2011年高考一轮数学复习 9-7多面体和球理 同步练习（名师解析）

用心 爱心 专心 第第 9 9 章章 第第 7 7 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 球的截面性质及球面距离 1 已知球的表面积为 20 球面上有A B C三点 如图 如果AB AC BC 2 3 则球心到平面ABC的距离为 A 1 B 2 C 3 D 2 答案 A 2 设M N是球O半径OP上的两点 且NP MN OM 分别过N M O作垂直于OP的 平面 截球面得三个圆 则这三个圆的面积之比为 A 3 5 6 B 3 6 8 C 5 7 9 D 5 8 9 解析 设球的半径为 3R 依题意 得过N M O作垂直于OP的平面 截球面得到三 个圆的半径的平方分别是 3R 2 2R 2 5R2 3R 2 R2 8R2 3R 2 9R2 因此这三个圆 的面积之比为 5 8 9 选 D 答案 D 3 把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角 折成直二面角后 在 2 A B C D四点所在的球面上 B与D两点之间的球面距离为 A 2 B C 2 D 3 解析 由题意可知AC 2 取AC中点O 由A B C D四点在同一球面上 且 OA OB OC OD 知O为球心 半径R 1 易知 BOD为直二面角的平面角 BOD 2 B D两点间的球面距离l R 2 2 答案 C 4 2009 江西九校联考 已知球O的表面积为 16 且球心O在 60 的二面角 l 的内部 若平面 与球相切于M点 平面 与球相截 且截面圆O1的半径为 P为圆O1的圆周上任意一点 则M P两点的球面距离的最小值为 3 解析 如图 依题意 OM OO1 用心 爱心 专心 球的表面积为 16 球的半径r 2 OM 2 过M作MA l 平面 与球相截 连接AO1 交截面圆O1于P 此时点P即为所求 则截面圆O1的 半径O1P MAO1 60 3 MOO1 120 在直角三角形PO1O中 PO 2 POO1 60 POM 60 M P两点的球面距离为 2 3 答案 2 3 考点二 球的表面积与体积 5 已知球的两个平行截面的面积分别为 49 400 且两个截面之间的距离为 9 求球的表面积 解 右图为球的一个大圆截面 O1A2 49 则O1A 7 又 O2B2 400 O2B 20 1 当两截面在球心同侧时 OO1 OO2 9 R2 72R2 202 解得R2 625 S球 4 R2 2 500 2 当两截面在球心异侧时 OO1 OO2 9 无解 R2 72R2 202 综上 所求球的表面积为 2 500 6 球面上有三点A B C 任意两点之间的球面距离都等于大圆周长的四分之一 且 过这三点的截面圆的面积为 4 则此球的体积为 A 4 6 B 4 3 C 8 3 D 8 6 解析 设球的半径R 则任意两点的球面距离为 2 R R 两点连弧 大圆弧 所 1 4 1 2 1 2 对圆的圆心角为 两点的连线长度为R 则这三点构成正三角形 边长为R 过这三 222 点的截面圆的半径为 R R 面积为 R2 4 2 3 6 2 6 3 6 3 所以R 所以V R3 8 6 4 36 答案 D 用心 爱心 专心 考点三 球的组合体 7 在三棱锥S ABC中 SA 底面ABC 侧面SBA和侧面SBC成直二面角 1 求证 侧面SBC为直角三角形 2 若 BSC 45 SB a 求三棱锥S ABC的外接球的体积 分析 1 欲证侧面是直角三角形即证明BC SB即可 2 求外接球的体积的关键是找到球心的位置 求出半径 然后利用体积公式求解 解 1 证明 过A作AD SB于点D 平面SBA 平面SBC AD 平面SBC BC 平面SBC BC AD SA 底面ABC BC 底面ABC SA BC BC 平面SAB BC SB 侧面SBC为直角三角形 2 取SC的中点为O 连结AO BO 在 Rt SAC与 Rt SBC中 OA SO OC OB 即O到三棱锥S ABC的四个顶点的距离 相等 O为球心 SB a BSC 45 SC a 球半径R a 2 2 2 V R2 a3 4 3 2 3 三棱锥S ABC的外接球的体积为 a2 2 3 8 2010 淮安模拟 1 三棱锥A BCD的两条棱AB CD 满足AB CD 6 其余各棱 长均为 5 求三棱锥的内切球的半径 2 若正四面体的四个顶点都在表面积为 36 的一 个球面上 求这个正四面体的高 解 1 如下图 取CD的中点E 连结AE BE 因为AC AD CE ED 所以在 Rt ACE 中 AE 4 同理 可得BE 4 因为AB 6 所以AB边上的高为 所以S AC2 CE27 ABE 6 3 因为AE CD BE CD 所以CD 平面ABE 7 1 27 所以VA BCD 3 6 6 S表 S ABC 4 48 而S表 R VA BCD 解得R 1 377 1 3 3 8 因此内切球的半径为 7 3 7 8 2 如下图 用心 爱心 专心 设四面体边长为x 设球半径为R 所以AH x 4 R2 36 3 3 所以R 3 在 Rt AHO中 OH2 OA2 AH2 32 x 2 又在 Rt AHS中 SH2 SA2 AH2 所以SH2 x2 x 3 3 3 3 2 x2 2 x 2 9 解得x 2 所以h 4 故正四面体的高为 4 2 3 2 3x R 3 36 1 2009 四川 如图 在半径为 3 的球面上有A B C三点 ABC 90 BA BC 球心O到平面ABC的距离是 则B C两点的球面距离是 3 2 2 A 3 B C 4 3 D 2 解析 过球心O作平面ABC的垂线交平面于D ABC 90 BA BC 则D在直线AC 上 由于OD 3 2 2 则CD OC2 OD2 3 2 2 AC 3 2 由 ABC为等腰直角三角形可得BC 3 OBC为等边三角形 则B C两点的球面距离是 3 3 答案 B 2 2009 陕西 如图 球O的半径为 2 圆O1是一小圆 O1O A B是圆O1上两 2 点 若A B两点间的球面距离为 则 AO1B 2 3 用心 爱心 专心 解析 由A B两点间的球面距离为 2 3 知 AOB 则AB 2 3 又OO1 则O1A O1B 22 AO1B中 有O1A2 O1B2 AB2 故 AO1B 2 答案 2 3 2009 湖北 如图 卫星和地面之间的电视信号沿直线传播 电视信号能够传送到 达的地面区域 称为这个卫星的覆盖区域 为了转播 2008 年北京奥运会 我国发射了 中 星九号 广播电视直播卫星 它离地球表面的距离约为 36 000 km 已知地球半径约为 6 400 km 则 中星九号 覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km 结 果中保留反余弦的符号 解析 如图 cos AOB OB OA 6 400 36 000 6 400 8 53 球面距离的最大值约为 6 400 2 arccos 12 800 arccos 8 53 8 53 答案 12 800 arccos 8 53 4 2009 全国卷 直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上 若 AB AC AA1 2 BAC 120 则此球的表面积等于 解析 由题意 知球心O在线段O1O2的中点上 在 ABC中 由余弦定理得 BC 2 3 在 AO1C中 由正弦定理得 2O1C 4 即O1C 2 BC sin120 设球半径为R 在 Rt OO1C中 OO1 1 O1C 2 OC R 又R2 1 4 5 用心 爱心 专心 球的表面积为S 4 R2 20 答案 20 1 正三棱锥A BCD的侧棱长为 侧面与底面成 60 角 则它的外接球的体积为 21 3 A 1 372 81 B 343 162 C 1 372 27 D 343 54 解析 O1是A在平面BCD的射影 连结AO1 延长与外接球交于E 则AE是该球的直 径 连结BO1 并延长交CD于F 连结AF 则 AFB 60 设底面边长为a 则由图可知 BF a 于是在 AO1B中 3 2 由 AO1B 90 得AO1 AB2 BO2 1 7 3 f 2 3 f r 3 2 a 2 7 a2 3 在 AO1F中 由 AO1F 90 得AO1 FO1 tan60 a a 1 3 3 23 1 2 由 得 a 即a 2 7 a2 3 1 2 于是AO1 1 AB 21 3 在 ABE中 由 ABE 90 这是因为AE是球的直径 得AB2 AO1 AE 所以AE AB2 AO1 f r 21 3 2 1 7 3 从而外接球的体积V 3 4 3 AE 2 343 162 答案 B 2 在正三棱锥S ABC中 侧棱长SA 2