2013年中考数学几何最值问题解法专题复习

20132013 年中考数学几何最值问题解法专题复习年中考数学几何最值问题解法专题复习 在平面几何的动态问题中 当某几何元素在给定条件变动时 求某几何量 如线段的长度 图形的 周长或面积 角的度数以及它们的和与差 的最大值或最小值问题 称为最值问题 解决平面几何最值问题的常用的方法有 1 应用两点间线段最短的公理 含应用三角形的三边关 系 求最值 2 应用垂线段最短的性质求最值 3 应用轴对称的性质求最值 4 应用二次函数 求最值 5 应用其它知识求最值 下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法 一 应用两点间线一 应用两点间线 段最短的公理 含应用三角形的三边关系 求最值 段最短的公理 含应用三角形的三边关系 求最值 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 山东济南山东济南 3 3 分 分 如图 MON 90 矩形 ABCD 的顶点 A B 分别在边 OM ON 上 当 B 在边 ON 上运动时 A 随之在边 OM 上运动 矩形 ABCD 的形状保持不变 其中 AB 2 BC 1 运动过程中 点 D 到点 O 的最大距离为 A B C 5 D 21 5 145 5 5 2 答案答案 A 考点考点 矩形的性质 直角三角形斜边上的中线性质 三角形三边关系 勾股定理 分析分析 如图 取 AB 的中点 E 连接 OE DE OD OD OE DE 当 O D E 三点共线时 点 D 到点 O 的距离最大 此时 AB 2 BC 1 OE AE AB 1 1 2 DE 2222 ADAE112 OD 的最大值为 故选 A 21 例例 2 2 20122012 湖北鄂州湖北鄂州 3 3 分 分 在锐角三角形 ABC 中 BC ABC 45 BD 平分 ABC M N 分别是24 BD BC 上的动点 则 CM MN 的最小值是 答案答案 4 考点考点 最短路线问题 全等三角形的判定和性质 三角形三边关系 垂直线段的性质 锐角三角函数 定义 特殊角的三角函数值 分析分析 如图 在 BA 上截取 BE BN 连接 EM ABC 的平分线交 AC 于点 D EBM NBM 在 AME 与 AMN 中 BE BN EBM NBM BM BM BME BMN SAS ME MN CM MN CM ME CE 又 CM MN 有最小值 当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时 CE 取最小值 BC ABC 45 CE 的最小值为sin450 4 4 24 2 CM MN 的最小值是 4 例例 3 3 20112011 四川凉山四川凉山 5 5 分 分 如图 圆柱底面半径为 高为 点 A B 分别是圆柱两底面圆2cm9 cm 周上的点 且 A B 在同一母线上 用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B 求棉线最短为 cm 答案答案 15 考点考点 圆柱的展开 勾股定理 平行四边形的性质 分析分析 如图 圆柱展开后可见 棉线最短是三条斜线 第一条斜线与底 面圆周长 高组成直角三角形 由周长公式 底面圆周长为 1 3 4 cm 高为 根据勾股定理 得斜线长为 根据平行四边形的性 1 3 3 cm 5 cm 质 棉线最短为 15 cm 例例 4 4 20122012 四川眉山四川眉山 3 3 分 分 在 ABC 中 AB 5 AC 3 AD 是 BC 边上的中线 则 AD 的取值范围是 答案答案 1 AD 4 考点考点 全等三角形的判定和性质 三角形三边关系 分析分析 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 CE 根据 SAS 证明 ABD ECD 得 CE AB 再根据三角形的三边关系即可求解 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 CE BD CD ADB EDC AD DE ABD ECD SAS CE AB 在 ACE 中 CE AC AE CE AC 即 2 2AD 8 1 AD 4 练习题 练习题 1 1 20112011 湖北荆门湖北荆门 3 3 分 分 如图 长方体的底面边长分别为 2和 4 高为 5 若一只蚂蚁从 P 点cmcmcm 开 始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点 则蚂蚁爬行的最短路径长为 A 13cm B 12cm C 10cm D 8cm 2 2 20112011 四川广安四川广安 3 3 分 分 如图 圆柱的底面周长为 6cm AC 是底面圆的直径 高 BC 6cm 点 P 是母线 BC 上一点 且 PC BC 一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是 2 3 A B 5cm C D 7cm 6 4 3 5 3 3 20112011 广西贵港广西贵港 2 2 分 分 如图所示 在边长为 2 的正三角形 ABC 中 E F G 分别为 AB AC BC 的中点 点 P 为线段 EF 上一个动点 连接 BP GP 则 BPG 的周长的最小值是 二 应用垂线段最短的性质求最值 二 应用垂线段最短的性质求最值 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 山东莱芜山东莱芜 4 4 分 分 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 若点 P 在边 AC 上移动 则 BP 的最小值是 答案答案 24 5 考点考点 动点问题 垂直线段的性质 勾股定理 分析分析 如图 根据垂直线段最短的性质 当 BP AC 时 BP 取得最小 值 设 AP x 则由 AB AC 5 得 CP 5 x 又 BC 6 在 Rt AB P 和 Rt CBP 中应用勾股定理 得 222222 BPABAPBPBCCP 值 即 解得 2222 ABAPBCCP 2 222 5x66x 7 x 5 即 BP 的最小值是 2 2 757624 BP5 5255 24 5 例例 2 2 20122012 浙江台州浙江台州 4 4 分 分 如图 菱形 ABCD 中 AB 2 A 120 点 P Q K 分别为线段 BC CD BD 上的任意一点 则 PK QK 的最小值为 A 1 B C 2 D 133 答案答案 B 考点考点 菱形的性质 线段中垂线的性质 三角形三边关系 垂直线段的性质 矩形的判定和性质 锐 角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 分两步分析 1 若点 P Q 固定 此时点 K 的位置 如图 作点 P 关于 BD 的 对称点 P1 连接 P1Q 交 BD 于点 K1 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质 得 P1K1 P K1 P1K PK 由三角形两边之和大于第三边的性质 得 P1K QK P1Q P1K1 Q K1 P K1 Q K1 此时的 K1就是使 PK QK 最小的位置 2 点 P Q 变动 根据菱形的性质 点 P 关于 BD 的对称点 P1在 AB 上 即不论点 P 在 BC 上任 一点 点 P1总在 AB 上 因此 根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质 得 当 P1Q AB 时 P1Q 最短 过点 A 作 AQ1 DC 于点 Q1 A 120 DA Q1 30 又 AD AB 2 P1Q AQ1 AD cos300 3 23 3 综上所述 PK QK 的最小值为 故选 B 3 例例 3 3 20122012 江苏江苏连云港连云港 1212 分 分 已知梯形 ABCD AD BC AB BC AD 1 AB 2 BC 3 问题 1 如图 1 P 为 AB 边上的一点 以 PD PC 为边作平行四边形 PCQD 请问对角线 PQ DC 的长能否 相等 为什么 问题 2 如图 2 若 P 为 AB 边上一点 以 PD PC 为边作平行四边形 PCQD 请问对角线 PQ 的长是否存在 最小值 如果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明理由 问题 3 若 P 为 AB 边上任意一点 延长 PD 到 E 使 DE PD 再以 PE PC 为边作平行四边形 PCQE 请探 究对角线 PQ 的长是否也存在最小值 如果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明理由 问题 4 如图 3 若 P 为 DC 边上任意一点 延长 PA 到 E 使 AE nPA n 为常数 以 PE PB 为边作平行 四边形 PBQE 请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值 如果存在 请求出最小值 如果不存在 请说明 理由 答案答案 解 问题 1 对角线 PQ 与 DC 不可能相等 理由如下 四边形 PCQD 是平行四边形 若对角线 PQ DC 相等 则四边形 PCQD 是矩形 DPC 90 AD 1 AB 2 BC 3 DC 2 2 设 PB x 则 AP 2 x 在 Rt DPC 中 PD2 PC2 DC2 即 x2 32 2 x 2 12 8 化简得 x2 2x 3 0 2 2 4 1 3 8 0 方程无解 不存在 PB x 使 DPC 90 对角线 PQ 与 DC 不可能相等 问题 2 存在 理由如下 如图 2 在平行四边形 PCQD 中 设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G 则 G 是 DC 的中点 过点 Q 作 QH BC 交 BC 的延长线于 H AD BC ADC DCH 即 ADP PDG DCQ QCH PD CQ PDC DCQ ADP QCH 又 PD CQ Rt ADP Rt HCQ AAS AD HC AD 1 BC 3 BH 4 当 PQ AB 时 PQ 的长最小 即为 4 问题 3 存在 理由如下 如图 3 设 PQ 与 DC 相交于点 G PE CQ PD DE DGPD1 GCCQ2 G 是 DC 上一定点 作 QH BC 交 BC 的延长线于 H 同理可证 ADP QCH Rt ADP Rt HCQ ADPD1 CHCQ2 AD 1 CH 2 BH BG CH 3 2 5 当 PQ AB 时 PQ 的长最小 即为 5 问题 4 如图 3 设 PQ 与 AB 相交于点 G PE BQ AE nPA PAAG1 BQBGn 1 G 是 DC 上一定点 作 QH PE 交 CB 的延长线于 H 过点 C 作 CK CD 交 QH 的 延长线于 K AD BC AB BC D QHC DAP PAG QBH QBG 90 PAG QBG QBH PAD ADP BHQ ADPA1 BHBQn 1 AD 1 BH n 1 CH BH BC 3 n 1 n 4 过点 D 作 DM BC 于 M 则四边形 ABND 是矩形 BM AD 1 DM AB 2 CM BC BM 3 1 2 DM DCM 45 KCH 45 CK CH cos45 n 4 2 2 当 PQ CD 时 PQ 的长最小 最小值为 n 4 2 2 考点考点 反证法 相似三角形的判定和性质 一元二次方程根的判别式 全等三角形的判定和性质 勾 股定理 平行四边形 矩形的判定和性质 等腰直角三角形的判定和性质 分析分析 问题 1 四边形 PCQD 是平行四边形 若对角线 PQ DC 相等 则四边形 PCQD 是矩形 然后利用 矩形的性质 设 PB x 可得方程 x2 32 2 x 2 1 8 由判别式 0 可知此方程无实数根 即对 角线 PQ DC 的长不可能相等 问题 2 在平行四边形 PCQD 中 设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G 可得 G 是 DC 的中点 过点 Q 作 QH BC 交 BC 的延长线于 H 易证得 Rt ADP Rt HCQ 即可求得 BH 4 则可得当 PQ AB 时 PQ 的 长最小 即为 4 问题 3 设 PQ 与 DC 相交于点 G PE CQ PD DE 可得 易证得 Rt ADP Rt DGPD1 GCCQ2 HCQ 继而求得 BH 的长 即可求得答案 问题 4 作 QH PE 交 CB 的延长线于 H 过点 C 作 CK CD 交 QH 的延长线于 K 易证得 与 ADP BHQ 又由 DCB 45 可得 CKH 是等腰直角三角形 继而可求得 CK 的 ADPA1 BHBQn 1 值 即可求得答案 例例 4 4 20122012 四川广元四川广元 3 3 分 分 如图 点 A 的坐标为 1 0 点 B 在直线上运动 当线段 AB 最短yx 时 点 B 的坐标为 A 0 0 B C D 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 例例 5 5 20122012 四川乐山四川乐山 3 3 分 分 如图 在 ABC 中 C 90 AC BC 4 D 是 AB 的中点 点 E F 分别在 AC BC 边上运动 点 E 不与点 A C 重合 且保持 AE CF 连接 DE DF EF 在此运动变化的过程中 有下列结论 DFE 是等腰直角三角形 四边形 CEDF 不可能为正方形 四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化 点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案答案 B 考点考点 全等三角形的判定和性质 等腰直角三角形 三角形中位线定理 勾股定理 分析分析 连接 CD 如图 1 ABC 是等腰直角三角形 DCB A 45 CD AD DB AE CF ADE CDF SAS ED DF CDF EDA ADE EDC 90 EDC CDF EDF 90 DFE 是等腰直角三角形 故此结论正确 当 E F 分别为 AC BC 中点时 由三角形中位线定理 DE 平行且等于BC 1 2 四边形 CEDF 是平行四边形 又 E F 分别为 AC BC 中点 AC BC 四边形 CEDF 是菱形 又 C 90 四边形 CEDF 是正方形 故此结论错误 如图 2 分别过点 D 作 DM AC DN BC 于点 M N 由 知四边形 CMDN 是正方形 DM DN 由 知 DFE 是等腰直角三角形 DE DF Rt ADE Rt CDF HL 由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积 四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化 故此结论错误 由 DEF 是等腰直角三角形 DE EF 2 当 DF 与 BC 垂直 即 DF 最小时 EF 取最小值 2 此时点 C 到线段 EF 的最大距离为 22 故此结论正确 故正确的有 2 个 故选 B 例例 6 6 20122012 四川成都四川成都 4 4 分 分 如图 长方形纸片 ABCD 中 AB 8cm AD 6cm 按下列步骤进行裁剪和拼图 第一步 如图 在线段 AD 上任意取一点 E 沿 EB EC 剪下一个三角形纸片 EBC 余下部分不再使 用 第二步 如图 沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分 并在线段 GH 上任意取一点 M 线段 BC 上任意取一点 N 沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分 第三步 如图 将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180 使线段 GB 与 GE 重合 将 MN 右侧 纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180 使线段 HC 与 HE 重合 拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边 形纸片 注 裁剪和拼图过程均无缝且不重叠 则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm 最大值为 cm 答案答案 20 12 4 13 考点考点 图形的剪拼 矩形的性质 旋转的性质 三角形中位线定理 分析分析 画出第三步剪拼之后的四边形 M1N1N2M2的示意图 如答图 1 所示 图中 N1N2 EN1 EN2 NB NC BC M1M2 M1G GM MH M2H 2 GM MH 2GH BC 三角形中位线定理 又 M1M2 N1N2 四边形 M1N1N2M2是一个平行四边形 其周长为 2N1N2 2M1N1 2BC 2MN BC 6 为定值 四边形的周长取决于 MN 的大小 如答图 2 所示 是剪拼之前的完整示意图 过 G H 点作 BC 边的平行线 分别交 AB CD 于 P 点 Q 点 则四边形 PBCQ 是一个矩形 这个矩形是矩形 ABCD 的一半 M 是线段 PQ 上的任意一点 N 是线段 BC 上的任意一点 根据垂线段最短 得到 MN 的最小值为 PQ 与 BC 平行线之间的距离 即 MN 最小值为 4 而 MN 的最大值等于矩形对角线的长度 即 2222 PBBC462 13 四边形 M1N1N2M2的周长 2BC 2MN 12 2MN 四边形 M1N1N2M2周长的最小值为 12 2 4 20 最大值为 12 2 12 2 134 13 例例 7 7 20122012 四川乐山四川乐山 3 3 分 分 如图 在 ABC 中 C 90 AC BC 4 D 是 AB 的中点 点 E F 分别在 AC BC 边上运动 点 E 不与点 A C 重合 且保持 AE CF 连接 DE DF EF 在此运动变化的过程中 有下列结论 DFE 是等腰直角三角形 四边形 CEDF 不可能为正方形 四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化 点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案答案 B 考点考点 全等三角形的判定和性质 等腰直角三角形 三角形中位线定理 勾股定理 分析分析 连接 CD 如图 1 ABC 是等腰直角三角形 DCB A 45 CD AD DB AE CF ADE CDF SAS ED DF CDF EDA ADE EDC 90 EDC CDF EDF 90 DFE 是等腰直角三角形 故此结论正确 当 E F 分别为 AC BC 中点时 由三角形中位线定理 DE 平行且等于BC 1 2 四边形 CEDF 是平行四边形 又 E F 分别为 AC BC 中点 AC BC 四边形 CEDF 是菱形 又 C 90 四边形 CEDF 是正方形 故此结论错误 如图 2 分别过点 D 作 DM AC DN BC 于点 M N 由 知四边形 CMDN 是正方形 DM DN 由 知 DFE 是等腰直角三角形 DE DF Rt ADE Rt CDF HL 由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积 四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化 故此结论错误 由 DEF 是等腰直角三角形 DE EF 2 当 DF 与 BC 垂直 即 DF 最小时 EF 取最小值 2 此时点 C 到线段 EF 的最大距离为 22 故此结论正确 故正确的有 2 个 故选 B 例例 8 8 20122012 浙江宁波浙江宁波 3 3 分 分 如图 ABC 中 BAC 60 ABC 45 AB 2 D 是线段 BC 上的一2 个动点 以 AD 为直径画 O 分别交 AB AC 于 E F 连接 EF 则线段 EF 长度的最小值为 答案答案 3 考点考点 垂线段的性质 垂径定理 圆周角定理 解直角三角形 锐角三角函数定义 特殊角的三角函 数值 分析分析 由垂线段的性质可知 当 AD 为 ABC 的边 BC 上的高时 直径 AD 最短 此时线段 EF 2EH 20E sin EOH 20E sin60 当半径 OE 最短时 EF 最短 如图 连接 OE OF 过 O 点作 OH EF 垂足为 H 在 Rt ADB 中 ABC 45 AB 2 2 AD BD 2 即此时圆的直径为 2 由圆周角定理可知 EOH EOF BAC 60 1 2 在 Rt EOH 中 EH OE sin EOH 1 33 22 由垂径定理可知 EF 2EH 3 例例 9 9 20122012 四川自贡四川自贡 1212 分 分 如图所示 在菱形 ABCD 中 AB 4 BAD 120 AEF 为正三角形 点 E F 分别在菱形的边 BC CD 上滑动 且 E F 不与 B C D 重合 1 证明不论 E F 在 BC CD 上如何滑动 总有 BE CF 2 当点 E F 在 BC CD 上滑动时 分别探讨四边形 AECF 和 CEF 的面积是否发生变化 如果不变 求 出这个定值 如果变化 求出最大 或最小 值 答案答案 解 1 证明 如图 连接 AC 四边形 ABCD 为菱形 BAD 120 BAE EAC 60 FAC EAC 60 BAE FAC BAD 120 ABF 60 ABC 和 ACD 为等边三角形 ACF 60 AC AB ABE AFC 在 ABE 和 ACF 中 BAE FAC AB AC ABE AFC ABE ACF ASA BE CF 2 四边形 AECF 的面积不变 CEF 的面积发生变化 理由如下 由 1 得 ABE ACF 则 S ABE S ACF S四边形 AECF S AEC S ACF S AEC S ABE S ABC 是定值 作 AH BC 于 H 点 则 BH 2 22 AECFABC 11 SSBC AHBCABBH4 3 22 值值 边 由 垂线段最短 可知 当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时 边 AE 最短 故 AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化 且当 AE 最短时 正三角形 AEF 的面积会最小 又 S CEF S四边形 AECF S AEF 则此时 CEF 的面积就会最大 S CEF S四边形 AECF S AEF 22 1 4 32 32 333 2 CEF 的面积的最大值是 3 考点考点 菱形的性质 等边三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 勾股定理 垂直线段的性 质 分析分析 1 先求证 AB AC 进而求证 ABC ACD 为等边三角形 得 ACF 60 AC AB 从而求证 ABE ACF 即可求得 BE CF 2 由 ABE ACF 可得 S ABE S ACF 故根据 S四边形 AECF S AEC S ACF S AEC S ABE S ABC即可 得四边形 AECF 的面积是定值 当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时 边 AE 最短 AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化 且当 AE 最短时 正三角形 AEF 的面积会最小 根据 S CEF S四边形 AECF S AEF 则 CEF 的面积就会最大 例例 10 10 20122012 浙江义乌浙江义乌 1010 分 分 在锐角 ABC 中 AB 4 BC 5 ACB 45 将 ABC 绕点 B 按逆时针方 向旋转 得到 A1BC1 1 如图 1 当点 C1在线段 CA 的延长线上时 求 CC1A1的度数 2 如图 2 连接 AA1 CC1 若 ABA1的面积为 4 求 CBC1的面积 3 如图 3 点 E 为线段 AB 中点 点 P 是线段 AC 上的动点 在 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中 点 P 的对应点是点 P1 求线段 EP1长度的最大值与最小值 答案答案 解 1 由旋转的性质可得 A1C1B ACB 45 BC BC1 CC1B C1CB 45 CC1A1 CC1B A1C1B 45 45 90 2 由旋转的性质可得 ABC A1BC1 BA BA1 BC BC1 ABC A1BC1 ABC ABC1 A1BC1 ABC1 ABA1 CBC1 1 1 BABA BCBC ABA1 CBC1 1 1 22 ABA CBC S AB416 SCB525 S ABA1 4 S CBC1 25 4 3 过点 B 作 BD AC D 为垂足 ABC 为锐角三角形 点 D 在线段 AC 上 在 Rt BCD 中 BD BC sin45 5 2 2 如图 1 当 P 在 AC 上运动至垂足点 D ABC 绕点 B 旋 转 使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时 EP1最小 最小值为 EP1 BP1 BE BD BE 2 5 2 2 如图 2 当 P 在 AC 上运动至点 C ABC 绕点 B 旋转 使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时 EP1最大 最大值为 EP1 BC BE 5 2 7 考点考点 旋转的性质 等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 相似三角 形的判定和性质 分析分析 1 由旋转的性质可得 A1C1B ACB 45 BC BC1 又由等腰三角 形的性质 即可求得 CC1A1的度数 2 由旋转的性质可得 ABC A1BC1 易证得 ABA1 CBC1 利用 相似三角形的面积比等于相似比的平方 即可求得 CBC1的面积 3 由 当 P 在 AC 上运动至垂足点 D ABC 绕点 B 旋转 使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时 EP1最小 当 P 在 AC 上运动至点 C ABC 绕点 B 旋转 使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时 EP1最大 即可求得线段 EP1长度的最大值与最小值 例例 11 11 20122012 福建南平福建南平 1414 分 分 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在边 BC AC 上 连接 AD DE 且 1 B C 1 由题设条件 请写出三个正确结论 要求不再添加其他字母和辅助线 找结论过程中添加的字母 和辅助线不能出现在结论中 不必证明 答 结论一 结论二 结论三 2 若 B 45 BC 2 当点 D 在 BC 上运动时 点 D 不与 B C 重合 求 CE 的最大值 若 ADE 是等腰三角形 求此时 BD 的长 注意 在第 2 的求解过程中 若有运用 1 中得出的结论 须加以证明 答案答案 解 1 AB AC AED ADC ADE ACD 2 B C B 45 ACB 为等腰直角三角形 22 ACBC22 22 1 C DAE CAD ADE ACD AD AC AE AD 22 ADAD AE AC 2 2 2 AD 2 当 AD 最小时 AE 最小 此时 AD BC AD BC 1 1 2 AE 的最小值为 CE 的最大值 2 22 1 22 22 2 22 当 AD AE 时 1 AED 45 DAE 90 点 D 与 B 重合 不合题意舍去 当 EA ED 时 如图 1 EAD 1 45 AD 平分 BAC AD 垂直平分 BC BD 1 当 DA DE 时 如图 2 ADE ACD DA AC DE DC DC CA BD BC DC 2 22 综上所述 当 ADE 是等腰三角形时 BD 的长的长为 1 或 2 2 考点考点 相似三角形的判定和性质 勾股定理 等腰 直角 三角形的判定和性质 分析分析 1 由 B C 根据等腰三角形的性质可得 AB AC 由 1 C AED EDC C 得到 AED ADC 又由 DAE CAD 根据相似三角形的判定可得到 ADE ACD 2 由 B C B 45 可得 ACB 为等腰直角三角形 则 由 22 ACBC22 22 1 C DAE CAD 根据相似三角形的判定可得 ADE ACD 则有 AD AC AE AD 即 当 AD BC AD 最小 此时 AE 最小 从而由 CE AC AE 得到 CE 的最大值 22 ADAD AE AC 2 2 2 AD 2 分当 AD AE EA ED DA DE 三种情况讨论即可 练习题 练习题 1 1 20112011 浙江衢州浙江衢州 3 3 分 分 如图 OP 平分 MON PA ON 于点 A 点 Q 是射线 OM 上的一个动点 若 PA 2 则 PQ 的最小值为 A 1B 2 C 3D 4 2 2 20112011 四川南充四川南充 8 8 分 分 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AD AB CD 2 C 60 M 是 BC 的中点 1 求证 MDC 是等边三角形 2 将 MDC 绕点 M 旋转 当 MD 即 MD 与 AB 交于一点 E MC 即 MC 同时与 AD 交于一点 F 时 点 E F 和点 A 构成 AEF 试探究 AEF 的周长是否存在最小值 如果不存在 请说明理由 如果存在 请计算出 AEF 周长的最小值 3 3 20112011 浙江台州浙江台州 4 4 分 分 如图 O 的半径为 2 点 O 到直线 l 的距离为 3 点 P 是直线 l 上的一个动点 PQ 切 O 于点 Q 则 PQ 的最小值为 A 13 B 5 C 3 D 2 4 4 20112011 河南省河南省 3 3 分 分 如图 在四边形 ABCD 中 A 90 AD 4 连接 BD BD CD ADB C 若 P 是 BC 边上一动点 则 DP 长的最小值为 5 5 20112011 云南昆明云南昆明 1212 分 分 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AB 10cm AC BC 4 3 点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动 速度为 1cm s 同时点 Q 从点 B 出发沿 B C A 方向向点 A 运动 速度为 2cm s 当 一个运动点到达终点时 另一个运动点也随之停止运动 1 求 AC BC 的长 2 设点 P 的运动时间为 x 秒 PBQ 的面积为 y cm2 当 PBQ 存在时 求 y 与 x 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 3 当点 Q 在 CA 上运动 使 PQ AB 时 以点 B P Q 为定点的三角形与 ABC 是否相似 请说明理由 4 当 x 5 秒时 在直线 PQ 上是否存在一点 M 使 BCM 得周长最小 若存在 求出最小周长 若不存 在 请说明理由 三 应用轴对称的性质求最值 三 应用轴对称的性质求最值 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 山东青岛山东青岛 3 3 分 分 如图 圆柱形玻璃杯高为 12cm 底面周长为 18cm 在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处 则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 cm 答案答案 15 考点考点 圆柱的展开 矩形的性质 轴对称的性质 三角形三边关系 勾股定理 分析分析 如图 圆柱形玻璃杯展开 沿点 A 竖直剖开 后侧面是一个长 18 宽 12 的矩形 作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B 连接 BC 交 MN 于点 P 连接 BM 过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D 由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP PC 为蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离 且 AP BP 由已知和矩形的性质 得 DC 9 BD 12 在 Rt BCD 中 由勾股定理得 2222 BCDCBD91215 AP PC BP PC BC 15 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm 例例 2 2 20122012 甘肃兰州甘肃兰州 4 4 分 分 如图 四边形 ABCD 中 BAD 120 B D 90 在 BC CD 上分 别找一点 M N 使 AMN 周长最小时 则 AMN ANM 的度数为 A 130 B 120 C 110 D 100 答案答案 B 考点考点 轴对称 最短路线问题 三角形三边关系 三角形外角性质 等腰三角形的性质 分析分析 根据要使 AMN 的周长最小 即利用点的对称 让三角形的三边在同一直线上 作出 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A A 即可得出 AA M A HAA 60 进而得出 AMN ANM 2 AA M A 即可得出答案 如图 作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A A 连接 A A 交 BC 于 M 交 CD 于 N 则 A A 即 为 AMN 的周长最小值 作 DA 延长线 AH BAD 120 HAA 60 AA M A HAA 60 MA A MAA NAD A 且 MA A MAA AMN NAD A ANM AMN ANM MA A MAA NAD A 2 AA M A 2 60 120 故选 B 例例 3 3 20122012 福建莆田福建莆田 4 4 分 分 点 A 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上 建立平面直角 坐标系如图所示 若 P 是 x 轴上使得的值最大的点 Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点 PAPB 则 OP OQ 答案答案 5 考点考点 轴对称 最短路线问题 坐标与图形性质 三角形三边关系 待定系数法 直线上点的坐标 与方程的关系 分析分析 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P 作 A 点关于 y 轴的对称点 A 连接 A B 交 y 轴于点 Q 求出点 Q 与 y 轴的交点坐标即可得出结论 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P 由三角形的三边关系可知 点 P 即为 x 轴上使得 PA PB 的值最大的点 点 B 是正方形 ADPC 的中点 P 3 0 即 OP 3 作 A 点关于 y 轴的对称点 A 连接 A B 交 y 轴于点 Q 则 A B 即为 QA QB 的最小值 A 1 2 B 2 1 设过 A B 的直线为 y kx b 则 解得 Q 0 即 OQ 2kb 12kb 1 k 3 5 b 3 5 3 5 3 OP OQ 3 5 5 3 例例 4 4 20122012 四川攀枝花四川攀枝花 4 4 分 分 如图 正方形 ABCD 中 AB 4 E 是 BC 的中点 点 P 是对角线 AC 上一动 点 则 PE PB 的最小值为 答案答案 2 5 考点考点 轴对称 最短路线问题 正方形的性质 勾股定理 分析分析 连接 DE 交 BD 于点 P 连接 BD 点 B 与点 D 关于 AC 对称 DE 的长即为 PE PB 的最小值 AB 4 E 是 BC 的中点 CE 2 在 Rt CDE 中 2222 DE CD CE4 22 5 例例 5 5 20122012 广西贵港广西贵港 2 2 分 分 如图 MN 为 O 的直径 A B 是 O 上的两点 过 A 作 AC MN 于点 C 过 B 作 BD MN 于点 D P 为 DC 上的任意一点 若 MN 20 AC 8 BD 6 则 PA PB 的最小值是 答案答案 14 2 考点考点 轴对称 最短路线问题 勾股定理 垂径定理 分析分析 MN 20 O 的半径 10 连接 OA OB 在 Rt OBD 中 OB 10 BD 6 OD 8 OB2 BD2102 62 同理 在 Rt AOC 中 OA 10 AC 8 OC 6 OA2 AC2102 82 CD 8 6 14 作点 B 关于 MN 的对称点 B 连接 AB 则 AB 即为 PA PB 的最小值 B D BD 6 过点 B 作 AC 的垂线 交 AC 的延长线于点 E 在 Rt AB E 中 AE AC CE 8 6 14 B E CD 14 AB 14 AE2 B E2142 1422 例例 6 6 20122012 湖北十堰湖北十堰 6 6 分 分 阅读材料 例 说明代数式 的几何意义 并求它的最小值 22 x1 x3 4 值 解 如图 建立平面直角坐标系 点 222222 x1 x3 4 x0 1 x3 2 P x 0 是 x 轴上一点 则可以看成点 P 与点 A 0 1 的距离 可以看 22 x0 1 22 x3 2 成点 P 与点 B 3 2 的距离 所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和 它的最小值就是 PA PB 的最小值 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A 则 PA PA 因此 求 PA PB 的最小值 只需求 PA PB 的最小值 而点 A B 间的直线段距离最短 所以 PA PB 的最小值为线段 A B 的长度 为此 构造直角三角形 A CB 因为 A C 3 CB 3 所以 A B 3 即原式的最小值为 3 22 根据以上阅读材料 解答下列问题 1 代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P x 0 与点 A 1 1 点 22 x1 1 x2 9 B 的距离之和 填写点 B 的坐标 2 代数式 的最小值为 22 x49x12x37 答案答案 解 1 2 3 2 10 考点考点 坐标与图形性质 轴对称 最短路线问题 分析分析 1 原式化为的形式 2222 x1 1 x2 3 代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P x 0 与点 A 22 x1 1 x2 9 1 1 点 B 2 3 的距离之和 2 原式化为的形式 2222 x0 7 x6 1 所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P x 0 与点 A 0 7 点 B 6 1 的距离之和 如图所示 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A 则 PA PA 求 PA PB 的最小值 只需求 PA PB 的最小值 而点 A B 间的直线段距离最短 PA PB 的最小值为线段A B 的长度 A 0 7 B 6 1 A 0 7 A C 6 BC 8 2222 A B A CBC 68 10 例例 7 7 20122012 四川凉山四川凉山 8 8 分 分 在学习轴对称的时候 老师让同学们思考课本中的探究题 如图 1 要在燃气管道 l 上修建一个泵站 分别向 A B 两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 你可以在 l 上找几个点试一试 能发现什么规律 你可以在 上找几个点试一试 能发现什么规l 律 聪明的小华通过独立思考 很快得出了解决这个问题的正确办法 他把管道 l 看成一条直线 图 2 问题就转化为 要在直线 l 上找一点 P 使 AP 与 BP 的和最小 他的做法是这样的 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB 交直线 l 于点 P 则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题 如图在 ABC 中 点 D E 分别是 AB AC 边的中点 BC 6 BC 边上 的高为 4 请你在 BC 边上确定一点 P 使 PDE 得周长最小 1 在图中作出点 P 保留作图痕迹 不写作法 2 请直接写出 PDE 周长的最小值 答案答案 解 1 作 D 点关于 BC 的对称点 D 连接 D E 与 BC 交于点 P P 点即为所求 2 8 考点考点 轴对称 最短路线问题 三角形三边关系 三角形中位线定理 勾股定理 分析分析 1 根据提供材料 DE 不变 只要求出 DP PE 的最小值即可 作 D 点关于 BC 的对称点 D 连接 D E 与 BC 交于点 P P 点即为所求 2 利用中位线性质以及勾股定理得出 D E 的值 即可得出答案 点 D E 分别是 AB AC 边的中点 DE 为 ABC 中位线 BC 6 BC 边上的高为 4 DE 3 DD 4 2222 D EDEDD 345 PDE 周长的最小值为 DE D E 3 5 8 练习题 练习题 1 1 20112011 黑龙江大庆黑龙江大庆 3 3 分 分 如图 已知点 A 1 1 B 3 2 且 P 为 x 轴上一动点 则 ABP 的周长的 最小值为 2 2 20112011 辽宁营口辽宁营口 3 3 分 分 如图 在平面直角坐标系中 有 A 1 2 B 3 3 两点 现另取一点 C a 1 当 a 时 AC BC 的值最小 3 3 20112011 山东济宁山东济宁 8 8 分 分 去冬今春 济宁市遭遇了 200 年不遇的大旱 某乡镇为了解决抗旱问题 要在 某河道建一座水泵站 分别向河的同一侧张村 A 和李村 B 送水 经实地勘查后 工程人员设计图纸时 以河道上的大桥 O 为坐标原点 以河道所在的直线为轴建立直角坐标系 如图 两村的坐标分别为x A 2 3 B 12 7 1 若从节约经费考虑 水泵站建在距离大桥 O 多远的地方可使所用输水管道最短 2 水泵站建在距离大桥 O 多远的地方 可使它到张村 李村的距离相等 4 4 20112011 辽宁本溪辽宁本溪 3 3 分 分 如图 正方形 ABCD 的边长是 4 DAC 的平分线交 DC 于点 E 若点 P Q 分别 是 AD 和 AE 上的动点 则 DQ PQ 的最小值 A 2 B 4 C D 2 24 2 5 5 20112011 辽宁阜新辽宁阜新 3 3 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 点 E 是 BC 中点 点 F 是边 CD 上的 任意一点 当 AEF 的周长最小时 则 DF 的长为 A 1B 2C 3D 4 6 6 20112011 贵州六盘水贵州六盘水 3 3 分 分 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC 6 BD 8 点 E F 分别是边 AB BC 的 中点 点 P 在 AC 上运动 在运动过程中 存在 PE PF 的最小值 则这个最小值是 A 3 B 4 C 5 D 6 7 7 20112011 甘肃天水甘肃天水 4 4 分 分 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD BAD 90 AB 6 对角线 AC 平分 BAD 点 E 在 AB 上 且 AE 2 AE AD 点 P 是 AC 上的动点 则 PE PB 的最小值是 四 应用二次函数求最值 四 应用二次函数求最值 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 四川自贡四川自贡 4 4 分 分 正方形 ABCD 的边长为 1cm M N 分别是 BC CD 上两个动点 且始终保持 AM MN 当 BM cm 时 四边形 ABCN 的面积最大 最大面积为 cm2 答案答案 1 2 5 8 考点考点 正方形的性质 相似三角形的判定和性质 二次函数的最值 分析分析 设 BM xcm 则 MC 1 xcm AMN 90 AMB NMC 90 NMC MNC 90 AMB 90 NMC MNC ABM MCN 即 解得 CN x 1 x ABBM MCCN 1x 1xCN 22 ABCN 1111115 S1 1x 1x xxx 2222228 值值 值值值值 边 0 当 x cm 时 S四边形 ABCN最大 最大值是cm2 1 2 1 2 5 8 例例 2 2 20122012 江苏扬州江苏扬州 3 3 分 分 如图 线段 AB 的长为 2 C 为 AB 上一个动点 分别以 AC BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE 那么 DE 长的最小值是 答案答案 1 考点考点 动点问题 等腰直角三角形的性质 平角定义 勾股定理 二次函数的最值 分析分析 设 AC x 则 BC 2 x ACD 和 BCE 都是等腰直角三角形 DCA 45 ECB 45 DC CE 2 x 2 2 2x 2 值 DCE 90 DE2 DC2 CE2 2 2 x2 2x 2 x 1 2 1 2 x 2 2 2x 2 值 当 x 1 时 DE2取得最小值 DE 也取得最小值 最小值为 1 例例 3 3 20122012 宁夏区宁夏区 1010 分 分 在矩形 ABCD 中 AB 2 AD 3 P 是 BC 上的任意一点 P 与 B C 不重合 过 点 P 作 AP PE 垂足为 P PE 交 CD 于点 E 1 连接 AE 当 APE 与 ADE 全等时 求 BP 的长 2 若设 BP 为 x CE 为 y 试确定 y 与 x 的函数关系式 当 x 取何值时 y 的值最大 最大值是多少 3 若 PE BD 试求出此时 BP 的长 答案答案 解 1 APE ADE AP AD 3 在 Rt ABP 中 AB 2 BP 2222 APAB325 2 AP PE Rt ABP Rt PCE 即 ABBP PCCE 2x 3xy 2 13 yxx 22 22 13139 yxx x 22228 当时 y 的值最大 最大值是 3 x 2 9 8 2 设 BP x 由 2 得 2 13 CExx 22 P