河北省唐山市区县2020届高三数学上学期第一次段考试题 文（含解析）

1 河北省唐山市区县河北省唐山市区县 20202020 届高三数学上学期第一次段考试题届高三数学上学期第一次段考试题 文 含文 含 解析 解析 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 1212 小题 共小题 共 6060 分 分 1 已知集合 则 10 1axr xbxz x ab a b c d 01xx 11xx 0 1 1 答案 c 解析 分析 先分别求出集合a b 由此利用交集定义能求出a b 详解 集合 10axr x 1ax x 1 0 1 2 1bxz x 0 1ab 故选 c 点睛 本题考查交集的求法 是基础题 注意条件 属于易错题 xz 2 命题 的否定是 4 0 xr xx a b 4 0 xr xx 4 0 xr xx c d 4 000 0 xr xx 4 000 0 xr xx 答案 d 解析 分析 利用全称命题的否定的规则写出其否定即可 详解 命题的否定为 故选 d xr 4 0 xx 点睛 全称命题的一般形式是 其否定为 存在性命 xm p x xmp x 题的一般形式是 其否定为 xm p x xmp x 2 3 设 则 0 5 2a 0 5 log0 6b 4 tan 5 c a b abc cba c d bca cab 答案 b 解析 分析 由指数函数的性质得 由对数函数的性质得 根据正切函数的性质得 1a 0 1b 0c 即可求解 得到答案 详解 由指数函数的性质 可得 由对数函数的性质可得 0 5 21a 0 5 log0 60 1b 根据正切函数的性质 可得 所以 故选 b 4 tan0 5 c cba 点睛 本题主要考查了指数式 对数式以及正切函数值的比较大小问题 其中解答中熟 记指数函数与对数函数的性质 以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键 a b c 着重考查了分析问题和解答问题的能力 属于基础题 4 若 cos 则 sin2 4 1 2 a b c d 1 2 3 2 1 2 3 2 答案 a 解析 分析 由三角函数的诱导公式 化简得 即可求解 2 sin2cos 2 2cos 1 44 3 详解 因为 1 cos 42 又由 故选 22 11 sin2cos 2 cos 2 2cos 12 1 24422 a 点睛 本题主要考查了三角函数的化简求值问题 其中解答中利用三角函数的诱导公式 和余弦函数的倍角公式 准确化简运算是解答的关键 着重考查了推理与运算能力 属于 基础题 5 设是两条直线 表示两个平面 如果 那么 m n a m a n 是 的 mn a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 解析 分析 由充分充分不必要条件的判定发放进行判断即可 详解 如果 那么由则可得到 即可得到 反之 m a n n mn 由 不能得到 故 如果 那么 mn m a n m a 是 的 n mn 充分不必要条件 故选 a 点睛 本题考查分充分不必要条件的判定 属基础题 6 函数图象的大致形状是 2 1 cos 1 x f xx e a b c d 4 答案 b 解析 分析 先判断函数的奇偶性 再求 利用排除法可得解 1f 2 f 详解 由题意得 所以 21 1 coscos 1 e1 e x xx e f xxx 1 cos 1 e x x e fxx 所以函数 为奇函数 图象关于原点对称 排除选项 1 cos 1 e x x e xf x f x a c 令 则 故选 b 1x 1 21 11 cos1cos10 1 e1 e e f 0 2 f 点睛 本题主要考查了函数的奇偶性及函数的图象 属于基础题 7 已知 则 sin3cos 36 tan2 a b c d 4 3 3 2 4 3 3 2 答案 a 解析 分析 由题意利用两角差的正余弦公式展开求得 tan 的值 再利用二倍角公式求得的 tan2 值 详解 由题 则 1331 sincos3cossin 2222 aaaa 3 tan 2 5 故 tan2 2 2tan 4 3 1 tan a a 故选 a 点睛 本题主要两角差的正余弦公式 二倍角公式的应用 同角三角函数的基本关系 属于基础题 8 已知函数是定义在上的奇函数 且以 2 为周期 当时 f x r 0 1 x 31 x f x 则的值为 1 3 log 12 f a b c d 1 3 1 3 5 3 5 3 答案 a 解析 分析 根据题意可得 代入中计算即可得到答案 13 3 4 log 12 log 3 ff f x 详解 由于 13 3 log 12 log 12 ff 因为函数是定义在上的奇函数 且以 2 为周期 f x r 所以 3333 4 log 12 log 12 log 122 log 3 ffff 又因为 所以 3 4 0log1 3 3 4 log 3 13 3 441 log 12 log 31 1 333 ff 故答案选 a 点睛 本题主要考查函数的有关性质 奇偶性 周期性 以及对数的有关运算 属于基 础题 9 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上 若平面 dabc odc abc 则球的表面积为 60acb 3 2ab 2 3dc o 6 a b c d 24 30 36 42 答案 c 解析 分析 设底面外接圆的半径为 且圆心为 则可根据条件得到 abcr1 o 2 2 2 dc rr 利用正弦定理可求 从而求出后可求球的表面积 rr 详解 如图 设底面外接圆的半径为 且圆心为 则平面 abcr1 o 1 oo abc 因为平面 所以 所以四点共面 dc abc1 oodca 1 d c o o 取的中点为 连接 则 cdeoeoedc 因为平面 平面 所以 dc abc1 co abc1 dcco 所以 故四边形为平行四边形 故 1 oecoa 1 ecoo 1 1 3 2 oocd 222 111 3rcoooco 在中 即 abc 1 3 23 2 22 6 sin3 2 co acb 1 6co 所以 所以球的表面积为 选 c 3r 2 4336s 点睛 本题考查三棱锥外接球半径的求法 注意利用球心的性质确定球心的位置 另外 7 在计算线段的长度时 注意利用解三角形的相关知识来帮助求解 10 若函数在区间内单调递增 则实数的取 2 1 2 log45f xxx 32 2mm m 值范围为 a b 4 3 3 4 2 3 c d 4 2 3 4 3 答案 c 解析 分析 先利用复合函数同增异减法得出函数的单调递增区间为 2 1 2 log45f xxx 2 5 于此得出 然后列不等式组可解出实数的取值范围 32 22 5mm m 详解 由 即 解得 2 450 xx 2 450 xx 15x 二次函数的对称轴为 2 45yxx 2x 由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为 2 1 2 log45f xxx 2 5 要使函数在区间内单调递增 2 1 2 log45f xxx 32 2mm 则 即 解得 故选 c 32 22 5mm 322 25 322 m m mm 4 2 3 m 点睛 本题考查对数型复合函数的单调性与参数 解本题的关键在于将区间转化为函数 单调区间的子集 利用集合的包含关系求解 考查分析问题和解决问题的能力 属于中等 题 11 定义在上的偶函数满足 当时 r f x 1 f xf x 0 1x 21f xx 8 设函数 则函数与的图像所有交点的横坐标之和为 1 1 13 2 x g xx f x g x a 2b 4c 6d 8 答案 b 解析 分析 根据f x 的周期和对称性得出函数图象 根据图象和对称轴得出交点个数 详解 f x 1 f x f x 2 f x 1 f x f x 的周期为 2 f 1 x f x 1 f x 1 故f x 的图象关于直线x 1 对称 又g x x 1 1 x 3 的图象关于直线x 1 对称 1 2 作出f x 的函数图象如图所示 由图象可知两函数图象在 1 3 上共有 4 个交点 故选 b 点睛 本题考查了函数图象变换 考查了函数对称性 周期性的判断及应用 考查了函 数与方程的思想及数形结合思想 属于中档题 12 若存在两个正实数使得等式成立 则实数的取值范围是 x y 1ln lnxxxyay a 9 a b c d 1 3 1 0 e 2 1 0 e 2 1 e 答案 d 解析 分析 可把化简为 令可得 参变分 1ln lnxxxyay 1 ln xy a yx y t x 1 lntat 离后可求的取值范围 a 详解 方程可化为 令 1ln lnxxxyay 1 ln xy a yx y t x 则即 在 0 有解 1 lntat ln1t a t 令 则 ln1t g t t 22 1ln12lntt g t tt 当时 在为增函数 2 0 te 0g t g t 2 0 e 当时 在为减函数 2 te 0g t g t 2 e 又当 t 趋近于时 趋近于 0 g t 所以的值域为 故 选 d g t 2 1 e 2 1 a e 点睛 对于多变量的方程 可以利用代数变形的方法将变量的个数降低 再利用参变分 离的方法把参数的取值范围问题转化为一元函数的值域问题 后者可利用导数的方法来处 理 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 4 4 小题 共小题 共 2020 分 分 13 函数的定义域为 1 ln 22 x x f x 10 答案 0 1 1 e 解析 分析 利用偶次方根被开方数为非负数 对数真数大于零和分式分母不为零列不等式组 解不等 式组求得函数的定义域 详解 依题意得 得 即函数的定义为 0 10 220 x x lnx 0 0 1 x xe x 0 11 e 点睛 本小题主要考查函数定义域的求法 函数的定义域主要由以下方面考虑来求解 一个是分数的分母不能为零 二个是偶次方根的被开方数为非负数 第三是对数的真数要 大于零 第四个是零次方的底数不能为零 属于基础题 14 已知 为锐角 且 则 13tan 13tan 4 答案 2 3 解析 分析 将题目所给方程展开后 化简为的形式 由此求得的大小 tan 详解 将展开得 13tan13tan4 即 由 3 tantan3 1tantan tantan tan3 1tantan 于 为锐角 故 0 2 3 点睛 本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简 考查特殊角的三角 函数值 属于中档题 15 设函数 函数 若对于任意的 总存在 e1 x f xx g xmx 1 2 2x 使得 则实数m的取值范围是 2 1 2x 12 f xg x 11 答案 1 2 解析 分析 由题意可知 在上的最小值大于在上的最小值 分别求出两个函 f x 2 2 g x 1 2 数的最小值 即可求出m的取值范围 详解 由题意可知 在上的最小值大于在上的最小值 f x 2 2 g x 1 2 当时 此时函数单调递减 e x fxx 2 0 x 0fx f x 当时 此时函数单调递增 0 2x 0fx f x 即函数在上的最小值为 1 0 0e0 11f f x 2 2 函数为直线 g xmx 当时 显然不符合题意 0m 0g x 10 当时 在上单调递增 的最小值为 则 与 0m g x 1 2 g x 1gm 1m 矛盾 0m 当时 在上单调递减 的最小值为 则 即 0m g x 1 2 g x 22gm 12m 符合题意 1 2 m 故实数m的取值范围是 1 2 点睛 本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题 考查了函数的单调性的应用 考查 了函数的最值 属于中档题 16 已知四边形为矩形 为的中点 将沿折起 得 abcd24abad mabadm dm 到四棱锥 设的中点为 在翻折过程中 得到如下有三个命题 1 admbc 1 ac n 平面 且的长度为定值 bn1 adm bn5 12 三棱锥的最大体积为 ndmc 2 2 3 在翻折过程中 存在某个位置 使得 1 dmac 其中正确命题的序号为 写出所有正确结论的序号 答案 解析 分析 取的中点 连接 证明四边形为平行四边形 得出 adeemenbmen bn em 可判断出命题 的正误 由为的中点 可知三棱锥的体积为三棱锥 n1 ac ndmc 的一半 并由平面平面 得出三棱锥体积的最大 1 admc 1 abm bcdm1 admc 值 可判断出命题 的正误 取的中点 连接 由 结合 dmfaf 1 aedm 得出平面 推出得出矛盾 可判断出命题 的正误 1 acdm dm 1 acf dmcf 详解 如下图所示 对于命题 取的中点 连接 则 1 ad eemen 11 2adam 1 1ae 由勾股定理得 1 90mae 22 11 5emaeam 易知 且 分别为 的中点 所以 bm cd 1 2 bmcd e n 1 ad 1 ac 1 2 encd 四边形为平行四边形 bmen 5bnem bn em 平面 平面 平面 命题 正确 bn 1 adm em 1 adm bn 1 adm 13 对于命题 由为的中点 可知三棱锥的体积为三棱锥的一 n1 ac ndmc 1 admc 半 当平面平面时 三棱锥体积取最大值 1 abm bcdm1 admc 取的中点 则 且 dmf 1 afdm 1 11 2 22 22 afdm 平面平面 平面平面 1 adm bcdm1 adm bcdmdm 1 afdm 平面 平面 1 af 1 adm 1 af bcdm 的面积为 dmc 11 4 24 22 dmc scd bc 所以 三棱锥的体积的最大值为 1 admc 1 114 2 42 333 dmc saf 则三棱锥的体积的最大值为 命题 正确 ndmc 2 2 3 对于命题 为的中点 所以 11 adam fdm 1 afdm 若 且 平面 1 acdm 111 acafa dm 1 acf 由于平面 事实上 易得 cf 1 acf cfdm 2 2cmdm 4cd 由勾股定理可得 这与矛盾 命题 错 222 cmdmcd cmdm cfdm 误 故答案为 点睛 本题考查直线与平面平行 锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定 判断这些 命题时根据相关的判定定理以及性质定理 在计算三棱锥体积时 需要找到合适的底面与 高来计算 考查空间想象能力 考查逻辑推理能力 属于难题 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 分 17 设命题 p 函数在区间单调递增 命题使 2 1 2ln 2 f xxxax 2 3 0 qxr 得 如果命题 p 或 q 是真命题 命题 p 且 q 是假命题 求实数 2 00 2860 xaxa a 的取值范围 14 答案 或 42a 1a 解析 分析 对于命题 利用求得函数的导数 利用分离常数法求得的取值范围 对于命题 p f x a q 利用判别式为非负数 求得的取值范围 由于或真 且假 故一真一假 分 a pqpq p q 别求得真假和假真时 的取值范围 然后取并集求得题目所求的取值范围 pqpq aa 详解 解 当 p 为真命题 在 2 3 恒成立 即 2 fxxa x 0fx 为单调增函数 即 2 ax x 2 x x min 2 1ax x 1a 当 q 为真命题时 即 或 2 44 860aa 4a 2a 由题意 p q 一真一假 即当 p 真 q 假 当 q 真 p 假 42a 1a 综上所述 或 42a 1a 点睛 本小题主要考查还有逻辑连接词真假性求参数的取值范围 考查利用导数求解单 调性的问题 属于中档题 18 在平面直角坐标系中 已知角的顶点与坐标原点重合 始边与轴的非负半轴 xoy x 重合 它的终边过点 34 55 p 1 求的值 sin 3 2 若角满足 求的值 5 sin 13 cos 答案 1 2 或 43 3 sin 310 56 cos 65 16 cos 65 解析 分析 15 1 由三角函数的定义 求得的值 再利用两角和的正弦公式 即可求解 sin cos 2 利用三角函数的基本关系式 求得 又根据 得 12 cos 13 到 代入即可求解 得到答案 coscos cossin sin 详解 1 由题意 角的终边经过点 则 34 55 p 22 34 1 55 op 由三角函数的定义 可得 43 sin cos 55 所以 13143343 3 sinsincos 322252510 2 因为 所以 5 sin 13 2 2 512 cos 1 sin 1 1313 又因为 所以 coscos cossin sin 当时 12 cos 13 56 cos 65 当时 12 cos 13 16 cos 65 综上所述 或 56 cos 65 16 cos 65 点睛 本题主要考查了三角函数的化简求值问题 其中解答中熟记三角函数的定义 以 及三角函数恒等变换的公式 合理 准确运算是解答的关键 着重考查了推理与运算能力 属于基础题 19 已知 f x x 1 ex ax2 2 1 1 e 2 x f xxax 1 当时 求函数的单调区间 2a f x 16 2 若在处取得极大值 求的取值范围 f x 0 x a 答案 1 减区间 增区间 2 ln2 ln2 1 解析 分析 1 求出 通过讨论其符号可得函数的单调区间 fx 2 因为在处有极大值 从而可知在的左侧附近有 在 f x 0 x 0 x 0fx 的右侧附近有 从而得到在的两侧附近总有 据此 0 x 0fx x yea 0 x 0y 可求出的取值范围 a 详解 1 当时 令 则 2a 2 x fxx e 0fx ln2x 当时 ln2x 0fx 当时 ln2 x 0fx 所以的增区间为 减区间为 f x ln2 ln2 2 由 1 得 e e xx fxxaxxa 因为在处有极大值 f x 0 x 故可知在的左侧附近有 0 x 0fx 在的右侧附近有 0 x 0fx 所以在的两侧附近有 所以即 x yea 0 x 0y 10a 1a 此时当 则当x 0 时 x 0 ex 1 ex a 0 所以f x 1a ln0a 0 当x 0 lna 时 x 0 ex a elna a 0 所以f x 0 故为的极大值点 0 x f x 若a 1 则当x 0 1 时 x 0 ex a ex 1 0 所以f x 0 所以 0 不是f x 的极大值点 17 综上可知 a的取值范围是 1 点睛 函数的极值刻画了函数局部性质 它可以理解为函数图像具有 局部最低 的特 性 用数学语言描述则是 在的附近的任意附近的任意 有 0 x x 0 f xf x 0 f xf x 另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化 则必为函数 f x 0 x 0 x 0 xx 的极值点 极大值 极小值的判断方法如下 1 在的左侧附近 有 在的右侧附近 有 则为函数 0 x 0fx 0 x 0fx 0 xx 的极大值点 1 在的左侧附近 有 在的右侧附近 有 则为函数 0 x 0fx 0 x 0fx 0 xx 的极小值点 20 如图 在三棱柱中 四边形是菱形 四边形是矩形 abmdcn abcdmadn 分别为棱 的中点 efmadc 1 求证 平面 efmncb 2 若 且平面平面 求四棱锥 2abam 120abc madn abcd 的体积 ebcnm 答案 1 证明见解析 2 2 3 3 解析 分析 1 取的中点 连接 证明 再证明平面 ncgfgmg efmg efmncb 2 18 取 的中点 证明平面 再利用 adkbk madn 求四棱锥的体积 2 e bcnme bmna bmnb amn vvvv ebcnm 详解 证明 1 取的中点 连接 ncgfgmg 因为且 mend 1 2 mend 又因为 分别为 的中点 且 fgdc nc fgnd 1 2 fgnd 所以与平行且相等 所以四边形是平行四边形 fgmemefg 所以 efmg 又平面 平面 mg mncbef mncb 所以平面 efmncb 2 取的中点 在中 adkabk 2ab 1ak 60bak 222 2cos603bkabakabak 即 222 abakbk 90akb akbk 平面平面 平面平面 madn abcdmadn abcdad 又平面 bk abcd 平面 bk madn 2 e bcnme bmna bmnb amn vvvv 112 3 23 333 amn sbk 19 即四棱锥的体积为 ebcnm 2 3 3 点睛 本题主要考查空间几何元素的平行关系的证明 考查几何体体积的计算 意在考 查学生对这些知识的理解张窝 水平和分析推理能力 21 如图 在四棱锥中 平面 pabcd pa abcd3pa abcd 为侧棱上一点 abad 1addc 2ab epa 1 若 求证 平面 1 3 pepa pcaebd 2 求证 平面平面 ebc pac 3 在侧棱上是否存在点 使得平面 若存在 求出线段的长 pdfaf pcdpf 若不存在 请说明理由 答案 1 详见解析 2 详见解析 3 存在 理由见解析 3 2 pf 解析 分析 1 设 连结 可证 从而可得平面 acbdg eg egpcapcp ebd 2 可证平面 从而可得平面平面 bc pacebc pac 3 在平面内作于点 可证平面 再利用解直角三角形的 padafpd faf pcd 方法可求 3 2 pf 20 详解 1 设 连结 acbdg eg 由已知 得 abcd 1dc 2ab 由 得 2 agab gcdc 1 3 pepa 2 ae ep 在中 由 得 pac aeag epgc egpca 因为平面 平面 eg ebdpc ebd 所以平面 pcp ebd 2 因为平面 平面 pa abcdbc abcd 所以 bcpa 在直角梯形中 因 abcd 1 addcaddc 故 因 2ac 2bc 2ab 所以 所以 又 所以平面 222 acbcab bcac paaca bc pac 因为平面 所以平面平面 bc ebcebc