仁怀市第四中学初高中数学衔接知识讲义

1 仁怀市第四中学仁怀市第四中学 初高中数学衔接知识讲义初高中数学衔接知识讲义 第一部分第一部分 如何做好初高中衔接如何做好初高中衔接 第二部分第二部分 现有初高中数学知识存在的现有初高中数学知识存在的 脱节脱节 第三部分第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 第四部分第四部分 分章节讲解分章节讲解 第一章第一章 数的运算数的运算 第二章 代数式及恒等变形第二章 代数式及恒等变形 第三章第三章 因式分解因式分解 第四章 第四章 解方程与方程组解方程与方程组 第五章 第五章 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 第六章 第六章 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质 第七章 第七章 二次函数最值及其应用二次函数最值及其应用 第八章 第八章 圆圆 第九章 第九章 三角形的三角形的 四心四心 2 第一部分第一部分 如何做好高 初中数学的衔接如何做好高 初中数学的衔接 一一 如何学好高中数学如何学好高中数学 初中生经过中考的奋力拼搏 刚跨入高中 都有十足的信心 旺盛的求知欲 都有把初中生经过中考的奋力拼搏 刚跨入高中 都有十足的信心 旺盛的求知欲 都有把 高中课程学好的愿望 但经过一段时间 他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学 高中课程学好的愿望 但经过一段时间 他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学 而是太枯燥 乏味 抽象 晦涩 有些章节如听天书 在做习题 课外练习时 又是磕磕而是太枯燥 乏味 抽象 晦涩 有些章节如听天书 在做习题 课外练习时 又是磕磕 碰碰 跌跌撞撞 常常感到茫然一片 不知从何下手 相当部分学生进入数学学习的碰碰 跌跌撞撞 常常感到茫然一片 不知从何下手 相当部分学生进入数学学习的 困困 难期难期 数学成绩出现严重的滑坡现象 渐渐地他们认为数学神秘莫测 从而产生畏惧感 数学成绩出现严重的滑坡现象 渐渐地他们认为数学神秘莫测 从而产生畏惧感 动摇了学好数学的信心 甚至失去了学习数学的兴趣 造成这种现象的原因是多方面的 动摇了学好数学的信心 甚至失去了学习数学的兴趣 造成这种现象的原因是多方面的 但最主要的根源还在于初 高中数学教学上的衔接问题 下面就但最主要的根源还在于初 高中数学教学上的衔接问题 下面就对造成这种现象的一些原对造成这种现象的一些原 因加以分析 总结 希望同学们认真吸取前人的经验教训 搞好自己的数学学习 因加以分析 总结 希望同学们认真吸取前人的经验教训 搞好自己的数学学习 二二 高中数学与初中数学特点的变化高中数学与初中数学特点的变化 1 1 数学语言在抽象程度上突变 不少学生反映 集合 映射等概念难以理解 觉得离数学语言在抽象程度上突变 不少学生反映 集合 映射等概念难以理解 觉得离 生活很远 似乎很生活很远 似乎很 玄玄 确实 初 高中的数学语言有着显著的区别 初中的数学主要 确实 初 高中的数学语言有着显著的区别 初中的数学主要 是以形象 通俗的语言方式进行表达 而高一数学一下子就触及抽象的集合语言 逻辑运是以形象 通俗的语言方式进行表达 而高一数学一下子就触及抽象的集合语言 逻辑运 算语言以及以后要学习到的函数语言 空间立体几何等 算语言以及以后要学习到的函数语言 空间立体几何等 2 2 思维方法向理性层次跃迁 高中数学思维方法与初中阶段大不相同 初中阶段 很思维方法向理性层次跃迁 高中数学思维方法与初中阶段大不相同 初中阶段 很 多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式 如解分式方程分几步 因式分解先看什么 多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式 如解分式方程分几步 因式分解先看什么 再看什么 即使是思维非常灵活的平面几何问题 也对线段相等 角相等再看什么 即使是思维非常灵活的平面几何问题 也对线段相等 角相等 分别确定了各自分别确定了各自 的思维套路 因此 初中学习中习惯于这种机械的 便于操作的定势方式 高中数学在思的思维套路 因此 初中学习中习惯于这种机械的 便于操作的定势方式 高中数学在思 维形式上产生了很大的变化 数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求 当然 能力的维形式上产生了很大的变化 数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求 当然 能力的 发展是渐进的 不是一朝一夕的 这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应 故而发展是渐进的 不是一朝一夕的 这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应 故而 导致成绩下降 高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡 导致成绩下降 高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡 最后还需初最后还需初 步形成辩证型思维 步形成辩证型思维 3 3 知识内容的整体数量剧增 高中数学在知识内容的知识内容的整体数量剧增 高中数学在知识内容的 量量 上急剧增加了 上急剧增加了 新课标数新课标数 学教材有必修学教材有必修1 1 5 5共共5 5本 理科有选修本 理科有选修2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3共三本 文科有选修共三本 文科有选修1 1 1 1 1 1 2 2共共 两本 专题选讲从两本 专题选讲从4 4 1 1 4 4 4 4 4 4 5 5中选学一本 目前我校选择中选学一本 目前我校选择4 4 4 4讲解 也就是说读理讲解 也就是说读理 科有科有9 9本 文科有本 文科有8 8本 使得数学课时很紧 因而教学进度一般较快 从而增加了教与学的本 使得数学课时很紧 因而教学进度一般较快 从而增加了教与学的 难度 这样 不可避免地造成学生不适应高中数学学习 而影响成绩的提高 难度 这样 不可避免地造成学生不适应高中数学学习 而影响成绩的提高 这就要求 这就要求 第一 要做好课后的复习工作 记牢大量的知识 第二 要理解掌握好新旧知识的内在联第一 要做好课后的复习工作 记牢大量的知识 第二 要理解掌握好新旧知识的内在联 系 使新知识顺利地同化于原有知识结构之中 第三 因知识教学多以零星积累的方式进系 使新知识顺利地同化于原有知识结构之中 第三 因知识教学多以零星积累的方式进 行的 当知识信息量过大时 其记忆效果不会很好 因此要学会对知识结构进行梳理 形行的 当知识信息量过大时 其记忆效果不会很好 因此要学会对知识结构进行梳理 形 3 成板块结构 实行成板块结构 实行 整体集装整体集装 如表格化 使知识结构一目了然 类化 由一例到一类 如表格化 使知识结构一目了然 类化 由一例到一类 由一类到多类 由多类到统一 使几类问题同构于同一知识方法 第四 要多做总结 归由一类到多类 由多类到统一 使几类问题同构于同一知识方法 第四 要多做总结 归 类 建立主体的知识结构网络 类 建立主体的知识结构网络 三三 不良的学习状态不良的学习状态 1 1 学习习惯因依赖心理而滞后 初中生在学习上的依赖心理是很明显的 第一 为提学习习惯因依赖心理而滞后 初中生在学习上的依赖心理是很明显的 第一 为提 高分数 初中数学教师将各种题型都一一罗列 学生依赖于教师为其提供套用的高分数 初中数学教师将各种题型都一一罗列 学生依赖于教师为其提供套用的 模子模子 第二 家长望子成龙心切 回家后辅导也是常事 升入高中后 教师的教学方法变了 套第二 家长望子成龙心切 回家后辅导也是常事 升入高中后 教师的教学方法变了 套 用的用的 模子模子 没有了 家长辅导的能力也跟不上了 许多同学进入高中后 还象初中那样 没有了 家长辅导的能力也跟不上了 许多同学进入高中后 还象初中那样 有很强的依赖心理 跟随老师惯性运转 没有掌握学习的主动权 表现在不定计划 坐等有很强的依赖心理 跟随老师惯性运转 没有掌握学习的主动权 表现在不定计划 坐等 上课 课前没有预习 对老师要上课的内容不了解 上课忙于记笔记 没听到上课 课前没有预习 对老师要上课的内容不了解 上课忙于记笔记 没听到 门道门道 2 2 思想松懈 有些同学把初中的那一套思想移植到高中来 他们认为自已在初一 二思想松懈 有些同学把初中的那一套思想移植到高中来 他们认为自已在初一 二 时并没有用功学习 只是在初三临考时才发奋了一 二个月就轻而易举地考上了高中 有时并没有用功学习 只是在初三临考时才发奋了一 二个月就轻而易举地考上了高中 有 的还是重点中学里的重点班 因而认为读高中也不过如此 高一 高二根本就用不着那么的还是重点中学里的重点班 因而认为读高中也不过如此 高一 高二根本就用不着那么 用功 只要等到高三临考时再发奋一 二个月 也一样会考上一所理想的大学的 存有这用功 只要等到高三临考时再发奋一 二个月 也一样会考上一所理想的大学的 存有这 种思想的同学是大错特错的 有多少同学就是因为高一 二不努力学习 临近高考了 发种思想的同学是大错特错的 有多少同学就是因为高一 二不努力学习 临近高考了 发 现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣 现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣 3 3 学不得法 老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉 剖析概念的内涵 分析重点难学不得法 老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉 剖析概念的内涵 分析重点难 点 突出思想方法 而一部分同学上课没能专心听课 对要点没听到或听不全 笔记记了点 突出思想方法 而一部分同学上课没能专心听课 对要点没听到或听不全 笔记记了 一大本 问题也有一大堆 课后又不能及时巩固 总结 寻找知识间的联系 只是赶做作一大本 问题也有一大堆 课后又不能及时巩固 总结 寻找知识间的联系 只是赶做作 业 乱套题型 对概念 法则 公式 定理一知半解 机械模仿 死记硬背 还有些同学业 乱套题型 对概念 法则 公式 定理一知半解 机械模仿 死记硬背 还有些同学 晚上加班加点 白天无精打采 或是上课根本不听 自己另搞一套 结果是事倍功半 收晚上加班加点 白天无精打采 或是上课根本不听 自己另搞一套 结果是事倍功半 收 效甚微 效甚微 4 4 不重视基础 一些不重视基础 一些 自我感觉良好自我感觉良好 的同学 常轻视基础知识 基本技能和基本方的同学 常轻视基础知识 基本技能和基本方 法的学习与训练 经常是知道怎么做就算了 而不去认真演算书写 但对难题很感兴趣 法的学习与训练 经常是知道怎么做就算了 而不去认真演算书写 但对难题很感兴趣 以显示自己的以显示自己的 水平水平 好高骛远 重 好高骛远 重 量量 轻轻 质质 陷入题海 到正规作业或考试中 陷入题海 到正规作业或考试中 不是演算出错就是中途不是演算出错就是中途 卡壳卡壳 5 5 进一步学习条件不具备 高中数学与初中数学相比 知识的深度 广度 能力要求进一步学习条件不具备 高中数学与初中数学相比 知识的深度 广度 能力要求 都是一次飞跃 这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备 高中数学很多都是一次飞跃 这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备 高中数学很多 地方难度大 方法新 分析能力要求高 如二次函数值的求法 实根分布与参变量的讨论 地方难度大 方法新 分析能力要求高 如二次函数值的求法 实根分布与参变量的讨论 三角公式的变形与灵活运用 空间概念的形成 排列组合应用题及实际应用问题等 有 三角公式的变形与灵活运用 空间概念的形成 排列组合应用题及实际应用问题等 有 的内容还是初中教材都不讲的脱节内容 如不采取补救措施 查缺补漏 就必然会跟不上的内容还是初中教材都不讲的脱节内容 如不采取补救措施 查缺补漏 就必然会跟不上 4 高中学习的要求 高中学习的要求 四四 科学地进行学习科学地进行学习 高中学生仅仅想学是不够的 还必须高中学生仅仅想学是不够的 还必须 会学会学 要讲究科学的学习方法 提高学习效 要讲究科学的学习方法 提高学习效 率 才能变被动学习为主动学习 才能提高学习成绩 率 才能变被动学习为主动学习 才能提高学习成绩 1 1 培养良好的学习习惯 反复使用的方法将变成人们的习惯 什么是良好的学习习惯 培养良好的学习习惯 反复使用的方法将变成人们的习惯 什么是良好的学习习惯 良好的学习习惯包括制定计划 课前自学 专心上课 及时复习 独立作业 解决疑难 良好的学习习惯包括制定计划 课前自学 专心上课 及时复习 独立作业 解决疑难 系统小结和课外学习几个方面 系统小结和课外学习几个方面 2 2 制定计划使学习目的明确 时间安排合理 不慌不忙 稳扎稳打 它是推动主动学制定计划使学习目的明确 时间安排合理 不慌不忙 稳扎稳打 它是推动主动学 习和克服困难的内在动力 但计划一定要切实可行 既有长远打算 又有短期安排 执行习和克服困难的内在动力 但计划一定要切实可行 既有长远打算 又有短期安排 执行 过程中严格要求自己 磨炼学习意志 过程中严格要求自己 磨炼学习意志 3 3 课前自学是上好新课 取得较好学习效果的基础 课前自学不仅能培养自学能力 课前自学是上好新课 取得较好学习效果的基础 课前自学不仅能培养自学能力 而且能提高学习新课的兴趣 掌握学习的主动权 自学不能走过场 要讲究质量 力争在而且能提高学习新课的兴趣 掌握学习的主动权 自学不能走过场 要讲究质量 力争在 课前把教材弄懂 上课着重听老师讲思路 把握重点 突破难点 尽可能把问题解决在课课前把教材弄懂 上课着重听老师讲思路 把握重点 突破难点 尽可能把问题解决在课 堂上 堂上 4 4 上课是理解和掌握基础知识 基本技能和基本方法的关键环节 上课是理解和掌握基础知识 基本技能和基本方法的关键环节 学然后知不足学然后知不足 课前自学过的同学上课更能专心听课 他们知道什么地方该详 什么地方可以一带而过 课前自学过的同学上课更能专心听课 他们知道什么地方该详 什么地方可以一带而过 该记的地方才记下来 而不是全抄全录 顾此失彼 该记的地方才记下来 而不是全抄全录 顾此失彼 5 5 及时复习是高效率学习的重要一环 通过反复阅读教材 多方面查阅有关资料 强及时复习是高效率学习的重要一环 通过反复阅读教材 多方面查阅有关资料 强 化对基本概念知识体系的理解与记忆 将所学的新知识与有关旧知识联系起来 进行分析化对基本概念知识体系的理解与记忆 将所学的新知识与有关旧知识联系起来 进行分析 比效 一边复习一边将复习成果整理在笔记本上 使对所学的新知识由比效 一边复习一边将复习成果整理在笔记本上 使对所学的新知识由 懂懂 到到 会会 6 6 独立完成作业 通过自己的独立思考 灵活地分析问题 解决问题 进一步加深对独立完成作业 通过自己的独立思考 灵活地分析问题 解决问题 进一步加深对 所学新知识的理解和对新技能的掌握过程 这一过程也是对意志毅力的考验 通过运用使所学新知识的理解和对新技能的掌握过程 这一过程也是对意志毅力的考验 通过运用使 对所学知识由对所学知识由 会会 到到 熟熟 7 7 解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误 或由于思维受阻解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误 或由于思维受阻 遗漏解答 通过点拨使思路畅通 补遗解答的过程 解决疑难一定要有锲而不舍的精神 遗漏解答 通过点拨使思路畅通 补遗解答的过程 解决疑难一定要有锲而不舍的精神 做错的作业再做一遍 对错误的地方要反复思考 实在解决不了的要请教老师和同学 并做错的作业再做一遍 对错误的地方要反复思考 实在解决不了的要请教老师和同学 并 要经常把易错的知识拿来复习强化 作适当的重复性练习 把求老师问同学获得的东西消要经常把易错的知识拿来复习强化 作适当的重复性练习 把求老师问同学获得的东西消 化变成自己的知识 使所学到的知识由化变成自己的知识 使所学到的知识由 熟熟 到到 活活 8 8 系统小结是通过积极思考 达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环系统小结是通过积极思考 达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环 节 小结要在系统复习的基础上以教材为依据 参照笔记与资料 通过分析 综合 类比 节 小结要在系统复习的基础上以教材为依据 参照笔记与资料 通过分析 综合 类比 概括 揭示知识间的内在联系 以达到对所学知识融会贯通的目的 经常进行多层次小结 概括 揭示知识间的内在联系 以达到对所学知识融会贯通的目的 经常进行多层次小结 5 能对所学知识由能对所学知识由 活活 到到 悟悟 第二部分 第二部分 现有现有初高中数学知识存在以下初高中数学知识存在以下 脱节脱节 1 立方和与差的公式初中已删去不讲 而高中的运算还在用 立方和与差的公式初中已删去不讲 而高中的运算还在用 2 因式分解初中一般只限于二次项且系数为 因式分解初中一般只限于二次项且系数为 1 的分解 对系数不为的分解 对系数不为 1 的涉及的涉及 不多 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求 但高中教材许多化简求值都要用不多 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求 但高中教材许多化简求值都要用 到到 如解方程 不等式等 如解方程 不等式等 3 二次根式中对分子 分母有理化初中不作要求 而分子 分母有理化是高中函数 二次根式中对分子 分母有理化初中不作要求 而分子 分母有理化是高中函数 不等式常用的解题技巧 不等式常用的解题技巧 4 初中教材对二次函数要求较低 学生处于了解水平 但二次函数却是高中贯穿始 初中教材对二次函数要求较低 学生处于了解水平 但二次函数却是高中贯穿始 终的重要内容 配方 作简图 求值域 解二次不等式 判断单调区间 求最大 最小值 终的重要内容 配方 作简图 求值域 解二次不等式 判断单调区间 求最大 最小值 研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法 研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法 5 二次函数 二次不等式与二次方程的联系 根与系数的关系 韦达定理 在初中 二次函数 二次不等式与二次方程的联系 根与系数的关系 韦达定理 在初中 不作要求 此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型 而在高中二次函数 二不作要求 此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型 而在高中二次函数 二 次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容 高中教材却未安排专门的讲授 次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容 高中教材却未安排专门的讲授 6 图像的对称 平移变换 初中只作简单介绍 而在高中讲授函数后 对其图像的 图像的对称 平移变换 初中只作简单介绍 而在高中讲授函数后 对其图像的 上 下 左 右平移 两个函数关于原点 轴 直线的对称问题必须掌握 上 下 左 右平移 两个函数关于原点 轴 直线的对称问题必须掌握 7 含有参数的函数 方程 不等式 初中不作要求 只作定量研究 含有参数的函数 方程 不等式 初中不作要求 只作定量研究 而高中这部分内而高中这部分内 容视为重难点 方程 不等式 函数的综合考查常成为高考综合题 容视为重难点 方程 不等式 函数的综合考查常成为高考综合题 8 几何部分很多概念 如重心 垂心等 和定理 如平行线分线段比例定理 射影 几何部分很多概念 如重心 垂心等 和定理 如平行线分线段比例定理 射影 定理 相交弦定理等 初中生大都没有学习 而高中都要涉及 定理 相交弦定理等 初中生大都没有学习 而高中都要涉及 另外 像配方法 换元法 待定系数法初中教学大大弱化 不利于高中知识的讲授 另外 像配方法 换元法 待定系数法初中教学大大弱化 不利于高中知识的讲授 第三部分第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 1 绝对值绝对值 在数轴上 一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值 在数轴上 一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值 正数的绝对值是他本身 负数的绝对值是他的相反数 正数的绝对值是他本身 负数的绝对值是他的相反数 0 0 的绝对值是的绝对值是 0 0 即 即 0 0 0 0 a a aa a a 两个负数比较大小 绝对值大的反而小两个负数比较大小 绝对值大的反而小 6 两个绝对值不等式两个绝对值不等式 或或 0 xa aaxa 0 xa axa xa 2 2 乘法公式 乘法公式 平方差公式 平方差公式 22 abab ab 立方差公式 立方差公式 3322 abab aabb 立方和公式 立方和公式 3322 abab aabb 完全平方公式 完全平方公式 222 2abaabb 2222 222abcabcabacbc 完全立方公式 完全立方公式 33223 33abaa babb 3 3 分解因式分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变化叫做把这个多项式分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变化叫做把这个多项式分解因式 方法 方法 提公因式法 提公因式法 运用公式法 运用公式法 分组分解法 分组分解法 十字相乘法 十字相乘法 4 4 一元一次方程一元一次方程 在一个方程中 只含有一个未知数 并且未知数的指数是在一个方程中 只含有一个未知数 并且未知数的指数是 1 1 这样的方程叫一元一次方 这样的方程叫一元一次方 程 程 解一元一次方程的步骤 去分母 移项 合并同类项 未知数系数化为解一元一次方程的步骤 去分母 移项 合并同类项 未知数系数化为 1 1 关于方程关于方程解的讨论解的讨论axb 当当时 方程有唯一解时 方程有唯一解 0a b x a 当当 时 方程无解时 方程无解0a 0b 当当 时 方程有无数解 此时任一实数都是方程的解 时 方程有无数解 此时任一实数都是方程的解 0a 0b 5 5 二元一次方程组二元一次方程组 1 1 两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组 两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组 2 2 适合一个二元一次方程的一组未知数的值 叫做这个二元一次方程的一个解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值 叫做这个二元一次方程的一个解 3 3 二元一次方程组中各个方程的公共解 叫做这个二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解 叫做这个二元一次方程组的解 4 4 解二元一次方程组的方法 解二元一次方程组的方法 代入消元法 代入消元法 加减消元法 加减消元法 6 6 不等式与不等式组不等式与不等式组 1 1 不等式 不等式 用符不等号 用符不等号 连接的式子叫不等式 连接的式子叫不等式 不等式的两边都加上或减去同一个整式 不等号的方向不变 不等式的两边都加上或减去同一个整式 不等号的方向不变 7 不等式的两边都乘以或者除以一个正数 不等号方向不变 不等式的两边都乘以或者除以一个正数 不等号方向不变 不等式的两边都乘以或除以同一个负数 不等号方向相反 不等式的两边都乘以或除以同一个负数 不等号方向相反 2 2 不等式的解集 不等式的解集 能使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解 能使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解 一个含有未知数的不等式的所有解 组成这个不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有解 组成这个不等式的解集 求不等式解集的过程叫做解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式 3 3 一元一次不等式 一元一次不等式 左右两边都是整式 只含有一个未知数 且未知数的最高次数是左右两边都是整式 只含有一个未知数 且未知数的最高次数是 1 1 的不等式叫一元一的不等式叫一元一 次不等式 次不等式 4 4 一元一次不等式组 一元一次不等式组 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起 就组成了一元一次不等式组 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起 就组成了一元一次不等式组 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分 叫做这个一元一次不等式组的解一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分 叫做这个一元一次不等式组的解 集 集 求不等式组解集的过程 叫做解不等式组 求不等式组解集的过程 叫做解不等式组 7 7 一元二次方程 一元二次方程 2 0 0 axbxca 方程有两个实数根方程有两个实数根 2 40bac 方程有两根同号方程有两根同号 12 0 0 c x x a 方程有两根异号方程有两根异号 12 0 0 c x x a 韦达定理及应用 韦达定理及应用 1212 bc xxx x aa 222 121212 2xxxxx x 2 2 121212 4 4 bac xxxxx x aa 33222 12121122121212 3xxxxxx xxxxxxx x 8 8 函数函数 1 1 变量 因变量 自变量 变量 因变量 自变量 8 在用图象表示变量之间的关系时 通常用水平方向的数轴上的点自变量 用竖直方向的在用图象表示变量之间的关系时 通常用水平方向的数轴上的点自变量 用竖直方向的 数轴上的点表示因变量 数轴上的点表示因变量 2 2 一次函数 一次函数 若两个变量若两个变量 间的关系式可以表示成间的关系式可以表示成 为常数 为常数 不不yxykxb bk 等于等于 0 0 的形式 则称 的形式 则称是是的一次函数 的一次函数 当当 0 0 时 称时 称是是的正比例函数 的正比例函数 yxbyx 3 3 一次函数的图象及性质 一次函数的图象及性质 把一个函数的自变量把一个函数的自变量与对应的因变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标 在直角的值分别作为点的横坐标与纵坐标 在直角xy 坐标系内描出它的对应点 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象 坐标系内描出它的对应点 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象 正比例函数正比例函数 的图象是经过原点的一条直线 的图象是经过原点的一条直线 ykx 在一次函数中 当在一次函数中 当0 0 O O 则经 则经 2 2 3 3 4 4 象限 当象限 当0 0 0 0 时 则经时 则经k b k b 1 1 2 2 4 4 象限 当象限 当0 0 0 0 时 则经时 则经 1 1 3 3 4 4 象限 当象限 当0 0 0 0 时 则经时 则经k b k b 1 1 2 2 3 3 象限 象限 当当0 0 时 时 的值随的值随值的增大而增大 当值的增大而增大 当0 0 时 时 的值随的值随值的增大而减少 值的增大而减少 k yxk yx 4 4 二次函数 二次函数 一般式 一般式 对称轴是 对称轴是 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0a 2 b x a 顶点是顶点是 2 4 24 bacb aa 顶点式 顶点式 对称轴是 对称轴是顶点是顶点是 2 ya xmk 0a xm m k 交点式 交点式 其中 其中 是抛物线与 是抛物线与 x x 轴轴 12 ya xxxx 0a 1 0 x 2 0 x 的交点的交点 5 5 二次函数的性质 二次函数的性质 9 函数函数的图象关于直线的图象关于直线对称 对称 2 0 yaxbxc a 2 b x a 时 在对称轴时 在对称轴 左侧 左侧 值随值随值的增大而减少 在对称轴 值的增大而减少 在对称轴 0a 2 b x a yx 右侧 右侧 的值随的值随值的增大而增大 当值的增大而增大 当时 时 取得最小值取得最小值 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 时 在对称轴时 在对称轴 左侧 左侧 值随值随值的增大而增大 在对称轴 值的增大而增大 在对称轴 0a 2 b x a yx 右侧 右侧 的值随的值随值的增大而减少 当值的增大而减少 当时 时 取得最大值取得最大值 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 9 9 图形的对称图形的对称 1 1 轴对称图形 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相重合 那如果一个图形沿一条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相重合 那 么这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 么这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 轴对称图形上关于对称轴对称的两轴对称图形上关于对称轴对称的两 点确定的线段被对称轴垂直平分 点确定的线段被对称轴垂直平分 2 2 中心对称图形 中心对称图形 在平面内 一个图形绕某个点旋转在平面内 一个图形绕某个点旋转 180180 度 如果旋转前后的图形互度 如果旋转前后的图形互 相重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点叫做他的对称中心 相重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点叫做他的对称中心 中心对称图形上中心对称图形上 的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分 的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分 1010 平面直角坐标系平面直角坐标系 1 1 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 水平的数轴叫做 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 水平的数轴叫做 轴或横轴 铅直的数轴叫做轴或横轴 铅直的数轴叫做轴或纵轴 轴或纵轴 轴与轴与轴统称坐标轴 他们的公共原点轴统称坐标轴 他们的公共原点称称xyxyO 为直角坐标系的原点 为直角坐标系的原点 2 2 平面直角坐标系内的对称点 设 平面直角坐标系内的对称点 设 是直角坐标系内的两点 是直角坐标系内的两点 11 M x y 22 M xy 若若和和关于关于轴对称 则有轴对称 则有 M My 12 12 xx yy 若若和和关于关于轴对称 则有轴对称 则有 M Mx 12 12 xx yy 若若和和关于原点对称 则有关于原点对称 则有 M M 12 12 xx yy 若若和和关于直线关于直线对称 则有对称 则有 M Myx 12 12 xy yx 若若和和关于直线关于直线对称 则有对称 则有或或 M Mxa 12 12 2xax yy 21 12 2xax yy 10 1111 统计与概率 统计与概率 1 1 各类统计图的优劣 各类统计图的优劣 条形统计图 能清楚表示出每个项目的具体数目 条形统计图 能清楚表示出每个项目的具体数目 折线统计折线统计 图 能清楚反映事物的变化情况 图 能清楚反映事物的变化情况 扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的 百分比 百分比 2 2 平均数 对于 平均数 对于个数个数 我们把 我们把 叫做这个叫做这个个数个数N 12 N x xx 1 N 12N xxx N 的算术平均数 记为的算术平均数 记为 x 3 3 中位数与众数 中位数与众数 个数据按大小顺序排列 处于最中间位置的一个数据 或最中个数据按大小顺序排列 处于最中间位置的一个数据 或最中N 间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫一组数据中出现次数最多的那个数据叫 做这个组数据的众数 做这个组数据的众数 优劣比较 平均数 所有数据参加运算 能充分利用数据所提供优劣比较 平均数 所有数据参加运算 能充分利用数据所提供 的信息 因此在现实生活中常用 但容易受极端值影响 中位数 计算简单 受极端值影的信息 因此在现实生活中常用 但容易受极端值影响 中位数 计算简单 受极端值影 响少 但不能充分利用所有数据的信息 众数 各个数据如果重复次数大致相等时 众数响少 但不能充分利用所有数据的信息 众数 各个数据如果重复次数大致相等时 众数 往往没有特别的意义 往往没有特别的意义 4 4 调查 调查 为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查 称为普查 其中所要考察对为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查 称为普查 其中所要考察对 象的全体称为总体 而组成总体的每一个考察对象称为个体 象的全体称为总体 而组成总体的每一个考察对象称为个体 从总体中抽取部分个体进从总体中抽取部分个体进 行调查 这种调查称为抽样调查 其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本 行调查 这种调查称为抽样调查 其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本 抽样调查只考察总体中的一小部分个体 因此他的优点是调查范围小 节省时间 人力 抽样调查只考察总体中的一小部分个体 因此他的优点是调查范围小 节省时间 人力 物力和财力 但其调查结果往往不如普查得到的结果准确 为了获得较为准确的调查结果 物力和财力 但其调查结果往往不如普查得到的结果准确 为了获得较为准确的调查结果 抽样时要主要样本的代表性和广泛性 抽样时要主要样本的代表性和广泛性 5 5 频数与频率 频数与频率 每个对象出现的次数为频数 而每个对象出现的次数与总次数的比值每个对象出现的次数为频数 而每个对象出现的次数与总次数的比值 为频率 为频率 当收集的数据连续取值时 我们通常先将数据适当分组 然后再绘制频数分布当收集的数据连续取值时 我们通常先将数据适当分组 然后再绘制频数分布 直方图 直方图 6 6 数据的波动 数据的波动 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差 方差是各个数据与方差是各个数据与 平均数之差的平方和的平均数 平均数之差的平方和的平均数 标准差就是方差的算术平方根 标准差就是方差的算术平方根 一般来说 一组数据一般来说 一组数据 的极差 方差 或标准差越小 这组数据就越稳定 的极差 方差 或标准差越小 这组数据就越稳定 7 7 事件的可能性 事件的可能性 有些事情我们能确定他一定会发生 这些事情称为必然事件 有些有些事情我们能确定他一定会发生 这些事情称为必然事件 有些 事情我们能肯定他一定不会发生 这些事情称为不可能事件 必然事件和不可能事件都是事情我们能肯定他一定不会发生 这些事情称为不可能事件 必然事件和不可能事件都是 确定的 确定的 有很多事情我们无法肯定他会不会发生 这些事情称为不确定事件 有很多事情我们无法肯定他会不会发生 这些事情称为不确定事件 一般来一般来 说 不确定事件发生的可能性是有大小的 说 不确定事件发生的可能性是有大小的 8 8 概率 概率 人们通常用人们通常用 1 1 或 或 100 100 来表示必然事件发生的可能性 用 来表示必然事件发生的可能性 用 0 0 来表示不可能来表示不可能 事件发生的可能性 事件发生的可能性 游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同 游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同 必然事件发生的概必然事件发生的概 11 率为率为 1 1 记作 记作 必然事件 必然事件 不可能事件发生的概率为 不可能事件发生的概率为 记作 记作 不可能事件 不可能事件 P1 0P 如果 如果 A A 为不确定事件 那么为不确定事件 那么0 0 1P A 第四部分第四部分 分章节讲解分章节讲解 12 第一章第一章 数的运算数的运算 知识要点知识要点 1 正数与负数 大于 正数与负数 大于 0 的数叫做正数 在正数前面加上负号的数叫做正数 在正数前面加上负号 的数叫做负数 数的数叫做负数 数 0 既既 不是正数 也不是负数 不是正数 也不是负数 2 有理数 整数可以看作分母为 有理数 整数可以看作分母为 1 的分数 正整数 的分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数都可以 负整数 正分数 负分数都可以 写成分数的形式 这样的数称为有理数 写成分数的形式 这样的数称为有理数 3 相反数 像 相反数 像和和 和和这样 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 这样 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 22 55 4 绝对值 数轴上表示数 绝对值 数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的点与原点的距离叫做数的绝对值 记作的绝对值 记作 由定义可得 由定义可得aaa 0 0 0 0 aa a aa a 5 有理数的运算法则 有理数的运算法则 1 加法交换律 加法交换律 abba 2 加法结合律 加法结合律 cbacabcba 3 减法法则 减法法则 baba 4 乘法交换律 乘法交换律 baab 5 乘法结合律 乘法结合律 bcabaccab 6 分配律 分配律 acabcba 7 为任何数 为任何数 00 aa 8 b aba 1 0 b 6 乘方 求 乘方 求个相同因数的积的运算叫做乘方 乘方的结果叫做幂 在个相同因数的积的运算叫做乘方 乘方的结果叫做幂 在中 中 叫做底数 叫做底数 叫做指叫做指n n aan 数 当数 当看作看作的的次方的结果时 也可读作次方的结果时 也可读作的的次幂 即次幂 即 n aanan an n aaaa 个 7 单项式 式子单项式 式子 它们都是数或字母的积 像这样 它们都是数或字母的积 像这样t100 2 6a 3 ax5 2vtn 的式子叫做单项式 单独的一个数或一个字也是单项式 单项式中的数字因数叫做这个单的式子叫做单项式 单独的一个数或一个字也是单项式 单项式中的数字因数叫做这个单 项式的系数 例如 单项式项式的系数 例如 单项式 的系数分别是的系数分别是 单项式表示数字与 单项式表示数字与t100n 10011 13 字母相乘时 通常把数字写在前面 一个单项式中 所有字母的指数的和叫做这个单项式字母相乘时 通常把数字写在前面 一个单项式中 所有字母的指数的和叫做这个单项式 的次数 例如 在单项式中 字母的次数 例如 在单项式中 字母 的指数是的指数是 是一次单项式 在单项式中字母是一次单项式 在单项式中字母t1t100 和字母和字母 的指数的和是的指数的和是 是二次单项式 是二次单项式 vt2vt 8 多项式 多项式 个单项式的和叫做多项式 其中每个单项式叫做多项式的项 不含字母的项个单项式的和叫做多项式 其中每个单项式叫做多项式的项 不含字母的项n 叫做常数项 例如 在多项式叫做常数项 例如 在多项式中 中 和和是它的项 其中是它的项 其中是常数项 在多项是常数项 在多项32 xx23 3 式式中 它的项分别是中 它的项分别是 和和 其中 其中是常数项 多项式里次数最是常数项 多项式里次数最182 2 xx 2 xx2 1818 高项的次数叫做这个多项式的次数 例如 多项式高项的次数叫做这个多项式的次数 例如 多项式中次数最高项是一次项中次数最高项是一次项 所 所32 xx2 以这个多项式的次数也是以这个多项式的次数也是 多项式 多项式次数最高项是二次项次数最高项是二次项 这个多项式的 这个多项式的1182 2 xx 2 x 次数是次数是 2 练习练习 1 写出下列各数的绝对值写出下列各数的绝对值 68 9 3 2 5 11 2 010023 05 0 2 3 2 写出下列各数的相反数 并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来写出下列各数的相反数 并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来 4 2 5 1 0 3 1 4 9 3 3 计算计算 1 2 5 3 70 3 4 8 4 2 7 96 14 5 6 7 4 8 5 7 8 5 0 6 0 9 1 9 10 7 5 3 20 7 4 93 6 5 11 12 5 38 0 1 2 7 0 2 1 8 0 4 1 5 2 1 3 13 14 12 1 1 4 1 3 5 3 5 2 15 16 5 2 3 1 3 1 2 1 17 18 3 1 2 1 5 3 5 2 15 19 20 2 1 3 2 6 5 4 1 1 3 2 6 1 2 7 4 3 4 计算计算 1 2 9 3 9 6 3 4 6 4 1 6 5 6 0 6 2 2 1 7 8 4 9 3 2 4 1 3 1 9 10 25 0 7 8 5 4 1 5 9 6 5 3 16 11 12 4 1 5 4 6 5 3 2 2 1 15 8 12 5 13 14 1 0 3 2 2 3 15 8 5 4 1 7 1 1 15 8 7 15 16 12 2 1 6 1 4 1 30 15 1 10 9 17 18 9 8 4 1 10 3 6 5 19 20 7 10 3 0 4 8 21 22 9 36 5 3 25 12 17 23 24 5 7 5 125 4 1 8 5 5 2 25 26 1391 14 56 27 28 1 5 4 16 48 29 30 8 3 25 0 3 12 31 32 12 45 8 25 1 25 8 33 34 1 001 0 1 0 128 3 3 5 23 35 6 2 12 5 0 3 7 5 计算计算 1 2 3 4 4 2 18 3 4 3 3 2 10 1 5 6 3 8 3 5 7 8 3 1 0 5 10 9 10 4 2 1 3 2 11 12 3 3 4 22 3 2 13 14 15 3 4 3 2 3 2 3 2 4 3 2 223 15 16 4 2 2 1 310 43 2 1 3 5 17 18 4 5 11 3 2 1 3 1 5 11 2 33 4 10 224 19 19 20 4 2 5 1 4100 43 3 1 3 3 21 22 5 3 14 3 3 1 6 1 6 7 2 31 4 10 223 23 24 23 3 2 9 4 2 4 28 0 5 2 4 3 25 26 4 2 5 2 32 31 3 53 2 6 化简下列各式化简下列各式 20 1 2 xx2012 xxx57 3 4 5 28baba aaa7 23 05 5 6 2 3 35 2 baba yyy2 3 2 3 1 7 8 22 5 010yy abbaab86 9 10 5 0 12 x 5 1 1 5x 11 12 2 43xyyxxy 2222 2323xyxyyxyx 13 14 2222 44234baabba 3 2 3 1 4 1 3 1 22 abaaab 21 15 16 22 nmnm 3 22 3 2222 aaaaaa 17 18 634 52 22 xxxx 724 73 22 abaaba 19 20 635 745 abcbca 8 8 2222 xyyxyxxy 21 22 2 1 4 3 2 1 2 22 xxxx 22 2 34 73xxxx 23 245 45 22 xxxx 22 第二章 代数式及恒等变形第二章 代数式及恒等变形 知识要点知识要点 1 数的开方数的开方 1 平方根 如果平方根 如果 那么 那么叫做叫做的平方根 记作的平方根 记作 正 正 0 2 aaxxa 0 aax 数数的正的平方根与的正的平方根与的平方根叫做的平方根叫做的算术平方根 记作的算术平方根 记作 a0aa 运算性质 运算性质 aa 2 aa 2 2 立方根 如果立方根 如果 那么 那么叫做叫做的立方根 记作的立方根 记作 任何实数都有一个 任何实数都有一个ax 3 xa 3 ax 与之同号的立方根 与之同号的立方根 运算性质 运算性质 aa 3 3 aa 3333 aa 3 次方根 如果次方根 如果 是大于是大于 的整数 的整数 那么 那么叫做叫做的的次方根 当次方根 当为奇为奇nax n n1xann 数时 数时 的的次方根记作次方根记作 当 当为偶数时 为偶数时 的的次方根记作次方根记作 正数 正数an n anan 0 aa n 的正的的正的次方根与次方根与的的次方根叫做次方根叫做的的次算术根 记作次算术根 记作 为大于为大于 的的an0nan n a0 an1 整数 整数 性质 正数有一个正的奇次方根 负数有一个负的奇次方根 零的奇次方根为零 性质 正数有一个正的奇次方根 负数有一个负的奇次方根 零的奇次方根为零 正数的偶次方根有两个 它们互为相反数 零的偶次方根是零 负数没有偶次方根 正数的偶次方根有两个 它们互为相反数 零的偶次方根是零 负数没有偶次方根 运算性质 运算性质 当当 为偶数时 为