高三数学高考第一轮复习——几何体、表面积、体积（文）人教实验A版（文） 知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学高考第一轮复习高三数学高考第一轮复习 几何体 表面积 体积 文 人教实几何体 表面积 体积 文 人教实 验验 A 版 文 版 文 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 几何体 表面积 体积 二 重点 难点 1 正棱柱直棱柱 斜棱柱 棱柱 圆柱 柱体 ShV 2 正棱锥棱锥 圆锥 锥体 ShV 3 1 3 球 2 4 RS 3 3 4 RV 典型例题典型例题 例 1 正四面体 ABCD 棱长均为 则高 体积 侧棱与底面所成a 角余弦值为 侧面与底面所成角余弦值为 内切球半径 外接球 半径 AB CD 的距离 解 解 E 为 BC 中点 H 为 BCD 垂心 aDE 2 3 aDH 3 3 aEH 6 3 aAH 3 6 aAF 4 6 解依次为 aHF 12 6 aaaaa 2 2 4 6 12 6 3 1 3 3 12 2 3 6 3 例 2 半径为 1 的球的内接正四棱柱的体积的最大值 用心 爱心 专心 解 解 设底面边长为 高为 ah4 2 2 222 Rha hhh h haV2 2 1 2 2 3 2 2 V02 2 3 2 h 3 32 h 3 32 h 时 3 32 a 9 38 max V 例 3 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC AA1 2 ACB 90 E F G 为 AC AA 1 AB 中点 求证 1 B1C1 面 EFG 2 求异面直线 FG 与 AC1所成角 3 求三棱锥 B1 EFG 的体积 解 解 1 面 EFG 1111 11 CBGECB EGBC BCCB 2 D 为 A1C1中点 DF AC1 DFG 为 AC1与 GF 所成的角 2 2 1 1 ACDF3 22 AFAGGF5 22 GEDEDG 与 GF 所成角为 90 0 2 cos 222 DFGF DGDFGF DFG 1 AC 3 B1 面 EFG EFGB V 1 d 3 1 GEF S A 面 GEF 2 2 2 1 EFGES GEF dSAFSV GEFAEGEFGA 3 1 3 1 A 面 GEF B1 面 GEF d 2 2 d2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 3 1 1 EFGB V 用心 爱心 专心 例 4 四棱锥 P ABCD 棱长均为 1 并且面 EAC PB PDE 1 求二面角 E AD C 正弦值 2 求 CE 与底面所成角的正弦值 3 求 AB CE 所成角 4 求四面体 EPBC 的体积 解 解 面 ABCD 连 EH PHHBDAC E 为 PD 中点PBEH EHACEPBD ACEPB 面面 面 1 E AD C 二面角 即 P AD BC 二面角的正弦值为 3 3 2 F 为 DH 中点 连 EF EF PH EF 面 ABCD ECF 为所求 4 2 EF 2 3 EC 6 6 sin ECF 3 AB CE 所成角为 ECD 30 4 BCDEBCDPPBCE VVV 24 2 2 1 4 2 3 1 2 1 2 2 3 1 例 5 等腰梯形 ABCD 中 CD 2 AB 20 高为 MN 为上下底边的垂直平分线 152 沿 MN 折成 120 二面角 用心 爱心 专心 1 求 AC MN 所成角的正切值 2 求 AE MN 距离 3 求 AC 与面 ADMN 所成角的正弦值 解 解 1 过 C 作 CE BN 于 E CE MN ACE 为所求 NE 6 AE 14 CE MN 152 15 157 tan ACE 2 过 N 作 NF AE 于 F NF 为 MN AE 公垂线 7 315 NF 3 于 H CH 面 ADMN CAH 为所求CBCH CH AC 16 33 16 33 sin CAH 例 6 斜四棱柱 ABCD A1B1C1D1 棱长均为 2 A1AB A1AD BAD 60 求四棱 柱的体积 解 解 过 A1作 A1H 面 ABCD 于 H A1AB A1ADH 在 A 的平分线上 过 H 作 HE AB 于 EA1E AB 3 62 1 HA 2460sin 2 1 2 1 HAADABV 例 7 如图所示 已知平行六面体的底面 ABCD 是矩形 且侧面 1111 DCBAABCD ABB1A1 底面 ABCD AB1 BB1 AN 3NB M E 分别是 B1C AB 的中点 F 是 EC 的 中点 AB 4 MN 侧棱与底面 ABCD 成 45 的角 2 用心 爱心 专心 1 求证 MF 底面 ABCD 2 求二面角 M AB C 的大小 3 求 MN 与平面 B1CE 所成角的大小 解析 解析 1 证明 证明 底面 ABCD 又 M F 分别是 EB ABABCDAABB ABCDAABB ABEBEBAEBBAB 1 11 11 111 底面侧面 底面侧面 B1C EC 的中点MF B1EMF 底面 ABCD 2 由 1 知 B1BA 就是侧棱与底面所成的角 即 B1BA 45 B1E 2 又底 面是矩形 及 F N 分别是 EC EB 的中点FN AB 由三垂线定理MN AB MNF 就是二面角 M AB C 的平面角 在中 由 MNFRt 1 2 1 1 EBMF MN sin MNF 45 2 MNF 2 2 3 B1E 底面 ABCD平面 B1EC 底面 ABCD 又由 2 知 NFE 是等腰直 角三角形 取 EF 中点 H 连 NH MH 则 NH ECNH 平面 B1EC NMH 就是 MN 与平面 B1EC 所成的角 在中 由 NH MNHRt 30 2 1 sin 2 2 NMHNMH 例 8 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 AB 8 AD 侧面 PAD 为34 等边三角形 并且与底面所成二面角为 60 1 求四棱锥 P ABCD 的体积 2 求证 PA BD 解析 解析 1 如下图 取 AD 的中点 E 连结 PE 则 PE AD 用心 爱心 专心 作 PO 平面 ABCD 垂足为 O 连结 OE 根据三垂线定理的逆定理得 OE AD 所以 PEO 为侧面 PAD 与底面所成二面角的平面角 由已知条件可知 PEO 60 PE 6 所以 PO 四棱锥 P ABCD 的体积339633348 3 1 ABCDP V 2 证明 证明 如图 连结 AO 延长 AO 交 BD 于 F 通过计算可得 EO 3 AE 又知 AD AB 83234 得 所以 得 EAO ABD AB AD AE EO AEORt BADRt 所以 EAO ADF 90 所以 AF BD 因为直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的射影 所以 PA BD 例 9 如图所示 AB 是球 O 的直径 C D 是球面上两点 且点在以 BC 为直径的小圆上 设小圆所在的平面为 1 求证 平面 ABC 2 设 D 为的中点 AD 与平面所成的角为 过球的半径 OD 且垂直于平面 BC 的截面截 BC 弦于点 E 求 OED 与过 OD 的截面圆的面积之比 解析 解析 1 证明 证明 取 BC 的中点 O1 连 OO1 O1是以 BC 为直径的圆的圆心 则 OO1 BC D 为圆周上一点 用心 爱心 专心 OO1D DO1B 即 DO1B OO1D OO1 DO1 即 OO1 底面 BCD 又 OO1面 ABC 面 ABC 面 BCD 即面 ABC 2 D 为的中点 则 DO1 BC 过 OD 且垂直于平面的截面截 BC 弦于 E E BC 即是 O1 OED OEB AC DE AC 面 BCD ADC 设 BC 则 CD AC CDr2r2 tan2tanr 22222 4tan22rrBCACR 圆圆圆 S S S S S S ABC OEBOED 4 1 4tan2 tan2 tan 2 1 2tan2 2 1 4 1 2 222 rr rr 例 10 三棱锥 V ABC 中 VA 底面 ABC ABC 90 1 求证 V A B C 四点在同一个球面上 2 过球心作一平面与底面内直线 AB 垂直 求证 此平面截三棱锥所得的截面是矩 形 证明 证明 1 如图所示 取 VC 的中点 M VA 底面 ABC 且 ABC 90 BC VB 在中 M 为 VC 的中点VBCRt MB MC MV 同理 在中 MA MC MVVACRt VM AM BM CM V A B C 四点在同一球面上 2 取 AC AB VB 的中点为 N P Q 连结 NP PQ QM MN 则 MNPQ 就 是垂直于 AB 的三棱锥 V ABC 的截面 易知 MNPQ 是平行四边形 又 VA BC PQ VA NP BC PQ PN 故截面 MNPQ 是矩形 例 11 如图 在五面体 ABCDEF 中 点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点 面 CDE 是等 边三角形 棱 EFB C 2 1 1 证明 FO 平面 CDE 2 设 BC CD 证明 EO 平面 CDF 3 用心 爱心 专心 证明 证明 1 取 CD 中点 M 连结 OM 在矩形 ABCD 中 OMBC 又 EFBC 则 EFOM 连结 EM 于是四边形 2 1 2 1 EFOM 为平行四边形 FO EM 又 FO平面 DCE 且 EM平面 CDE FO 平面 CDE 2 连结 FM 由 1 和已知条件 在等边 CDE 中 CM DM EM CD 且 EM EFBCCD 2 1 2 3 因此平行四边形 EFOM 为菱形 从而 EO FM CD OM CD EM CD 平面 EOM 从而 CD EO 而 FM CD M EO 平面 CDF 例 12 三棱锥各侧面与底面成 45 角 底面三角形各角成等差数列 而最大边和最小边 的长是方程的两根 求此三棱锥的侧面积和体积 032273 2 xx 解析 解析 设底面三角形的三内角为 A B C 且对应边长为 则 B 60 为cba ca 方程的两根 由韦达定理有 又032273 2 xx9 ca 3 32 ac 222 cab 493 60cos2 2 accaac 由于三棱锥各侧面与底面成 45 角 可知顶点 P 在底面上的射影 O 为 7 b ABC 的内切圆圆心 如图所示 用心 爱心 专心 Bacrcbasin 2 1 2 1 3 3 r 68 3 3 216 2 1 3 2 1 3 PDcbaS侧 3 3 16 2 1 3 1 3 1 POSV ABC 9 8 3 3 例 13 如图 点 A 在直线 上的射影为 A1 点 B 在l BA l 上的射影为 B1 已知 AB 2 AA1 1 BB1 求 l2 1 直线 AB 分别与平面所成角的大小 2 二面角 A1 AB B1的正弦值 解析 解析 1 如图 连结 A1B AB1 lBBlAAl 11 11 BBAA 则 BAB1 ABA1分别是 AB 与和所成的角 用心 爱心 专心 中 AB 2 ABBRt 1 2 1 BB 2 2 sin 1 1 AB BB BAB BAB1 45 中 AA1 1 AB 2BAARt 1 2 1 sin 1 1 AB AA ABA 30 1 ABA 故 AB 与平面所成的角分别是 45 30 2 BB1 平面 ABB1 在平面内过 A1作 A1E AB1交 AB1于 E 则 A1E 平面 AB1B 过 E 作 EF AB 交 AB 于 F 连结 A1F 则由三垂线定理得 A1F AB A1FE 就是所求二面角的平面角 在中 BAB1 45 AB1 B1B 1 ABBRt 2 在中 AA1 A1B1 1 A1E AB1 11B AARt 2 1 2 2 在中 BAARt 1 314 2 1 2 1 AAABBA 由得ABFABAAA 111 2 3 2 31 11 1 AB BAAA FA 在中 EFARt 1 3 6 sin 1 1 1 FA EA FEA 二面角的正弦值为 11 BABA 3 6 模拟试题模拟试题 答题时间 75分钟 1 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 则此球的体积为 32 A B C D 3 2 3 1 3 2 3 32 2 如图所示是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图 A B C 是展开图上的三点 则 在正方体盒子中 ABC 为 A 180 B 120 C 60 D 45 用心 爱心 专心 3 已知三棱锥 S ABC 的各顶点都在一个半径为的球面上 球心 O 在 AB 上 SO r 底面 ABC AC 则球的体积与三棱锥体积之比是 r2 A B C D 2 3 4 4 如图所示 一个空间几何体的正视图 侧视图 俯视图为全等的等腰直角三角形 如 果直角三角形的直角边长为 1 那么这个几何体的体积为 A 1 B C D 2 1 3 1 6 1 5 一平面截球得到直径是 6cm 的圆面 球心到这个平面的距离是 4cm 则该球的体积是 A B C D 3 3 100 cm 3 3 208 cm 3 3 500 cm 3 3 416 cm 6 半球内有一个内接正方体 则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A B C D 6 5 2 6 2 12 5 7 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱 这个四棱锥的底面为正方形 且底面边长与各侧棱长相等 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥 三 棱锥 三棱柱的高分别为 则等于 321 hhh 321 hhh A B C D 1 1 32 2 32 2 33 2 3 8 如图所示的一个 5 4 4 的长方体 阴影所示为穿透的三个洞 那么剩下部分的体积 是 A 50 B 54 C 56 D 58 9 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个顶点在该球的一个 大圆上 则该正三棱锥的体积是 A B C D 12 3 4 3 3 3 4 33 10 如图用 表示 1 个立方体 用表示两个立方体叠加 用 表示三个立方体叠加 那么下图是由 7 个立方体叠成的几何体 从正前方观察 可画出的平面图形是 用心 爱心 专心 11 如图所示 水平地面上有一个大球 现作如下方法测量球的大小 用一个锐角为 60 的三角板 斜边紧靠球面 一条直角边紧靠地面 并使三角板与地面垂直 P 为三角 板与球的切点 如果测得 PA 5 则球的表面积为 A 200 B 300 C 200 D 300 3 3 12 一个盛满水的三棱锥容器 不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D E F 且知 SD DA SE EB CF FS 2 1 若仍用这个容器盛水 则最多可盛原来水的 A B C D 29 23 27 23 27 19 35 31 13 利用斜二测画法得到的 三角形的直观图是三角形 平行四边形的直观图是平行四边形 正方形的直观图是正方形 菱形的直观图是菱形 以上结论正确的是 A B C D 14 已知一个几何体的三视图如图所示 分析此几何体的组成为 A 上面为棱台 下面为棱柱B 上面为圆台 下面为棱柱 C 上面为圆台 下面为圆柱D 上面为棱台 下面为圆柱 15 一个圆锥和一个圆柱等高 且体积相等 则这个圆锥和圆柱的底面半径之比为 A B C 1 1 D 2 13 11 3 16 若圆台的两底面面积分别为和 且圆台的高为 则圆台的体积 2 225cm 2 81cmcm9 用心 爱心 专心 为 A 1323 B 1300 C 670 D 1200 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 17 棱台上 下底面面积分别为 16 和 81 有一平行于底面的截面的面积为 36 则该截 面截得的两棱台上 下面部分的高的比为 A 1 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 18 已知一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的表面积是 A B C D 2 4 a 2 3 a 2 25a 2 23a 19 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S 其四个面的中心分别为 E F G H 设四面 体 EFGH 的表面积为 T 则等于 S T A B C D 9 1 9 4 4 1 3 1 20 已知过球面上三点 A B C 的截面圆心到球心的长度等于球半径的一半 且 AB BC CA 2 则球面面积是 A B C 4 D 9 16 3 8 9 64 21 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等 则该棱锥一定不是 A 三棱锥 B 四棱锥 C 五棱锥 D 六棱锥