2014届高三数学一轮复习 8.3圆的方程精讲精练 新人教版

1 第第 3 3 课课 圆的方程圆的方程 考点导读 1 掌握圆的标准方程与一般方程 能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程 理解圆 的标准方程与一般方程之间的关系 会进行互化 2 本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程 利用三角换元或数形结合求最值问题 题型难度以容易题和中档题为主 基础练习 1 已知点 A 3 2 B 5 4 以线段 AB 为直径的圆的方程为 x 1 2 y 1 2 25 2 过点A 1 1 B 1 1 且圆心在直线x y 2 0 上的圆的方程是 x 1 2 y 1 2 4 3 已知圆 C 的半径为 2 圆心在x轴的正半轴上 直线0443 yx与圆 C 相切 则圆 C 的方程为04 22 xyx 4 圆 22 420 xyxyc 与y轴交于 A B 两点 圆心为 P 若 APB 120 则实数 c值为 11 5 如果方程 22 0 xyDxEyF 22 40DEF 所表示的曲线关于直线 yx 对称 那么必有 D E 范例导析 例 1 设方程 2224 2 3 2 1 4 1690 xymxmym 若该方程表示一个圆 求 m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程 分析 配成圆的标准方程再求解 解 配方得 2 2 22 3 1 4 1 67xmymmm 该方程表示圆 则有 2 1670mm 得 1 1 7 m 此时圆心的轨迹方程为 2 3 41 xm ym 消去m 得 2 4 3 1yx 由 1 1 7 m 得x m 3 20 4 7 所求的轨迹方程是 2 4 3 1yx 20 4 7 x 注意 方程表示圆的充要条件 求轨迹方程时 一定要讨论变量的取值范围 如题中 20 4 7 x 变式 1 方程 22 4 1 40axayaxy 表示圆 求实数 a 的取值范围 并求出其中半 径最小的圆的方程 2 解 原方程可化为 2 2 2 2 2 1 24 22 aaa xy aaa 2 220 aa 当 a0 时 原方程表示圆 又 2 222 222 2222 44 4 22 22 aaaaaa r aaa 当 min 2 2ar 所以半径最小的圆方程为 22 112xy 例例 2 2 求半径为 4 与圆0424 22 yxyx相切 且和直线0 y相切的圆的方程 分析 分析 根据问题的特征 宜用圆的标准方程求解 解 解 则题意 设所求圆的方程为圆 222 rbyaxC 圆C与直线0 y相切 且半径为 4 则圆心C的坐标为 4 1 aC或 4 2 aC 又已知圆0424 22 yxyx的圆心A的坐标为 1 2 半径为 3 若两圆相切 则734 CA或134 CA 1 当 4 1 aC时 222 7 14 2 a 或 222 1 14 2 a 无解 故可得 1022 a 所求圆方程为 222 4 4 1022 yx 或 222 4 4 1022 yx 2 当 4 2 aC时 222 7 14 2 a 或 222 1 14 2 a 无解 故 622 a 所求圆的方程为 222 4 4 622 yx 或 222 4 4 622 yx 反馈练习 1 关于 x y 的方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示一个圆的充要条件是 B 0 且 A C 0 D2 E2 4AF 0 2 过点 P 8 1 Q 5 12 R 17 4 三点的圆的圆心坐标是 5 1 3 若两直线 y x 2k 与 y 2x k 1 的交点 P 在圆 x2 y2 4 的内部 则 k 的范围是 1 1 5 k 4 已知圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上 则这个圆的方程 是 22 460 xyxy 3 5 直线 y 3x 1 与曲线 x2 y2 4 相交于 A B 两点 则 AB 的中点坐标是 31 10 10 6 方程 2 11 1 xy 表示的曲线是 两个半圆 7 圆2 4 3 22 yx关于直线0 yx的对称圆的方程是 22 4 3 2xy 8 如果实数 x y 满足等式 2 2 23xy 那么 y x 的最大值是 3 9 已知点 1 1 A和圆4 7 5 22 yxC 求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路程为 8 10 求经过点 A 5 2 B 3 2 圆心在直线 2x y 3 0 上的圆的方程 解 设圆心 P x0 y0 则有 2 0 2 0 2 0 2 0 00 2 3 2 5 032 yxyx yx 解得 x0 4 y0 5 半径 r 10 所求圆的方程为 x 4 2 y 5 2 10 11 一圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0 上 且直线y x截圆所得弦长为 27 求此圆 的方程 解 因圆与y轴相切 且圆心在直线x 3y 0 上 故设圆方程为 222 3 9xbybb 又因为直线y x截圆得弦长为 27 则有 2 3 2 b