【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题07 立体几何（文）（教师版）

1 专项冲击波专项冲击波 2013 2013 年高考数学年高考数学 讲练测系列讲练测系列 专题专题 0707 立体几何立体几何 文 文 教师版 教师版 考纲解读考纲解读 1 掌握平面的基本性质 三个公理 三个推论 理解确定平面的条件 会用字母 集合语 言表示点 直线 平面间的关系 2 理解线线 线面平行的定义 熟练掌握线线 线面及面面平行的判定和性质 会运用线线 线面及面面平行的判定和性质进行推理和证明 3 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等简易组合 的三视图 能识别上 述三视图所表示的立体模型 会画它们的直观图 4 理解空间中线线 线面垂直定义及分类 理解空间中线线 线面 面面垂直的有关定理 及性质 会运用线面平行与垂直的判定与性质定理进行证明和推理 5 认识柱 锥 台 球及简单几何体的结构特征 并运用这些特征描述简单物体的结构 了 解柱 锥 台 球的表面积与体积的计算公式 不要求记忆 考点预测考点预测 1 对于空间几何体中点 线 面的位置关系及平行与垂直的性质和判定 高考中常在 选择题中加以考查 解答题主要考查空间几体的点 线 面的位置关系的证明及探索存在性 问题 着重考查学生的空间想象能力 推理论证能力 运用图形语言进行交流的能力及几 何直观能力 难度中等 明年高考将仍以平行与垂直关系的证明探究为重点 注意命题题型 的多样化 新颖化 如开放性 探索存在性题型 2 三视图与直观图 空间几何体的表面积与体积 考查了学生通过直观感知 操作确 认 思辨论证 度量计算等方法认识和探索几何图形及性质的基本能力 是每年高考必考 内容 明年高考仍以三视图 空间几何体的表面积与体积为重点 在客观题中加以考查 其中表面积与体积也可能在解答题题后一问中出现 要点梳理要点梳理 1 三视图 正俯视图长对正 正侧视图高平齐 俯侧视图宽相等 2 直观图 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于 y 轴 的线段平行性不变 但在直观图中其长度为原来的一半 3 体积与表面积公式 1 柱体的体积公式 锥体的体积公式 V 柱 ShV 锥 1 3 Sh 台体的体积公式 球的体积公式 V 棱台 1 3 h SSSS V 球 3 4 3 r 2 球的表面积公式 2 4SR 球 4 有关球与正方体 长方体 圆柱 圆锥 圆台的结合体问题 要抓住球的直径与这些 几何体的有关元素的关系 5 平行与垂直关系的证明 熟练判定与性质定理 考点在线考点在线 考点一考点一 三视图三视图 2 例例 1 1 2012 2012 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 8 8 将正方形 如图 1 所示 截去两个三棱锥 得到图 2 所 示的几何体 则该几何体的左视图为 答案答案 B 解解析析 因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形 其中的正投影是正方 1 D A 形的对角线 实线 的正投影被遮住是虚线 所以 B 正确 1 BC 名师点睛名师点睛 本题考查空间图像的直观图与三视图 考察空间想象能力与逻辑推理能力 注意培养 备考提示备考提示 三视图是高考的热点之一 年年必考 所以必须熟练立体几何中的有关定理是 解答好本题的关键 练习练习 1 1 2012 2012 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 4 4 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么 这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 答案答案 D 解析解析 圆的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图均为圆 三棱锥的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图可以为全等的三角形 正方体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图均为正方形 圆柱的正视图 主视图 侧视图 左视图 为矩形 俯视图为圆 考点二考点二 表面积与体积表面积与体积 例例 2 2 2012 2012 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 7 7 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 3 A 28 6 5 B 30 6 5 C 56 12 5 D 60 12 5 答案答案 B 解析解析 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥 如图所示 图中蓝色数字所表示的 为直接从题目所给三视图中读出的长度 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和 利用垂直关系和三角形面积公式 可得 因此该几何体表面积10 底 S10 后 S10 右 S56 左 S 故选 B 5630 左右后底 SSSSS 名师点睛名师点睛 本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 备考提示备考提示 表面积与体积的求解也是高考的热点之一 年年必考 大多以三视图为载体 在选择与填空题中考查 难度不大 也可能在解答题的一个问号上 练习练习 2 2 2012 2012 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 10 10 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何 体的体积 3 m 4 考点三考点三 球的组合体球的组合体 例例 3 3 2012 2012 年高考新课标全国卷理科年高考新课标全国卷理科 11 11 已知三棱锥的所有顶点都在球的求SABC O 面上 是边长为 的正三角形 为球的直径 且 则此棱锥的体积为ABC 1SCO2SC A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 答案答案 A 解析解析 的外接圆的半径 点到面的距离 ABC 3 3 r OABC 22 6 3 dRr 为球的直径点到面的距离为 SCO SABC 2 6 2 3 d 此棱锥的体积为 1132 62 2 33436 ABC VSd 另 排除 13 2 36 ABC VSR B C D 5 名师点睛名师点睛 本小题考查三棱锥的外接球体积的求解 关键是找出球的半径 备考提示备考提示 球的组合体 在高考中 经常考查球与长方体 正方体 三棱锥 四棱锥 圆 锥 圆柱等的组合 熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键 练习练习 3 3 20122012 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1616 已知点 P A B C D 是球 O 表面上的点 PA 平 面 ABCD 四边形 ABCD 是边长为 2正方形 若 PA 2 则 OAB 的面积为36 例例 4 4 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 1616 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 分别是棱上的点 点D 不同 111 ABCABC 1111 ABAC DE 1 BCCC 于点C 且为的中点 ADDEF 11 BC 求证 1 平面平面 ADE 11 BCC B 2 直线平面ADE 1 AF 解析解析 证明 1 是直三棱柱 平面 111 ABCABC 1 CC ABC 又 平面 AD ABC 1 CCAD 又 平面 平面 1 ADDECCDE 111 BCC BCCDEE AD 11 BCC B 又 平面 平面平面 AD ADEADE 11 BCC B 6 名师点睛名师点睛 本题主要考查空间中点 线 面的位置关系 考查线面垂直 面面垂 直的性质与判定 线面平行的判定 解题过程中注意中点这一条件的应用 做题规 律就是 无中点 取中点 相连得到中位线 本题属于中档题 难度不大 考查 基础为主 注意问题的等价转化 备考提示备考提示 熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键 练习练习 4 4 2012 2012 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 19 19 本小题满分 12 分 如图 几何体是四棱锥 为正三角形 EABCD ABD CBCD ECBD 求证 BEDE 若 M为线段AE的中点 120BCD 求证 平面 DMBEC 7 考题回放考题回放 1 2012 2012 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 5 5 设 是直线 a 是两个不同的平面 则下列说法正确的l 是 A 若 a 则 a B 若 a 则 a llll C 若 a a 则 D 若 a a 则 llll 2 2 2012 2012 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 7 7 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A 72 B 48 C 30 D 24 3 2012 2012 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 3 3 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该三棱锥 的体积是 8 4 20122012 年高考新课标全国卷文科年高考新课标全国卷文科 7 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 粗线画出的1 是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A6 B9 C D 5 20122012 年高考新课标全国卷文科年高考新课标全国卷文科 8 8 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 球心 O 到平面 的距离为 则此球的体积为 2 A B 4 C 4 D 6 6363 9 6 2012 2012 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 4 4 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体的俯 视图不可能是 7 2012 2012 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 8 8 已知正四棱柱中 1111 ABCDABC D 2AB 为的中点 则直线与平面的距离为 1 2 2CC E 1 CC 1 ACBED A B C D 2321 10 过 C 做于 则即为所求距离 因为底面边长为 2 高为 所以OECF FCF22 所以利用等积法得 选 D 22 AC2 2 CEOC2 OE1 CF 8 2012 2012 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 9 9 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 和且长为2a 的棱与长为的棱异面 则的取值范围是 a2a A B C D 0 2 0 3 1 2 1 3 答案 A 解析 2 22 1 22 BE BFBE 22ABBF 9 2012 2012 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 10 10 如图 半径为的半球R 的底面圆在平面内 过点作平面的垂线交半球OO O 面于点 过圆的直径作平面成角的平面与半AOCD 45 球面相交 所得交线上到平面的距离最大的点为 该交 B 线上的一点满足 则 两点间的球面距P60BOP AP 离为 A B C D 2 arccos 4 R 4 R 3 arccos 3 R 3 R C A O D B P 11 1010 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 9 9 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如右图所示 则 该几何体的左视图为 1212 20112011 年高考海南卷文科第年高考海南卷文科第 8 8 题 题 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图 12 则相应的侧视图可以为 13 2012 2012 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 15 15 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 14 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 7 7 如图 在长方体中 1111 ABCDABC D 3cmABAD 1 2cmAA D AB C 1 C 1 D 1 A 1 B 13 则四棱锥的体积为 cm3 DDBBA 11 15 云南师大附中 云南师大附中 20132013 届高三高考适应性月考卷三文 届高三高考适应性月考卷三文 正三棱锥内接于球 ABCD O 且底面边长为 侧棱长为 2 则球的表面积为 3O 14 AM OA OD r 所以 解得 所以 3 22 3 1rr 2 3 r 2 16 4 3 Sr 16 天津市新华中学 天津市新华中学 20122012 届高三上学期第二次月考文 届高三上学期第二次月考文 如图 为等边三角形 PAD 为矩形 平面平面 分别为 ABCD PADABCD2 ABEFGPABC PD 中点 22 AD ADMF 平面 平面 MFPAD AG PAD 15 AGMF MMFEM 平面 AGEMFEFAG 3 2 3 1 3 1 AGPAGPFAGFP SMFVV 3 32 62 2 1 1717 2012 2012 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 19 19 本小题满分 12 分 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M 为棱 DD1上的一点 1 求三棱锥 A MCC1的体积 2 当 A1M MC 取得最小值时 求证 B1M 平面 MAC 16 1818 2012 2012 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 16 16 本小题共 14 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 D E 分别为 AC AB 的中点 点 F 为线段 CD 上的一点 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1F CD 如图 2 I 求证 DE 平面 A1CB II 求证 A1F BE III 线段 A1B 上是否存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 说明理由 高考冲策演练高考冲策演练 一 选择题 一 选择题 1 山东省烟台市莱州一中山东省烟台市莱州一中 20l320l3 届高三第二次质量检测文 届高三第二次质量检测文 对于直线 m n 和平面 有如下四个命题 17 1 若 2 若 mmnn 则 mmnn 则 3 若 4 若 则 mmn n 则 其中真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 答案 A 解析 1 错误 2 当时 则不成立 3 不正确 当有 n mmn n 又所以有 所以只有 4 正确 选 A n 2 北京四中北京四中 20132013 届高三上学期期中测验文 届高三上学期期中测验文 设为两个平面 为两条直线 且 有如下两个命题 若 若 那么 A 是真命题 是假命题 B 是假命题 是真命题 C 都是真命题 D 都是假命题 3 2012 2012 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 6 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 4 2012 2012 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 7 7 若一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积为 18 A B 5 C 4 D 11 2 9 2 5 云南师大附中云南师大附中 20132013 届高三高考适应性月考卷三文届高三高考适应性月考卷三文 一个几何体的三视图如图 1 所示 其 19 6 山东省聊城市东阿一中 山东省聊城市东阿一中 20132013 届高三上学期期初考试 届高三上学期期初考试 设直线 m n 和平面 下列 四个命题中 正确的是 A 若 B 若nmnm 则 则nmnm C 若 D 若 mm则 mmm则 7 山东省烟台市莱州一中 山东省烟台市莱州一中 20l320l3 届高三第二次质量检测文 届高三第二次质量检测文 一个简单几何体的主视图 左 视图如图所示 则其俯视图不可能为 长方形 直角三角形 圆 椭圆 其中正确的是 A B C D 8 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 4 4 若直线 不平行于平面 且 则 lala A 内的所有直线与 异面 B 内不存在与 平行的直线alal C 内存在唯一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交alal 9 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 10 10 高为2的四棱锥SABCD 的底面是边长为 1 的正 方形 点S A B C D均在半径为 1 的同一球面上 则底面ABCD的中心与 顶点S之间的距离为 A 10 2 B 23 2 C 3 2 D 2 20 答案 A 10 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 7 7 设球的体积为 V1 它的内接正方体的体积为 V2 下列说法 中最合适的是 A V1比 V2大约多一半B V1比 V2大约多两倍半 C V1比 V2大约多一倍D V1比 V2大约多一倍半 11 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 11 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如 下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 12 云南省昆明一中 云南省昆明一中 20132013 届高三新课程第一次摸底测试文 届高三新课程第一次摸底测试文 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 对角线 B1D 与平面 21 二 填空题 二 填空题 13 20122012 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1313 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 14 2012 2012 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 5 5 一个高为 2 的圆柱 底面周长为 该圆柱的表面积为 2 22 答案 6 解析 根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 所以该圆柱的表面积为 1 r 62422 2 rrlS圆柱表 15 2012 2012 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 13 13 如图 正方体的棱长为 1 E 为线段 1111 ABCDABC D 上的一点 则三棱锥的体积为 1 BC 1 ADED 16 2012 2012 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 14 14 如图 在正方体中 分别是 1111 ABCDABC D MN 的中点 则异面直线与所成的角的大小是 CD 1 CC 1 AMDN 三 解答题 三 解答题 17 20122012 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1818 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABCA B C 90BAC 2 ABAC AA 1 点 M N分别为 A B和 B C的中点 23 证明 MN 平面 A ACC 求三棱锥 AMNC 的体积 椎体体积公式 V 1 3 Sh 其中 S 为地面面积 h 为高 18 2012 2012 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 19 19 本小题满分 12 分 如图 6 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 底面 ABCD 是等腰梯形 AD BC AC BD 证明 BD PC 若 AD 4 BC 2 直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30 求四棱锥 P ABCD 的体积 24 中国 教 育出 版 19 云南省玉溪一中 云南省玉溪一中 20132013 届高三上学期期中考试文 届高三上学期期中考试文 本题满分 12 分 25 如图所示 四边形 ABCD 为正方形 QA 平面 ABCD PD QA QA AB PD 1 2 1 证明 PQ 平面 DCQ 2 求棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值 26 0 90 FBBFGFH FHBFFG HBCFHBC FHABCD FHACFHEGACEGACBDEGBDG ACEDB FBBFCBFCDEF BFBDEFBCA 证 由四边形ABC D 为正方形 有ABBC 又EF AB EFBC 而EF EF平面EF AB又为的中点 平面 又 又 平面 解 EF平面 为四面体的高 又