期末高等数学(上)试题及答案

第 1 页 共 7 页 第一学期期末高等数学试卷第一学期期末高等数学试卷 一 解答下列各题一 解答下列各题 本大题共本大题共 16 小题 总计小题 总计 80 分分 1 本小题本小题 5 分分 求极限 lim x xx xxx 2 3 32 1216 29124 2 本小题本小题 5 分分 d 1 22 x x x 求 3 本小题本小题 5 分分 求极限limarctanarcsin x x x 1 4 本小题本小题 5 分分 d 1 x x x 求 5 本小题本小题 5 分分 求dtt dx d x 2 0 2 1 6 本小题本小题 5 分分 dcsccot 46 xxx求 7 本小题本小题 5 分分 求 2 1 2 1 cos 1 dx xx 8 本小题本小题 5 分分 设确定了函数求 xet yet yy x dy dx t t cos sin 2 2 9 本小题本小题 5 分分 求dxxx 3 0 1 10 本小题本小题 5 分分 求函数 的单调区间yxx 42 2 11 本小题本小题 5 分分 求 2 0 2 sin8 sin dx x x 12 本小题本小题 5 分分 求设 dxttetx kt sin4cos3 13 本小题本小题 5 分分 设函数由方程所确定 求 yy xyyx dy dx ln 226 14 本小题本小题 5 分分 求函数的极值yee xx 2 15 本小题本小题 5 分分 求极限lim x xxxx xx 12131101 101 111 2222 16 本小题本小题 5 分分 d cossin1 2cos x xx x 求 第 2 页 共 7 页 二 解答下列各题二 解答下列各题 本大题共本大题共 2 小题 总计小题 总计 14 分分 1 本小题本小题 7 分分 512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为 才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2 本小题本小题 7 分分 82 32 体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y 三 解答下列各题三 解答下列各题 本本 大大 题题 6 分分 设证明有且仅有三个实根f xx xxxfx 1230 一学期期末高数考试一学期期末高数考试 答案答案 一 解答下列各题一 解答下列各题 本大题共本大题共 16 小题 总计小题 总计 77 分分 1 本小题本小题 3 分分 解 原式 lim x x xx 2 2 2 312 61812 lim x x x 2 6 1218 2 2 本小题本小题 3 分分 x x x d 1 22 22 2 1 1d 2 1 x x 1 2 1 1 2 x c 3 本小题本小题 3 分分 因为arctanx 2 而limarcsin x x 1 0 故limarctanarcsin x x x 1 0 4 本小题本小题 3 分分 x x x d 1 x x x d 1 11 x x x 1 d d xxcln 1 5 本小题本小题 3 分分 原式 21 4 xx 6 本小题本小题 4 分分 第 3 页 共 7 页 xxxdcsccot 46 d cot cot1 cot 26 xxx 1 7 1 9 79 cotcot xxc 7 本小题本小题 4 分分 原式 cos 11 1 2 x d x sin 1 1 2 x 1 8 本小题本小题 4 分分 解 dy dx ett ettt t t 2 22 2 2 sincos cossin ett ttt t sincos cossin 2 2 22 9 本小题本小题 4 分分 令 1 xu 原式 2 4 1 2 2 uudu 2 53 53 1 2 uu 116 15 10 本小题本小题 5 分分 函数定义域 01 1 222 yx xxy 当 101 1 01 函数的单调减区间为 当 函数单调增区间为 当 yx yx 11 本小题本小题 5 分分 原式 dx x cos cos9 2 0 2 1 6 3 3 0 2 ln cos cos x x 1 6 2ln 12 本小题本小题 6 分分 dxx t dt dttktke kt sin 34 cos 34 13 本小题本小题 6 分分 2 2 6 5 yy y y x y yx y 3 1 5 2 14 本小题本小题 6 分分 第 4 页 共 7 页 定义域 且连续 yee xx 2 1 2 2 驻点 x 1 2 1 2 ln 由于 yee xx 20 22 2 1 ln 2 1 y故函数有极小值 15 本小题本小题 8 分分 原式 lim x xxxx xx 1 1 2 1 3 1 10 1 10 1 11 1 2222 101121 61011 7 2 16 本小题本小题 10 分分 dx x x dx xx x 2sin 2 1 1 2cos cossin1 2cos 解 x xd 2sin 2 1 1 12sin 2 1 lnsin1 1 2 2xc 二 解答下列各题二 解答下列各题 本大题共本大题共 2 小题 总计小题 总计 13 分分 1 本小题本小题 5 分分 设晒谷场宽为则长为米 新砌石条围沿的总长为 x x Lx x x 512 2 512 0 L x x2 512 16 2 唯一驻点 L x x 1024 016 3 即为极小值点 故晒谷场宽为米 长为米时 可使新砌石条围沿 所用材料最省 16 512 16 32 2 本小题本小题 8 分分 解 xx xxxx 23 23 11 28 8204 V xx dx xx dx x 2 2 3 2 0 4 46 0 4 28464 1 4 1 5 1 64 1 7 57 0 4 xx 第 5 页 共 7 页 35 512 7 1 5 1 44 三 解答下列各题三 解答下列各题 本本 大大 题题 10 分分 证明在连续 可导 从而在连续 可导 f x 0 3 又ffff 01230 则分别在上对应用罗尔定理得 至少存在 01122 3f x 123123 01122 30 使fff 即至少有三个实根 fx 0 0 它至多有三个实根是三次方程又 x f 由上述有且仅有三个实根 fx 参考答案参考答案 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 3 分 本题共分 本题共 15 分分 1 2 k 1 3 4 5 6 e x x 1 1 yxxf2cos2 二 单项选择题 每小题二 单项选择题 每小题 3 分 本题共分 本题共 15 分分 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 三 计算题 本题共三 计算题 本题共 56 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 解 x x x 2sin 24 lim 0 8 1 24 2sin 2 lim 2 1 24 2sin lim 00 xx x xx x xx 2 解 2 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 11 lim 0000 xxx x x xx x x x x x x x xeee e xee e ex xe ex 3 解 2 cos 1 0 2 lim x dte x t x ex xe x x 2 1 2 sin lim 2 cos 0 4 解 1 1 1 1 1 22 xxx y 2 1 1 x 5 解 t t t t dx dy 2 1 1 2 1 1 2 2 22 2 23 2 1 1 2 2 4 1 d ytddy dxt dtt dt dxdxt t 第 6 页 共 7 页 6 解 C x d x dx xx 3 2 cos 2 1 3 3 2 3 2 sin 2 1 3 2 sin 1 2 7 解 xx exxxedcosdcos sinxdxecos x xex x desincosxxex dxcossincosxexexe xxx Cxxex cos sin 8 解 0 1 1 0 1 1 2 0 d d d d 1 xxfxxfxxfxxf 1 0 0 1 1 d 1 d x x e x x 1 0 0 1 1ln d 1 1 xx e e x x 2ln 1ln 1 0 1 x e 1ln 1ln 1 1 ee 四 四 应用题 本题应用题 本题 7 分分 解 曲线与的交点为 1 1 2 xy 2 yx 于是曲线与所围成图形的面积 A 为 2 xy 2 yx 3 1 3 1 3 2 1 0 2 1 0 2 3 2 xxdxxxA A 绕轴旋转所产生的旋转体的体积为 y 10 3 52 1 0 52 1