2011届高三数学一轮复习 正、余弦定理巩固与练习

巩固巩固 1 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 若c b B 120 则a 26 等于 A B 2 6 C D 32 解析 选 D 由正弦定理得 6 sin120 2 sinC sinC 1 2 又 C为锐角 C 30 A 30 ABC为等腰三角形 a c 故选 D 2 2 在 ABC中 a b c分别是角A B C所对的边 若A b 1 ABC的面积 3 为 则a的值为 3 2 A 1 B 2 C D 3 23 解析 选 D 由已知得 bcsinA 1 c sin60 c 2 则由余弦定理可得 1 2 1 2 3 2 a2 4 1 2 2 1 cos60 3 a 3 3 在 ABC中 cos2B cos2A是A B的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 C cos2B cos2A 1 2sin2B 1 2sin2A sin2BsinB A B 4 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若其面积S b2 c2 a2 1 4 则 A 解析 由已知得 bcsinA b2 c2 a2 sinA 由余弦定理可得 1 2 1 4 b2 c2 a2 2bc cosA sinA A 4 答案 4 5 原创题 在 ABC中 A B C所对的边分别为a b c 且满足 a b c 1 sinA sinB sinC 则c 若C 则 ABC的面积 22 3 S 解析 依题意及正弦定理得a b c 且a b c 1 22 因此c c 1 c 1 22 当C 时 c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab 1 3 a b 2 3ab 1 又a b 因此 2 3ab 1 2 ab 1 3 则 ABC的面积S absinC sin 1 2 1 2 1 3 3 3 12 答案 1 3 12 6 2009 年高考浙江卷 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且满足 cos 3 A 2 2 5 5 AB AC 1 求 ABC的面积 2 若c 1 求a的值 解 1 因为 cos A 2 2 5 5 所以 cosA 2cos2 1 sinA A 2 3 5 4 5 又由 3 得bccosA 3 所以bc 5 AB AC 因此S ABC bcsinA 2 1 2 2 由 1 知 bc 5 又c 1 所以b 5 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosA 20 所以a 2 5 练习 1 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 又a b c成等比数列 且 c 2a 则 cosB A B 1 4 3 4 C D 2 4 2 3 解析 选 B a b c成等比数列 b2 ac 又由c 2a cosB a2 c2 b2 2ac a2 4a2 ac 2ac 5a2 2a2 4a2 3 4 2 ABC的三内角A B C的对边边长分别为a b c 若a b A 2B 则 5 2 cosB A B 5 3 5 4 C D 5 5 5 6 解析 选 B 由正弦定理 又 a b A 2B sinA a sinB b 5 2 b 0 sinB 0 sin2B 5 2 b sinB b 1 cosB 故选 B 2cosB 5 2 5 4 3 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且 2c2 2a2 2b2 ab 则 ABC是 A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等边三角形 解析 选 A 2c2 2a2 2b2 ab a2 b2 c2 ab 1 2 cosC 0 a2 b2 c2 2ab 1 4 所以 ABC是钝角三角形 故选 A 4 在 ABC中 A B C所对的边分别为a b c 如果c a B 30 那么C等 3 于 A 120 B 105 C 90 D 75 解析 选 A 依题意由正弦定理得 sinC sinA 又B 30 sinC sin 150 33 C cosC sinC 即 sinC cosC tanC 又 0 Ca C A 45 C 60 或 120 满足条件的三角形有 2 个 即m 2 am 4 6 在 ABC中 角A B C所对的边分别是a b c 若b2 c2 bc a2 且 a b3 则角C的值为 A 45 B 60 C 90 D 120 解析 选 C 由b2 c2 bc a2得b2 c2 a2 bc cosA A 60 b2 c2 a2 2bc 1 2 又 a b3 sinA sinB3 sinB sinA 3 3 3 3 3 2 1 2 B 30 C 180 A B 90 7 在 ABC中 已知BC 12 A 60 B 45 则AC 解析 由正弦定理知 AC BC 12 12 4 4 AC sinB BC sinA sinB sinA 2 2 3 2 2 3236 答案 4 6 8 在 ABC中 若AB 3 ABC 75 ACB 60 则BC等于 解析 根据三角形内角和定理知 BAC 180 75 60 45 根据正弦定理得 BC sin BAC AB sin ACB 即 BC BC sin45 3 sin60 3sin45 sin60 3 2 2 3 26 答案 6 9 在 ABC中 AB 2 AC BC 1 AD为边BC上的高 63 则AD的长是 解析 如图由余弦定理得 cosB 22 1 r 3 2 r 6 2 2 2 1 r 3 1 2 B 故AD ABsin 2 3 3 3 23 答案 3 10 已知 ABC的周长为 1 且 2 sinA sinB sinC 2 1 求边AB的长 2 若 ABC的面积为 sinC 求角C的度数 1 6 解 1 由题意及正弦定理 得 AB BC AC 1 2 BC AC AB 2 两式相减 得AB 1 2 由 ABC的面积 BC AC sinC sinC 1 2 1 6 得BC AC 1 3 由余弦定理 得 cosC AC2 BC2 AB2 2AC BC AC BC 2 2AC BC AB2 2AC BC 1 2 C 60 11 2009 年高考全国卷 设 ABC的内角A B C的对边长分别为 a b c cos A C cosB b2 ac 求B 3 2 解 由 cos A C cosB 及B A C 得 3 2 cos A C cos A C 3 2 cosAcosC sinAsinC cosAcosC sinAsinC 3 2 sinAsinC 3 4 又由b2 ac及正弦定理得 sin2B sinAsinC 故 sin2B 3 4 sinB 或 sinB 舍去 3 2 3 2 于是B 或B 3 2 3 又由b2 ac知b a或b c 所以B 3 12 ABC中 角A B C对边的边长分别是a b c 且a cosB cosC b c 1 求证 A 2 2 若 ABC外接圆半径为 1 求 ABC周长的取值范围 解 1 证明 a cosB cosC b c 由余弦定理得a a b c a2 c2 b2 2ac a2 b2 c