四川省绵阳市2012届高三数学3月月考试题 理 新人教A版

用心 爱心 专心1 四川省江油中学高四川省江油中学高 20122012 届高三届高三 3 3 月月考月月考 数学 理工类 数学 理工类 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 第 卷 非选择题 两部分 2 本堂考试 120 分钟 满分 150 分 3 本堂考试附有答题卡 答题时 请将第 卷和第 卷的答案规范地填涂在答题卡上 4 答题前 请将自己的姓名 学号用 2B 铅笔规范地填涂在答题卡上 并在答题卷上 密封线内用钢笔工整地填上自己的班级 姓名和学号 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 个小题 每个小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 把它选出来填涂在答题卡上 1 设集合则 2 5 4210 Sx xTx xx ST 75xx 35xx 53xx 75xx 2 若纯虚数z满足 2i 4izb 其中i是虚数单位 b是实数 则b A 2 B 2C 8 D 8 3 已知函数 sin yAxm 的最大值为 4 最小值为 0 最小正周期为 2 直线 3 x 是其图象的一条对称轴 则符合条件的函数解析式是 A 4sin 4 6 yx B 2sin 22 3 yx C 2sin 42 3 yx D 2sin 42 6 yx 用心 爱心 专心2 4 如果数列 是首项为1 公比为的等比数列 则等于 1 a 2 1 a a 3 2 a a 1 n n a a 2 5 a A 32B 64C 32D 64 5 已知为锐角 且 则 cos 7 1 cos 14 11 A B C D 以上答案都不对 3 4 5 12 6 已知点P在抛物线x2 4y上 且点P到x轴的距离与点P到焦点的距离之比为 3 1 则 点P到x轴的距离为 A B 1 C D 2 1 2 1 4 7 若实数x y满足且的最小值为 4 则实数b的值为 20 xy yx yxb 2zxy A 0B 2C D 3 8 3 8 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为棱C1D1 C1C的中点 则下列命题 中正确的是 A 直线AM与直线C1C相交 B 直线AM与直线BN平行 C 直线AM与直线DD1所成角为 4 D 直线AB与直线MB1的距离为 1 9 已知圆的方程为 x2 y2 6x 8y 0 设该圆过点 3 5 的最长弦和最短弦 分别为 AB 和 BD 则四边形 ABCD 的面积为 A 10 B 20 C 30 D 406666 10 过椭圆左焦点F且倾斜角为60 的直线与椭圆交于A B两点 若 3 2 AFFB 则椭圆的 离心率等于 A 2 3 B 2 5 C 1 2 D 2 3 11 学校体育组新买个同样篮球 个同样排球 从中取出 4 个发放给高一 4 个班 每23 班 个 则不同的发放方法共 1 A 4 种 B 10 种 C 18 种 D 20 种 12 已知数列 n a的通项公式为 2 n an n N 现将该数列 n a的各项排列成如图的三 角数阵 记 M s t表示该数阵中第s行的第t个数 则数阵中的偶数 2010 对应于 A 46 16 MB 46 25 M C 45 15 M D 45 25 M 用心 爱心 专心3 第 II 卷 非选择题 90 分 注意事项 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中 答卷前将密封线内的项目填写清楚 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在答题卡题中相应的横线 上 13 若 282210 0110 1 1 xxaa xaxa x 则 1210 aaa 的值为 14 若 2 a R 则 lim n a 1 n 1 n 2 lim x 1 ax2 3x 2 x a 15 在半径为R的球内有一内接正三棱锥 其底面上的三个顶点恰好都在同一个大 圆上 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动 经过其余三点返回 则经过的 最短路程是 16 对于函数 f x 若存在区间 Ma b 其中ab 使得 y yf x xMM 则称区间M为函数 f x的一个 稳定区间 给出下列 4 个函数 2 34f xxx 21 x f x cos 2 f xx x f xe 其中存在 稳定 区间 的函数有 填出所有满足条件的函数序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知向量 1 sin xm 2 1 cos3 xn 函数 mnmxf I 求函数 xf的最小正周期 II 若a b c是ABC 的内角A B C的对边 32 a 22 c 且 Af是函数 xf在 2 0 上的最大值 求 角A 角C及b边的大小 18 本小题满分 12 分 为了拓展网络市场 腾讯公司为用户推出了多款应用 QQQQ 如 农场 音乐 读书 等 某校研究性学习小组准备举行一次 QQQQQQ 使用情况 调查 从高二年级的一 二 三 四班中抽取 10 名学生代表参加 抽QQ AO B C S 第 15 题解 图 用心 爱心 专心4 取不同班级的学生人数如下表所示 班级一班二班三班四班 人数2 人3 人4 人1 人 I 从这 10 名学生中随机选出 2 名 求这 2 人来自相同班级的概率 II 假设在某时段 三名学生代表甲 乙 丙准备分别从农场 音乐 QQQQ 读书中任意选择一项 他们选择农场的概率都为 选择音乐的概率都为 QQQQ 1 6 QQ 1 3 选择读书的概率都为 他们的选择相互独立 设在该时段这三名学生中选择读QQ 1 2 QQ 书的总人数为随机变量 求随机变量的分布列及数学期望 E 19 本小题满分 12 分 如图 已知E F分别是正方形ABCD边BC CD的中点 EF与AC 交于点O PA NC都垂直于平面ABCD 且PA AB 4 NC 2 M是线段PA上的一动点 I 求证 平面PAC 平面NEF II 若PC 平面MEF 试求PM MA的值 III 当M的是PA中点时 求二面角M EF N的余弦值 20 本题满分 12 分 已知函数 ln3 f xaxaxaR I 当时 求函数的单调区间 1a f x II 若函数的图象在点处的切线的倾斜角为 问 m在什么范 yf x 2 2 f45 围取值时 对于任意的 函数在区间上总存 1 2 t 32 2 m g xxxfx 3 t 在极值 用心 爱心 专心5 第 21 题 图 21 本题满分 12 分 如图 圆O方程为 点P在圆上 点D在x轴上 点M 22 4xy 在DP延长线上 圆O交y轴于点N 且 DPON 3 2 DMDP I 求点M的轨迹C的方程 II 设 若过F1的直线交 I 中曲线C于A B两点 求 12 0 5 0 5 FF 的取值范围 BFAF 22 22 本题满分 14 分 顶点在坐标原点 开口向上的抛物线经过点 过点作抛物 0 1 1 A 0 A 线的切线交x轴于点B1 过点B1作x轴的垂线交抛物线于点A1 过点A1作抛物线的 切线交x轴于点B2 过点作抛物线的切线交x轴于点 nnn A xy 11 0 nn Bx I 求数列 xn yn 的通项公式 nN II 设 数列 an 的前n项和为Tn 求证 1 11 11 n nn a xx 1 2 2 n Tn III 设 若对于任意正整数n 2 1log nn by 不等式 成立 求正数a的取值范围 12 11 1 1 bb 1 1 n b 23an 四川省江油中学高四川省江油中学高 20122012 届高三届高三 3 3 月月考月月考 第 22 题 图 B2B1 A2 A1 A0 O y x 用心 爱心 专心6 数学 理工类 参考答案数学 理工类 参考答案 123456789101112 CCDAAADDBBBC 13 511 14 1 15 16 7 R 3 17 1 2 3 cossin3sin 1 sin 2 3 cos3sin 2 xxxxxxxf 2 6 2sin x T 5 分 2 2 0 x 6 5 6 2 6 x xf的最大值为 3 32 6 2sin AAf A为三角形内角 3 A 6 分 又 Csin 22 3 sin 32 得 2 2 sin C CA 4 C 9 分 由 2 1 222812 2 bb 得0422 2 bb 62 b 12 分 18 解 1 记这两名学生都来自第 班为事件i 1 2 3 4 i A i 则 2 2 1 2 10 1 45 C P A C 2 3 2 2 10 3 45 C P A C 2 4 3 2 10 6 45 C P A C 4 0P A 1234 102 459 PP AP AP AP A 2 的取值为 0 1 2 3 3 11 0 28 P 3 1 3 13 1 28 PC 3 2 3 13 2 28 PC 3 3 3 11 3 28 PC 的分布列为 0 123 2 分 各 1 分 用心 爱心 专心7 P 1 8 3 8 3 8 1 8 或 13313 0123 88882 E 3 2 Enp 19 19 解 法 1 1 连结 BD 平面 平面 PA ABCDBD ABCD 1 分PABD 又 BDAC ACPAA 平面 2 分BD PAC 又 分别是 的中点 EFBCCD 3 分 EFBD 平面 又平面 EF PACEF NEF 平面平面 4 分PAC NEF 2 连结 OM 平面 平面平面 PCMEFPAC MEFOM PCOM 1 4 PMOC PAAC 故 8 分 1 3PM MA 3 平面 平面 EF PACOM PACEF OM 在等腰三角形中 点为的中点 NEFOEFNOEF 为所求二面角的平面角 9 分MON MEFN 点是的中点 MPA2AMNC 所以在矩形中 MNCA 可求得 10 分4 2MNAC 6NO 22MO 在中 由余弦定理可求得 MON 222 33 cos 233 MOONMN MON MO ON 二面角的余弦值为 12 分MEFN 33 33 法 2 1 同法 1 2 建立如图所示的直角坐标系 则 0 0 4 P 4 4 0 C 4 2 0 E 2 4 0 F 4 4 4 PC 2 2 0 EF 设点的坐标为 平面的法向量为 则 M 0 0 mMEF nx y z 4 2 MEm 所以 即 令 则 故 0 0 n ME n EF 420 220 xymz xy 1x 1y 6 z m 6 1 1 n m 平面 即 解得 PCMEF0PC n 24 440 m 3m 故 即点为线段上靠近的四等分点 3AM MPAP 故 8 分 1 3PM MA 2 分 4 分 用心 爱心 专心8 3 则 设平面的法向量为 4 4 2 N 0 2 2 EN NEF mx y z 则 即 9 分 0 0 m EN m EF 220 220 yz xy 令 则 1x 1y 1z 即 10 分 1 1 1 m 当是中点时 则 MPA2m 1 1 3 n 1 1 333 cos 33311 m n 二面角的余弦值为 12 分MEFN 33 33 20 1 分 0 a fxa x x I 当时 2 分1a 11 1 x fx xx 令时 解得 所以在 0 1 上单调递增 4 分 0fx 01x f x 令时 解得 所以在 1 上单调递减 6 分 0fx 1x f x II 因为函数的图象在点 2 处的切线的倾斜角为 45o yf x 2 f 所以 所以 7 分 2 1 f 2a 2 2fx x 32 2 2 2 m g xxx x 32 2 2 2 m xxx 9 分 2 3 4 2g xxm x 因为任意的 函数在区间上总存在极值 1 2 t 32 2 m g xxxfx 3 t 所以只需 11 分 2 0 3 0 g g 解得 12 分 37 9 3 m 21 I 设 00 p xyM x y 3 分 00 00 23 3 32 2 yyyy DMDP xxxx 由于 代入得 5 分 22 00 4xy 22 1 49 xy II 当直线AB的斜率不存在时 显然 6 分 22 4F A F B A 当直线AB的斜率存在时 不妨设AB的方程为 5ykx 用心 爱心 专心9 不妨设 22 22 5 94 8 5160 1 49 ykx kxkx xy 由 11122 A xyB xy 则 12 2 12 2 8 5 94 16 94 k xx k x x k 2211221122 5 5 2 5 2 5 F A F Bx yxyx kxx kx AAA 8 分 2 12121212 2 5 2 5 1 2 5 20 x xkxkxkx xk xx A 10 分 222 2222 16 1 809616200 20204 94949494 kkk kkkk 22 2 200200 09940 949 kk k 11 分 22 164 4 9 F A F B A 综上所述的范围是 12 分 22 F A F B A 164 4 9 22 I 由已知得抛物线方程为 2 分 2 2yxyx 则设过点的切线为 nnn A xy 2 2 nnn yxxxx 令 故 又 所以 4 分0 2 n x yx 1 2 n n x x 0 1x 1 2 n n x 1 4 n n y II 由 1 知 1 2 n n x 所以 1 1 1 1122 11 2121 1 1 22 nn n nn