0,( 又 )0,32,(),0,2( 323)32)(2(/ 把 43 32 代入上式得所以在线段 存在点 P 使 12 分 五 、 导数 1. 已知 曲线 :C 2( ) 2 e 1x x a x . （ ）求函数 ()0, (0)f 处的切线； （ ） 当 1a 时，求曲线 C 与直线 21的交点个 数； （） 若 0a ，求证：函数 ()0, ) 上单调递增 . 解： （ ） (0) 1f ， 因为 ( ) ( 2 2 ) e 2x a x a x ， 所以 (0) 2f ， 所以函数 ()0, (0)f 处的切线为 21. （ ） 当 1a 时， 2( ) 2 e 1xf x x x 曲线 C 与直线 21的交点个数与方程 ( 2 e 2 ) 0 的解的 个数相同， 0x 显然是该方程的一个解 . 令 ( ) 2 e 2xg x x ，则 ( ) 2 e 1 由 ( ) 0得 因为 时 ( ) 0， 时 ( ) 0 所以 () , 上单调递减，在 () 上 单调递增 所以 () 1g ， 因为 ln e 1，所以 (0g ， 因为 (0) 0g ， 2(2) 2e 0g ， 11 所以 ()，一个大于 所以两曲线有两个交点 . （） ( ) 2 ( 1 ) e x a x a x 因为 0a ，所以当 0x 时， 0，所以 1 1, e 1 所以 ( ) 2 ( 1 ) e 2 ( 1 ) 2 0x a x a x a x a x 所以函数 ()0, ) 上单调递增 . 2 设函数 ( ) ln af x ， . （）当 (e 为自然对数的底数 )时，求 () （）讨 论函数 ( ) ( )3xg x f x零点的个数； （）若对任意 0 ， ( ) ( ) 1f m f 恒成立，求 a 的取值范围 解：（） ()0, ) ， 当 a e 时， f(x) ln x f(x) x 当 x (0， e)时， f(x)0， f(x)在 (e， )上单调递增 x e 时， f(x)取得极小值 f(e) ln e 2， f(x)的极小值为 2. （）由题设 g(x) f(x) 1x2x3(x0)， 令 g(x) 0，得 a 13x(x0)， 设 (x) 13x(x0)， 则 (x) 1 (x 1)(x 1)， 当 x (0， 1)时， (x)0， (x)在 (0， 1)上单调递增； 当 x (1， )时， (x)23时，函数 g(x)无零点； 当 a 23时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 00） 综上所述，当 a23时，函数 g(x)无零点； 当 a 23或 a0时，函数 g(x)有且只有一个零点； 12 当 00)， (*)等价于 h(x)在 (0， )上单调递减 由 h(x) 1x2 10在 (0， )上恒成立， 得 a x x 122 14(x0)恒成立， a14 （对 14a， h(x)=0 仅在 12x时成立）， a 的取值范围是 14， . 3 已知函数 ( ) , ( ) l n ( )xf x e g x x m 。直线 :l y kx b经过点 ( 10)P ， 且与曲线 ()y f x 相切。 （ 1）求切线 l 的方程。 （ 2）若关于 x 的不等式 ()kx b g x 恒成立，求实数 m 的最大值。 （ 3）设 ( ) ( ) ( )F x f x g x，若函数 ()证0 11 2- x 。 13 4 知函数 2 2 , 0()l n , 0x x a ,其中 a 是实数 , ( )A x f x,22( , ( )B x f 图象上的两点 ,且12 ( )指出函数 () ( )若函数 ()且2 0x ,证明 :211; ( )若函数 ()求 a 的取值范围 . 解 :( )函数 ()1,( ,单调增