2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题3分，共42分）1．已知向量，，若，则实数．2．已知数列满足：，，则．3．已知复数满足，则的虚部是．4．已知等差数列中，，为的前项和，则．5．已知，，则在方向上的数量投影是．6．已知复数满足，则的最小值是．7．已知，关于的一元二次方程的一个根是纯虚数，则．8．已知单位向量，满足，则．9．已知数列中，，，为的前项和，则．10．若点，，是半径为1的圆上三点，且，则．11．设等比数列的公比为，为前项积，且满足，，，则下列结论正确的是．（填序号）①②③的最大值为④若，则12．在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为．二、选择题（每小题3分，共12分）13．若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件14．已知复数，，，下列说法正确的有（）A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则15．已知△是边长为的等边三角形，为△所在平面内一点，则的值不可能是（）A． B． C． D．16．已知是锐角△所在平面内的一定点，动点满足：，，则动点的轨迹一定通过△的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心三、解答题（共48分）17．已知向量，，，且；（1）求与的夹角；（2）若，求的值．18．已知数列的前项和为，．（1）求的通项公式；（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．19．已知关于的一元二次方程有两根，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的值．20．（17分）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列．（1）若是等比数列，且，，，求；（2）若，令，证明：是等比数列，并求的值；（3）若是首项为1的等差数列，为公差，，，求正整数的最大值，以及取最大值时的值．21．对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角．（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；（2）若向量，且，求正数的值；（3）已知非零向量满足是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求．

参考答案一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题3分，共42分）1．已知向量，，若，则实数3．解：因为向量，，且，所以，解得．故答案为：3．2．已知数列满足：，，则4．解：由，可得，故数列是首项为1，公差为的等差数列，，则．故答案为：4．3．已知复数满足，则的虚部是．解：，则，虚部为．故答案为：．4．已知等差数列中，，为的前项和，则56．解：等差数列中，，为的前项和，由题意得，．故答案为：56．5．已知，，则在方向上的数量投影是．解：由已知可得，，所以在方向上的数量投影为．故答案为：．6．已知复数满足，则的最小值是．解：设，因为，则，故，即复数对应的点的轨迹是以为圆心、半径的圆，的几何意义是点到原点的距离．，由于，原点在圆外，因此圆上的点到原点的最小距离为，即的最小值为．故答案为：．7．已知，关于的一元二次方程的一个根是纯虚数，则．解：由，关于的一元二次方程的一个根是纯虚数，设且，将其代入原方程得：，整理得：，列方程组：，由第二个方程，，故，解得．将代入第一个方程，得，即．根据复数模的运算性质：对任意复数，，因此代入，得，则：，因此．故答案为：．8．已知单位向量，满足，则．解：，，即．，为单位向量，，则．，．故答案为：．9．已知数列中，，，为的前项和，则．解：数列中，，，为的前项和，所以，，，，，，所以数列是最小正周期为4的数列，则．故答案为：．10．若点，，是半径为1的圆上三点，且，则．解：若点，，是半径为1的圆上三点，且，两边平方得，因此，因此．故答案为：．11．设等比数列的公比为，为前项积，且满足，，，则下列结论正确的是①③．（填序号）①②③的最大值为④若，则解：由题意等比数列的公比为，为前项积，且满足，，，可得，所以，则数列为单调数列，所以由且，可得，所以数列为单调减数列，即，所以①正确；由数列是等比数列，可得，因为，所以，所以②错误；数列为单调减数列，所以，所以的最大值为，即③正确；当时，，所以④错误．故答案为：①③．12．在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为．解：由题意设，，，，由，得，整理得，，，，可得，，，则，的最大值为．故答案为：．二、选择题（每小题3分，共12分）13．若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件解：数列是等比数列，由首项，且公比，得数列单调递增；反之，由得数列单调递增，不一定有首项，且公比，如，．“首项，且公比”是“数列单调递增”的充分不必要条件．故选：．14．已知复数，，，下列说法正确的有（）A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则解：对于，，则，所以，但得不到，例如，，满足，但，故选项错误；对于，令，，满足条件，但，且均不为0，故选项错误；对于，下面先证明命题“若，则，或”成立．证明：设，，，，，，若，则有，故有，即，两式相乘可得，，则有，或，或，①当时，，即；②当，且时，则，又因为，不同时为0，所以，即；③当，且时，则，同理可得，故；综上所述，命题“若，则，或”成立．下面我们应用刚证明的结论推证选项，因为，所以，所以，或，即或，故选项正确；对于，令，，则，但，故选项错误．故选：．15．已知△是边长为的等边三角形，为△所在平面内一点，则的值不可能是（）A． B． C． D．解：建立如图所示的平面直角坐标系：设，又，，，则，，，所以，所以，所以，即，所以．故选：．16．已知是锐角△所在平面内的一定点，动点满足：，，则动点的轨迹一定通过△的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解：设△边上的高为，则，因为，所以，所以，又因为为角平分线上的向量，且，，所以动点的轨迹一定通过△的内心．故选：．三、解答题（共48分）17．已知向量，，，且；（1）求与的夹角；（2）若，求的值．解：（1）因为向量，，，又，所以，解得，所以，，得，所以，即与夹角的余弦值为．又，所以，即与的夹角为．（2）由（1）知，，，所以，，，所以，即，解得，所以的值为．18．已知数列的前项和为，．（1）求的通项公式；（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）数列的前项和为，，当时，；当时，由，可得，相减可得，不符合首项，所以．（2）若不等式对任意，恒成立，若，则成立，即，得；若，则，，则恒成立，即恒成立，因为在，上单调递增，所以，则的最大值为，则，综上，实数的取值范围为．19．已知关于的一元二次方程有两根，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的值．解：（1）由关于的一元二次方程有两根，，可得，且△（1），由得二次方程两根互为共轭复数，若△，方程有两个不相等的实根，此时，不满足题意，若△，方程有两个相等的实根，此时，显然满足，若△，方程有一对共轭虚根，满足，因此，解得或．（2）若△，即，此时方程有两个实根，因为，所以两实根同号，又因为当时，，所以两实根均为正数，所以，解得，符合，若△，即或，此时方程有一对共轭虚根，即，根据复数的性质，共轭复数的模长相等，即，则，解得，代入韦达定理得，，，故舍去，符合题意，综上，的值为1或．20．（17分）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列．（1）若是等比数列，且，，，求；（2）若，令，证明：是等比数列，并求的值；（3）若是首项为1的等差数列，为公差，，，求正整数的最大值，以及取最大值时的值．解：（1）由题意可知，，，设等比数列的公比为，则，所以，．即，解得，．（2）因为，所以，所以．所以数列是首项为，公比为的等比数列．．（3）由，得，即，所以，即．因为，所以，因为，，所以，所以，解得，所以正整数的最大值为199，此时，解得．21．对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角．（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；（2）若向量，且，求正数的值；（3）已知非零向量满足是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求．解：（1）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角，若非零向量满足，且，则，又，