2011届高考数学难点突破难点17 三角形中的三角函数式

1 难点难点 17 三角形中的三角函数式三角形中的三角函数式 三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一 本节主要帮助考生深刻理解正 余弦定理 掌握解斜三角形的方法和技巧 难点磁场 已知 ABC 的三个内角 A B C 满足 A C 2B BCAcos 2 cos 1 cos 1 求 cos的值 2 CA 案例探究 例 1 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山 山顶设有一个观 察站 P 上午 11 时 测得一轮船在岛北 30 东 俯角为 60 的 B 处 到 11 时 10 分又测得该船在岛北 60 西 俯角为 30 的 C 处 1 求船的航行速度是每小时多少千米 2 又经过一段时间后 船到达海岛的正西方向的 D 处 问此 时船距岛 A 有多远 命题意图 本题主要考查三角形基础知识 以及学生的识图能力和综合运用三角知识 解决实际问题的能力 知识依托 主要利用三角形的三角关系 关键找准方位角 合理利用边角关系 错解分析 考生对方位角识别不准 计算易出错 技巧与方法 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题 解 1 在 Rt PAB 中 APB 60 PA 1 AB 千米 3 在 Rt PAC 中 APC 30 AC 千米 3 3 在 ACB 中 CAB 30 60 90 302 6 1 3 30 3 30 3 3 3 2222 时千米 ABACBC 2 DAC 90 60 30 sinDCA sin 180 ACB sinACB 10 10 3 3 30 3 BC AB sinCDA sin ACB 30 sinACB cos30 cosACB sin30 10 10 3 20 10 133 10 10 3 1 2 1 2 3 2 2 在 ACD 中 据正弦定理得 CDA AC DCA AD sinsin 13 39 20 10 133 10 103 3 3 sin sin CDA DCAAC AD 答 此时船距岛 A 为千米 13 39 例 2 已知 ABC 的三内角 A B C 满足 A C 2B 设 x cos f x cosB 2 CA CAcos 1 cos 1 1 试求函数 f x 的解析式及其定义域 2 判断其单调性 并加以证明 3 求这个函数的值域 命题意图 本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力 并且考查考生对基 础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力 属 级题目 知识依托 主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题 错解分析 考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点 并且不易想到运用函数的 单调性去求函数的值域问题 技巧与方法 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出 f x 的解析式 公式主要是 和差化积和积化和差公式 在求定义域时要注意 的范围 2 CA 解 1 A C 2B B 60 A C 120 34 2 12 2 1 cos cos 2 cos 2 cos2 coscos coscos 2 1 2 2 x x x x CACA CACA CA CA xf 0 60 x cos 1 2 CA 2 CA 2 1 又 4x2 3 0 x 定义域为 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 设 x1 x2 f x2 f x1 34 2 34 2 2 1 1 2 2 2 x x x x 若 x1 x2 则 34 34 34 2 2 2 2 1 2121 xx xxxx 2 3 2 1 4x12 3 0 4x22 3 0 4x1x2 3 0 x1 x2 0 f x2 f x1 0 即 f x2 f x1 若 x1 x2 1 则 4x12 3 0 2 3 4x22 3 0 4x1x2 3 0 x1 x2 0 f x2 f x1 0 3 即 f x2 f x1 f x 在 和 1上都是减函数 2 1 2 3 2 3 3 由 2 知 f x f 或 f x f 1 2 2 1 2 1 故 f x 的值域为 2 2 1 锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有 1 运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形 2 熟练地进行边角和已知关系式的等价转化 3 能熟练运用三角形基础知识 正 余弦定理及面积公式与三角函数公式配合 通过 等价转化或构建方程解答三角形的综合问题 注意隐含条件的挖掘 歼灭难点训练 一 选择题 1 给出四个命题 1 若 sin2A sin2B 则 ABC 为等腰三角形 2 若 sinA cosB 则 ABC 为直角三角形 3 若 sin2A sin2B sin2C 2 则 ABC 为钝角三角形 4 若 cos A B cos B C cos C A 1 则 ABC 为正三角形 以上正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题 2 在 ABC 中 已知 A B C 成等差数列 则 的值为 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 3 在 ABC 中 A 为最小角 C 为最大角 已知 cos 2A C sinB 则 cos2 B C 3 4 5 4 三 解答题 4 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB 2 BC 6 CD DA 4 求四 边形 ABCD 的面积 5 如右图 在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电 灯 桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 的正弦成正比 角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比 即 I k 其中 k 是一个和灯光强度有关的常数 那么怎样选择电灯悬挂 2 sin r 的高度 h 才能使桌子边缘处最亮 6 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 的对边 2 7 cos 2 2sin4 2 A CB 1 求角 A 的度数 2 若 a b c 3 求 b 和 c 的值 3 7 在 ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c 且 a b 3c 成 等比数列 又 A C 试求 A B C 的值 2 8 在正三角形 ABC 的边 AB AC 上分别取 D E 两点 使沿线段 DE 折叠 4 三角形时 顶点 A 正好落在边 BC 上 在这种情况下 若要使 AD 最小 求 AD AB 的值 参考答案 难点磁场 解法一 由题设条件知 B 60 A C 120 设 则 A C 2 可得 A 60 C 60 2 CA 4 3 cos cos sin 4 3 cos 4 1 cos sin 2 3 cos 2 1 1 sin 2 3 cos 2 1 1 60cos 1 60cos 1 cos 1 cos 1 222 CA 所以 依题设条件有 cos 2 4 3 cos cos 2B 22 4 3 cos cos 2 1 cos 2 B 整理得 4cos2 2cos 3 0 M 22 2cos 2cos 3 0 2cos 3 0 222 2cos 0 从而得 cos 2 2 2 2 CA 解法二 由题设条件知 B 60 A C 120 22 cos 1 cos 1 22 60cos 2 CA 把 式化为 cosA cosC 2cosAcosC 2 利用和差化积及积化和差公式 式可化为 cos cos 2 2 cos 2 cos2CACA CACA 将 cos cos60 cos A C 代入 式得 2 CA 2 1 2 1 cos 2 2 2 2 cosCA CA 将 cos A C 2cos2 1 代入 4cos2 2cos 3 0 2 CA 2 2 CA 2 CA 2 2 2 2 cos 02 2 cos2 03 2 cos22 0 3 2 cos22 22 2 cos2 CACACA CACA 从而得 歼灭难点训练 5 一 1 解析 其中 3 4 正确 答案 B 二 2 解析 A B C A C 2B 3 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan1 3 2 tan 2 tan 3 2 tan 3 2 CACA CACACA CA 故 答案 3 3 解析 A 为最小角 2A C A A C A B C 180 cos 2A C sin 2A C 5 4 5 3 C 为最大角 B 为锐角 又 sinB 故 cosB 5 4 5 3 即 sin A C cos A C 5 4 5 3 cos B C cosA cos 2A C A C 25 24 cos2 B C 2cos2 B C 1 625 527 答案 625 527 三 4 解 如图 连结 BD 则有四边形 ABCD 的面积 S S ABD S CDB AB ADsinA BC CD sinC 2 1 2 1 A C 180 sinA sinC 故 S AB AD BC CD sinA 2 4 6 4 sinA 16sinA 2 1 2 1 由余弦定理 在 ABD 中 BD2 AB2 AD2 2AB AD cosA 20 16cosA 在 CDB 中 BD2 CB2 CD2 2CB CD cosC 52 48cosC 20 16cosA 52 48cosC cosC cosA 64cosA 32 cosA 又 0 A 180 A 120 故 S 16sin120 8 2 1 3 5 解 R rcos 由此得 2 0 cos1 Rr 6 RRh R k I R k R k I R k R k r kI 2 2 tan 3 3 sin 3 9 2 3 2 sin1 sin1 sin2 2 cos sin cossinsin 2 32 2 2222 2 2 2 22 2 2 此时时成立等号在由此得 1 2 2 1 2 3 2 3 3 3 2 1 22 1 cos 2 cos 2 60 1800 2 1 cos 01cos4cos4 5cos4 cos1 4 2 7 1cos2 cos 1 2 180 2 7 2cos 2 sin4 1 6 22 222 222 2 22 2 c b c b bc cb bccba bcacb bc acb A bc acb A AA AAA AAACB CBAA CB 或得由代入上式得将 由余弦定理得 即 得及由解 7 解 由 a b 3c 成等比数列 得 b2 3ac sin2B 3sinC sinA 3 cos A C cos A C 2 1 B A C sin2 A C cos A C cos 2 3 2 即 1 cos2 A C cos A C 解得 cos A C 2 3 2 1 0 A C A C 又 A C A B C 3 2 2 12 7 3 12 8 解 按题意 设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点 显然 A P 两点关于折线 DE 对 称 又设 BAP DPA BDP 2 再设 AB a AD x DP x 在 ABC 中 APB 180 ABP BAP 120 由正弦定理知