【毕业学位论文】（Word原稿）高中数学选修专题“对称与群”的教学研究-优秀教育硕士专业学位论文

学校代码 10345 研究类型 应用研究 浙江师范大学 教育硕士专业学位论文 题目： 高中数学选修专题“对称与群”的教学研究 学科专业： 学科教学（数学） 年 级： 2004 级 学 号： 2004220243 研 究 生： 景 芳 指导教师： 张金良 特级教 师 中图分类号： 答辩时间 : 2007 年 12 月 摘 要 新一轮 高中数学课程 改革 把现代数学基础理论 之一“ 对称与群 ”作为 选修 课程纳入高中数学课程 。 这是顺应时代的需求 ， 但也给高中新课程 实施 带来了一系列值得深入 探讨 的问题：对 于中学生而言， 对称与群有 什么教育价值 ？ 中学生是否有能力学习 ？ 教学中 如何控制和把握学习难 度， 又 如何评价？ 通过对 高中数学课程标准和各地区 数学新课程 教材 的分析 ，力图从理论与实践 两个维度部分地回答上述问题 。 论文 梳理 了 国内外数学课程中“ 对称与群 ”这一 内容的课程设置情况，发现 对称与对称变换的思想一直以逐渐渗透的形式 存 在我国历代 课程中，而很多发达国家 却 已把 对称与群 列入必修课程，这些都为新课程中选修专题对称与群的开设提供了有价值的参考。 进一步，论文依据现代课程理论，教学理论，并结合学生认知特点及该内容在数学学科中的重要性， 探讨了对称与群内容在中学数学教学中的意义，目标要求，内容组织，认知特征 ， 教学策略和教学设计 等问题 。 认为对称与群这一选修专题的教学 应 采用 分层施教策略；培养美感，发展直观思维策略；引导学生积极参与 ， 主动探究的互动课堂策略；小组合作，资源共享策略 ；多元评价策略。 在 教学实践中 应关 注选修专题的课程定位 ；强调通过实例、运用类比引导学生认识群的本质 ； 强调学生的探究实践 ， 注重过程教学 ； 合理用好教材，根据实际灵活选材。 但 教师如何提升这一内容的教学素养，以及在教学中如何评价学生的表现却仍有待进一步研究 。 关键词 ：数学新课程；对称与群；教学；教学策略 he in of of as an in It to to of to to in to to in of In in in is it is of in of at it as a in as an on of in of in as as of of it is in of of of of of be be to of in be on to of of on of be it to be on 目 录 1 绪论 1 题的提出及研究的意义 1 究的思路和方法 2 文的框架 2 2“ 对称与群 ”及其在国内外 中 学 数学课程中的 设置概述 4 于对称与群的概念 4 对称与群 ” 在 国内外 中 学 数学课程中的 设置概述 6 3“对称与群” 的教学意义 10 4“ 对称与群” 的 教学分析 14 习者的分析 14 程与教学目标 分析 16 容安排与教学计划 18 知层次分析 19 在的问题与困难 25 5“对称与群” 的教学策略 26 新课程相适应的 数学 教学策略 27 称与群” 的教学策略 30 6“对称与群” 的 教学设计案例 33 学设计一：平面刚体运动 33 学设计二 :平面图形的对称群 35 学设计三 :群在晶体结构分类中的应用 37 7 教学建议及需进一步研究的问题 40 选修专题 “ 对称与群 ” 教学的一些建议 40 要进一步研究的问题 41 束语 41 参考文献 42 附录 44 致谢 45 攻读学位期间发表的学术论文 46 1 绪论 题的提出 及研究的意义 题的背景 2003年 4月，教育部颁布了普通高中数学课程标准 (实验 ) (以下简称新标 准 )，新标准 明确界定了高中数学课程的教学内容，为新一轮高中数学课程的改革指明了方向，也为日后高中数学教学的有序进行奠定了基础。 新标准依据“构建共同基础，提供发展平台 ;提供多样课程，适应个性选择”等十条基本理念 【 1】 ，将高中数学课程分为必修课与选修课两类，必修课程由 5个模块组成，选修课程有 4个系列，其中系列 1、系列 2由若干模块组成，系列 3、系列 4由若干专题组成，每个模块 2 学分 (36学时 )，每个专题 1学分 (18学时 )【 1】 ，并对每个模块、每个专题的所包含的基本内容作了界定，同时对学生选课也提出了相应的建议。这种模块 化的结构充分体现了现代课程设置的科学性、开放性、选择性、积木化、重视人文精神、基础与应用并重、多元化评价等理念。值得关注与研究的是 :选修课程的各个系列包含了适应社会发展与科技进步要求、与实际生活、现代科学密切相关的若干内容 ， 如风险与决策、对称与群、矩阵与几何变换等，而作为现代数学的基础理论“对称与群” 的 明确入选，在我国高中的数学课程中还是首次。 由于每一位高中数学教师的知识结构、教学经历、擅长模块等不尽相同，每位教师对新内容对称、群及其关系的理解、认识将会有所不同，在进行“对称与群”这一选修专题教学时，必然 会 在确立教学意义、教学目标、教学内容、选择教学方法与评价方法等 上的 有所不同。加上作为选修内容本身又在深度、难度的把握上有较大的弹性，高中阶段又是首次明确引入这些内容，可供参考的现成的做 法与资料尚不多，因而在高中数学教学实践中如何正确、有效地处理“对称与群”这部分内容己经成为一个不能回避的问题。因此，对新标准下高中数学课程中引入对称与群的意义及其作用，对称与群在高中教学实践中的取舍，教学目标层次的把握，内容逻辑顺序的安排，教学方法的选择， 教学策略的探索， 教学效果的评价等方面进行全面细致的分析与研究就显得十 分必要 。 在新课程改革 在浙江全面铺开的今天， 教师作为课程改革的中坚力量，需要对课程改革中原有内容要求和处理方式的变化、新增内容的合理性和可行性作相应的思考与研究。 笔者 对数学新课 程 选修 3称与群”这一新增设的专题较有兴趣，结合新课程的理念对“什么是对称与群”“对称 与群进入中学教学的意义是什么”“如何有效的进行此专题的教学”等 问题作 了 初步的研究， 为各实验区选修课的选择提供参考。 究 的目的 和意义 对称是广泛存在于自然界和人类社会 、 科学和艺术领域的一种十分普遍的现象 ,群又是现代数学最为重要的概念之 一 ,群论高度的抽象性和中学生的 思维水平却又形成强大的反差 ,而利用几何图形的直观和形象 ,无疑为弥合这两者的反差搭建了一座理想的桥梁 。高中数学新课程 这一专题的设置 ,既能帮助学生深入理解对称的概念 ,又能引导学生借助几 何直观 ,认识群论的初步思想 。 本专题内 1 1 作者：姓名，景芳。性别，女。出生与 1978 年 2 月，杭师大附属中学一级教师。导师，张金良。 1 容。不但可以使学生的数学知识领域得到拓展，而且顺应现代科学与文化发展的需要 【 1】 本研究旨在明确新标准设置对称与群为选修专题之一的国内外背景，研究这一选修专题的教育价值，探求对称与群对促进学生全面发展的作用，为高中数学选修课程的教学实践作一些 关于教学内容、安 排、策略上的 探索，为这一选修专题“教什么、如何教”等实际问题提供参考。 本研究对高中数学教师准确理解新标准的课程理念、正确把握其精神实质有一定的理论指导意义 ,对“对称与群”这一选修专题的选学、选教有一定的参考价值。本研究所开发的教学资源可作为高中数学课程“对称与群”这一选修专题的教学实践的参考 。 究 的思路和 方法 究的思路 本研究 首先对国内高中数学课程中对称与群的设置情况进行综述，接着与当前主要发达国家的高中数学课程 中对称与群的开设情况 进行比较，为国内开设对称与群专题提供依据。然后结 合新课程要求，结合至今对对称、群的研究 成果 ，探讨对称与群对高中学生具有的教育价值 、 作为高中选修课程的教学目标 、 教学的层次 、 教学策略 、 教学设计 等问题 。 究的方法 （ 1） 文献研究法 对称与群 是新课程引入的新内容 ,课程标准对其内容与要求都有一定的说明 ,本 研究 在分析课程标准的基础上 ,结合课程改革的总体要求及相关 国内外数学课程中对称与群的设置情况 ,对其做了一些最新研究与思考 。 文献研究为本 选修专题 提供了大量有用的理论参考和实践标准 。 (2)问卷调查法 由于对称与群是首次列入高中数学课程 ,了解中学教师对对称与 群的认知情况及他们对高中开设此专题的认知与困惑 ,是 笔者 进行对称与群 教学 研究的一个出发点和 依据 ,因此对 部分高中数学教师 (以我校数学教师为主 )进行关于高中数学教师对开设 “ 对称与群 ” 选修专题认知的问卷调查 。 (3) 案例研究法 本研究 主要考察了两类 案例 ,其中 的第一类 教学案例： 平面图形的对称群 ，主要是依据 五个几何发展水平对对称 与群 的认知层次作相应的区分；第二类 案例 笔者 结合 课程改革的总体要求及 新课程 标 准 的理念 和对称与群的教学策略 ,结合人教版的对称与群的教材 ,进行的 三个 教学设计 。 侧重于 体现对选修 专题 对称与群 教学中的 有效的教学策略的应用 。 2 文的框架 3 “对称与群”教学设计“对称与群 ”教学 设计 计 “对称与群”教学策略“对称与群 ”教学 设计 计 “对称与群”的认知层次 “对称与群”教学的 目标 “对称与群”教学的内容及安排 “对称与群”学习者 “对称与群”教学分析 “对称与群”课程设置的背景 “对称与群”教学意义 2 “ 对称与群 ” 及 其 在 国内外中 学 数学课程中的现状 于对称与群的概念 称的定义 对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它的根本。 称是自然界中普遍存在的构造形态。对于对称的深刻理解和应用是从爱因斯坦开始的。由于对称现象在自然界中的普遍性 ,它必定与自然界的基本规律相联系 。 1999年 ,杨振宁教授曾指出“近四、五十年 ,对称已成为科学的重要方法 ,它占据着中心的位置 ”。它的重要性源于普遍性。所谓对称是指某一自然规律对于物理空间的某一变换所具有的协变性 (或不变性 )【 24】 。 （ 1）狭义的对称 狭义的对称通常指图形或物体对某点、直线或平面而言，其 大小、形状和排列上具有一一对应关系。 对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，而且它成为各种学科，如数学、物理、化学、生物、医学、建筑、美学、绘画等的基本理论和表现形式之一。对称在艺术、自然界、科学上的例子是屡见不鲜。 中学时代我们已学习的如图形的对称：轴对称，中心对称，对称 变换 ，轮换对称式等等它们不过是对称的沧海一粟。 （ 2）广义的对称 1988 年，在北京大学，据说有一本书风靡学生中间 可怕的对称 的扉页，这样写着：“我想知道上帝的思想，其他均属细节” 阿尔伯特爱因斯坦。书的正文第一页，用大字写下了下面 4行： “老虎！老虎！燃烧的火焰， 游荡在那黑夜的林莽。 什么样超凡的手和眼， 才能铸造你可怕的匀称。 ” 威廉布莱克 1905年 爱因斯坦提出了狭义相对论，使我们对时间和空间的认识发生了 一场革命。爱因斯坦第一次发现了自然界一直在忍痛隐藏的对称性。要从自然界中辩认出相对论性的对称性需要相当高的鉴赏力。爱因斯坦使对称性得以成为现代物理的明星。 广义对称的思想，从初一到高三，时时处处，耳濡目染。这种情形，恰如杜甫的春夜喜雨“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声。”对称就是和谐，是美。是一切事物都在它该在的地方，有了这种思想，才有了元素周期表，才能预见，判断很多问题的结果。 物理学的明星，数学的美丽都通向爱因斯坦它 伟大的对称。 对称是驾驭一切的，因为它是哲理，至高至精 。 数学非常的美。数学的美，是它的高度严谨和合理而达到的和谐，那样一种令人神怡的内在和谐。 这种合理与和谐，是作为数学科学的广义对称。 4 同时我们发现具有某种对称性的图形 ,就是经过某些刚体运动后仍能回到自身的图形 ,例如 ,圆经过绕圆心的任意旋转以及以任何过圆心的直线为镜面的反射都回到自身 ,正方形绕其中心旋转 P/2,P,3P/2,2P 或以其对角线和对边中点连线的反射才能回到自身 ,而梯形就更差了 ,它只有绕其中心旋转 2能回到自身 对称是与变换联系在一起的 。 称操作、变换 所谓对称操作是指客 体或几何图形在一定的定义下运动，在运动终了时，客体或几何图形复原 ，这种运动称为对称操 作 。操作前后空间任意两点之间的距离保持不变，具有这种性质的物体就是对称物体，这样的变换就是对称变换 【 25】 。 根据这些不动的部分的空间性质。我们将其定义为旋转轴，反映面或对称中心。另外，对于旋转轴还对应有旋转角，对应于滑移量不为零的旋转轴称为螺旋轴，对应于滑移量不为零的反映面称为滑移反映面 【 26】 。 由于空间变换要求保持任意两点间距离不变，故这种变换必须是线性 的 。 任意对称操作都可以分解成点操作 (旋转和非纯旋 转 )和平移操作两部分 。 对称性理论实质上是对称群理论 。 因为无论是代数中的某些对称（如代数多项式中变动一些文字的排列），还是几何中的对称，我们从中发现某些共同的属性，统一于数学的“群”理论。 的定义 群论是关于物质系统或符号系统相对于某种变换的不变性（对称性）的数学理论。群论始创于 1831 年法国青年数学家伽罗瓦，它从描写代数方程根的对称性开始，伽罗瓦的思想是将一个 n 次方程 02211 的 , 21作为一个整体来考察 ，并研究他们之间的排列或称“置换”。把这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换，伽罗瓦称之为“群”，这是历史上最早群的定义，不过它只是针对一个具体的群置换群 (对称群 )所作的定义，还不是抽象群的一般定义 【 15】 。 19 世纪中叶数学家们认识到群是一个可以更加普遍的概念，而不仅限于置换群。凯来莱（ 1849元数在加法下都构成群。人们发现高斯在数论中研究过的具有同一判别式的二次型取 固 定 值 ）取 整 数 值 ，为整数， x 222 ,(2 对于型的合成运算也构成群。 1868若尔当（ 物理学家布拉维斯（ 于运动群的理论的启发下展开了无限群的系统研究，。同时若尔当（ 工作又影响克莱因（ 于几何中的变换群的研究，他曾精辟的阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对某些变换群保持不变的性质的学问，很多表面上互不相干的几何学由于变换群联系到一起。例如：欧几里得几何研究 的是长度、角度、面积等这些在平面中的平移和旋转下保持不变的性质， 平面中的平移和旋转（也称刚体运动） 构成一个变换群。1874威数学家李（ 研究了无限连续变换群（李群） 【 15】 。到 19世纪 80年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有足够的积累形成抽象群的概念。 抽象的说，群是一些不同元素 组成 的集合 G。这些元素按着赋予的组合规则（通常称之群的乘法，它们可以是加法、乘法、操作变换和矩阵乘法等），满足5 下列四个条件： 封闭性： G 中的任意两个元素 , ， 在定义的群乘法运算下，合成的新元素仍是 G 的元素，即 结合律： G 中任意三个元素 , ， 都有 )()( 存在单位元 ,对任意的 ， 有 对 G 的每个元素都有逆元，即对任意的 ，存在 1 ， 满足 11 则 个群。群元素的个数叫群的阶。阶为有限数的称之为有限群；反之叫无限群。无限群又分为离散群和连续群。若元素是可数无限的，称之离散群；而群元素是不可数无限的，则称之连续群。若群中的任意两个元素 b,a 满足可交换性 （ ) ， 则称此群为阿贝尔（ 【 8】 。 最为吸引大家感兴趣的是物理系统绕定轴或定点转动，反射，平移或全同粒子间置换等操作后，使物理系统保持不变的操作集合所构成的群，即变换群，它的每个元素都是一种对称变换。 由于对称性是普遍存在的，空间的对称性、晶体的对称性使群论深入到物理学与化学。艺术家和科学家们发现，可以用置换和置换群来很好的刻画他们在艺术创作和科学研究中遇到的种种对称现象，艺术家用对称与 群 来帮助他们设计与构造美好的图案，物理学家用对称与 群 来确定晶体的种类，化学家用对称与 群 去研究分子内部的结构。 称与群在 国内外 中学 数学 课程中的 设置概述 国中 学 数学课程中对称与群的设置概述 (1)现代（清末至民国期间）数学教育中对称与群的设置概述 1862年 ， 京师同文馆作为我国的第一所新式学堂创立，西方古 典数学作为自然科学的基础学科被系统引进。 1872，清政府年拟定的“八年课程计划”中己包括数理启蒙、代数学、几何原理、平面三角、弧一角、微积分等西方古典数学的课程 ;1903年，“癸卯学制” (5， 4， 5制 )的颁布标志着中国的学校教育系统趋于成熟，这一学制下中学的数学课程有代数、几何、三角、微积分、解析几何、方程等，教科书多为翻译、编译或外文原著，如英国 查理斯密小代数学等，这些数学书的明显特征是排版改为从左至右，完全采用了西方教学符号和印度阿拉伯数字。 1912 年，新成立的南京政府照搬 日本教育制度，颁布了壬子癸丑学制 (4， 3， 4)， 这一学制强调了作为智商内容的算学的重要性 。 1922年“壬戌学制” (6， 3， 3)学制中数学课程的最大特点是把算术、代数、几何、三角采用混合统编的方法列为一个科目。从 1927年至 1949年，国统区教育基本采用壬戌学制，期间先后共有 4 次课程改革运动。 1923的初中混合算学教科书第 5册中设置“心对称、轴对称、心对称形、轴对称形、对称的实例、两形互相对称”。高中算学课程纲要和新式算学教科书中，设6 置了“平移与转移，平面图形的移动”“坐标变换” 【 13】 。 1929对称、心对称”增设“空间对称图”平移变为“轴之移位，轴之回转” 【 13】 。 1933何学的要求相对降低了些，如与上一课程比“空间对称图”取消。 1936中课程中增设“曲线之对称”“坐标之变换” 【 13】 。 但综观 1949 年以前历次学制、课程、教材等方面的变革，均未直接涉及群的概念，只是不确定的出现 对称 群的原始形式“坐标变换”及对称等概念，但对内容的广度、难度的把握始终摇摆不定 。 (2)新中国成立以后对称与群的设置概述 新 中国成立后，数学教育经历着不断的改革和发展。 1952 年起苏联中学课本的编译本或改编本供全国使用。也就是在这套改编的教材中，首次出现了变换这一概念 ， 但平面解析几何被取消。 1958 年，由于“大跃进”和国际数学教育现代化运动的影响，北京师范大学提出了对于中小学数学教材内容现代化的建议，并据此编写成了九年一贯制学校数学教材。这套教材虽然有要求过高 ,但注重运动与变换的观念，高中部分重新增加了解析几何的内容，设置了“坐标变换” 。 1963 年，根据教育部新出台的全日制中学数学教学大纲 (草案 )要求 ，人教社新编了一套“十二年制中学数学课本”， 与第一、第二套统编教材相比，新教材适当加深、拓宽了数学 学 科的内容，高中增加了解析几何、概率初步知识、行列式等，这等于间接地涉及到了变换的概念与内容。 1978年，教育部颁布了全日制十年制学校中学数学教学大纲 (试行草案 )。在高中数学课程内容的选择上呈现了新的特点 :精简了传统的基础知识 ;增加了微积分、概率统计、逻辑代数的初步知识 ;引入集合、对应 (变换 )的数学思想，1986年到 1992年的数学大纲内容比较发现：“轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形”由 原来的理解降低为了解，对“轴对称、中心对称性质”仍只需了解 【 13】 。解析几何中有平移变换、旋转变换等概念。 1996 年，国家教委发布的全日制普通高级中学数学教学大纲及后来于2000 年 2 月发布的大纲的试验修改版中，先后增加了简易逻辑、平面向量、空间向量、概率统计、微积分初步等现代数学基础知识，渗透了更多的变换的思想与方法，但群的概念从未在高中数学教材中出现 (除了解析几何中有平移变换、旋转变换、对称等概念外 )。 综观我国自清末开始的初高中数学课程及教材内容，虽然对称、变换、对应的思想逐渐渗透进了初高 中数学课程，但并未受到系统的归纳和重视，内容上没有拓展，难度上把握不定。 2003年颁布的新课程标准对对称与群的要求将在下章具体加以说明 。 他 主要 发达 国家的数学课程中对称与群的设置概述 各国数学课程对对称与群的处理不尽相同。 法国是对称与群课程设置较为明确的一个国家，法国的课程可分为两个发展阶段： 1959年起法国发起“现代数学教育改革”运动，此运动持续了十一二年。当时布尔巴基（ 派领头之一的迪约东尼（ 在 1959年法国举行的一次欧洲经济共同体的学术会议上说“ 近五十年来，由于数学研究工作的需要，数学家们不仅创造了新的概念，也创造了新的语言，这些语言能够准确而简洁地叙述数学的命题 。然而，直到今天，中学却一如既往，墨守成规，依然使用着一套过时迂腐的语言，以致进入大学的学生可能从未听说过诸如集合、映射、群等这样一些极为普通的数学名词 所以我们必须进行一场深刻的7 改革。” 【 16】 在 “现代数学教育改革”运动期间，法国明确设置群的课程，但作为必修课显的难度过高。 1981 年法国的教育再次调整，对现代数学的部分内容调整为逐步实施的原则，如对称与群这部分内容，法国从小学中 级阶段就提出“平移、旋转、对称”逐步到初一要求用“轴对称 ” 这一新工具重新组织知识，并要求用关于一条直线正交对称对图作变换，作出简单图形的像，验证对称变换保持距离、共线关系、角度、面积 不变性， 运用上述不变性做轴对称的四边形（让学生对大量的简单图形做实验：折纸或用透明纸，使图形在轴变换下得以保持不变的性质逐渐显示出来） 【 16】 。初二强调“中心对称”到初三“平移与旋转对图象做变换”。初四研究这些变换的不变性。高中逐步研究逆变换，变换之积（合成），高三理科还拓展到空间变换（如四面体、正方体、八面体 ）对称变换保持 不变性的研究 。可见，法国教育始终坚持“现代化”的要求，同时逐步“民主化”。 德国在教育上实行地方分权的联邦主义，各州在文化教育领域内享有充分的自主权，整个学校教育包括私立学校均处于州的监督之下。在德国的大多数州，中学有三种类型 :主体学校、实科中学、完全中学。其中完全中学就是传统的文科中学，因强调严格的学术教育而质量最高。德国在小学三、四年级设置“对称的初步体验”七年级设置“轴对称、反射对称、点对称、旋转、平移” 【 16】 仅作为直观几何进行教学，在高中的十一年级以数学史的形式介绍了伽罗瓦。有此可见。德 国的数学教育中把对称与群作为各个专业的公共必修课而开设，但份量相对较少，设计也不是很系统。 美国基础教育的现行学制主要是 6+3+3 制，即小学、初中、高中各 6 年、 3年、 3年 ,也有 8十 4制，免费义务教育为 13年，即我国的幼儿园大班至高中毕业，其课程标准的制定以年级段划分更为多见。美国高中数学课程的讨论应以 9 一 12 年级来理解。由于教育在美国一直首先是州和地方的职责，因此美国历来没在共同的国家课程标准。较为成熟的数学课程标准是由全国数学教师协会 (f f 1989年编制出版的学校数学课程与评价标准，这一标准分为 K 一 4 年级、 5级、 9级三个阶段，分别对学生应掌握的数学知识提出了 13制定了评价数学课程的标准共 14 条， 现在美国大部分州都以此标准设置课程。此标准明确要求： 5对图形的平移、旋转、反射等变换进行探讨，掌握全等与相似的概念”， 9级的学生“懂得平移，用几何变换去识别图形的全等”同时此标准指出 ： “在数学中，数学结构就象现代建筑中的 枢纽 ，把数学各个不同的部分联结在一 起。 9级中应重视数学结构的教学，如：懂得代数运算的结构；会辨别一些表面相异而实质相同的数学体系。要升学的学生还应该能够在某些数学结构中，如群或域中，证明一些简单的定理。 【 16】 由此可见，对称与群在美国高中数学课程中是重要的必修内容，一般设置在代数与几何导论、结构数学等课程中。 英国的学制与我国的学制有很大不同，英国没有明显的初中与高中之分。目前英国实施的是 5义务教育，其中 11这 5 年属于中等教育阶段，相当于我国目前的初中教育阶段， 就课程而言，这 5年中前 3年基本上是必修课，后 2 年既有必修课又有选修课。 16 岁以后至进入大学之前这一阶段，相当于我国的后期中等教育阶段即高中。在高中阶段，学生有多种选择 :继续读第六级学院 (称大学预科班 ;或读第三级学院 (通常称为继续教育学院 )、或读职业技术学院 ,分别接受 分同学可选学“进一步的数学”。英国在中等教育阶段中明确强调“模式与关系的代数思想应该在8 整个数学领域得到发展”，并逐步设置“认识 2 维和 3 维图形的轴对称和 2 维图形的旋转对称 ， “观察平移、反射、旋转变换的性质，以及它们在 2 维空间的复合 并用性质与创造分析图案。” 【 16】 在高中阶段，英国课程设置“数学结构，元素、运算、关系、单位元与逆元、封闭性、同构（用非形式化的方法）群作为一个特殊的代数系统，群的例子，包括对称群和在摸的加法或乘法下的数的群（理解群结构是许多其他结构的基础，包括数系；了解三个字母的循环群，克莱因群和对称群）；子群，由群的一个元素生成循环子群，元素的阶与群的阶，群的同构。 【 16】 ”这部分内容是 A 水平的必修内容和 平进一步学习的内容。如 7节就是群。可见英国对称与群的设置比较成熟。 日本的 教育实行单轨六、三、三、四制，即小学 6年，中学 3年，高等学校（高中） 3年，大学 4年。在中学一年级就设置了“平行移动、对称移动及旋转移动。 【 16】 ”日本高中数学科目有 7个组成部分。学习的安排顺序是“数学基础”、“数学 I” ,“数学 A”“数学 ,“数学 ,“数学 B”“数学”，其中数学“数学基础、数学 I、数学 A,数学 学 必修，“数学 B,数学 C”为选修。数学 A 中明确设置：平面上的全等变换。 1992 年衫山吉茂教授著作了建立在公理方法上的中小学数学学习指导，其中第四章：公理方法与数学结构 统阐述：数学的结构及价值；群指导的试探等。可见日本对称 与群的教学还处在探索的阶段。 综上所述，美英法德日等国家的数学课程中均有对称的内容，大多国家在高中设置了群的内容，这反映出对称与群概念在现代中学数学知识结构中的不可缺性，同时也体现了数学教育的现代化。这些事实及他们的探索过程也为我国新标准下高中数学课程中设置“对称与群”为选修专题提供了横向参考依据 。 9 3“ 对称与群 ”的教学意义 第一 “对称与群 ”的学习有利于强调数学的本质 波利亚认为 ,数学教 育的意义并不是要教会学生去使用数学知识 ,而要培养学生的思维习惯 ,一种数学文化修养 .【 28】 群是数学及其应用的重要组成部分 ,群具有数学高度的抽象性、概括性和准确性 。 对称是自然界一种常见的现象，也是数学研究的一个重要内容， 但仅依赖于几何图形的直观而获得的对称是局限的、感性的，如等边三角形与圆都是中心对称图形，但两者是有明显的不同。对称变换的学习克服了这一局限，它不但可以解释直观中的几何对称现象，而且可以用数学的量区别不同的几何对称性。 变换在一定的代数运算下形成了一个的代数系统群。 通过对称与群的学习可以帮助学生通 过几何直观及生活观察 ,了解和掌握对称 、 对称变换的基本概念 ,了解对称变换的合成以及对称变换的合成运算所满足的数学法则 ,了解群的基本概念以及群作为数学运算系统对于刻画对称变换的作用 。 对称与群的学习有利于培养学生从感性到理性，从现象到本质的思维习惯，有利于对对称的本质的认识 。 第二 “对称与群 ”的学习有利于 强调数学的广泛的应用性及工具性 正如人们评价的 “ 群的概念是近世纪科学思想出色的新工具之一 ”。 无论在什么地方 ,只要能应用群论 ,就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出见简洁与和谐 。 群不仅用来研究几何体中的对称性 ,而 且用来研究多项式的对称性与根式求解法 。同时 群帮助结晶体找到了所有可能的对称， 晶体外形的全部对称形式，称为对称点群，共 32 种，晶体内部构造一切可能的对称形式，称为空间群， 230 种。并证明了结晶体只可能有 230种空间对称群，完成了结晶体的对称分类。 对称与变换帮助艺 术家们设计与构造美好的图案，对称与变换群用来研究分子内部的结构， 同时群在信息安全、计算机网络理论、生命科学 、 数字通信 等新的科学领域中都 有 很多的应用 。 【 3】 正确的抽象蕴涵着广泛的应用性正是对“群”的刻画。 第三 “ 对称与群 ” 的学习有利于培养学生的理性精神 正 如席雷克蒂（ 说：“在这个时代 人们所需要的不是更多的事实 ， 人们需要理念、概念和精炼的感受力去感知那些存在于事实之外 ,每天包围着他们 ,影响着他们的本能和理解的东西 。 ” 数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，长久来是启迪人们思维、研究问题的方法，数学中不少概念与运算都是人们 在 对于“对称”问题的探讨 中 派生出来的。对于图形所固有的对称性质，我们用运动的、变换来研究，发现这些对称都具备图形运动到自身的本质，对称变换知识的学习成为必要 。几何中的变换群的研究使几何学统一化，很多表面上互 不相干的几何学由于变换群联系到一起。这使学生 能 从几何的感性感知转化到利用变换群 进行 理性研究， 这激发 了 学生的理性提炼与思考。 第四 “ 对称与群 ” 的学习有利于培养学生的探索精神 ,开阔学生的数学视野 21 世纪的成功人士应该是那些懂得去发现有意义的问题而不是一味寻求精确答案的人 。 变换思想已经成为现代人应具备的一种数学素养 ,这种人明白 ,探究的目的不是为了寻找确定的东西 ,而是要引起人们对不断增长的不确定性的注意 。在数学的发展中，由于对称性因素和对称美的考虑而引出的新概念与新理论是不胜枚举，如代数与微积分中的种 种逆运算的建立，均可视为对称美的追求与实际需要相结合的产物，如 :加法一减法 、 乘法一除法 、 微分一积分 、 正数一负数 、 有理数一无理数 、 整数一分数 、 实数一虚数 、 乘方 开方 、 指数一对数。 现代数学把数学研究的对象从 ”空间形式与数量关系 ”扩充到 ”模式与秩序 ”,“ 对称10 与群 ” 是中学阶段能够接受的比较简单、比较贴近生活实际以 ”模式与秩序 ”为研究对象的内容， 对称与群 这种用运动的观点对几何分类的现代数学思想、观点和方法，它不仅能有效地开拓学生数学知识的深广度，而且能极大地丰富有关中学数学教学的理论、手段和方法。这衔接着初等数学与高 等数学的选修专题 为学生提供了选择和发展的空间 ,这是一种普遍的、宽广的教育 ,这种教育促使个体去思考 ,为将来很多可能的工作做准备 ,促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考 。适应现代科学与文化发展的需要。 第五 “对称与群 ”的学习有利于提高学生的数学文化修养 千百年来，人类创造了灿烂的文化，教育作为文化系统的一个有机组成部分，对文化的传承、发扬、选择、创新具有不可替代的作用。数学是文化的一个重要组成部分与一个非常 重要的 载体，数学的文化教育价值不言而喻。新课程设置的选修系列 3中的第 4个 专 题 体现了较重要的文化价值。 首先 ， 培养学生的审 美 感 对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它的根本。 然数学没有明显地提 到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。 可见对称便成了数学美中的一个重要组成部分。 在数学中 ,对称的概念略有拓广 (常把某些具有关联或对立的概念视为对称 ),这样 ,对称美便成了数学美 中的一个重要组成部分 ,它普遍表现在初等数学与高等数学的各个分支。在几何图形中 ,有轴对称、中心对称和镜像对称。毕达哥拉斯曾说过“一切立体图形中最美的是球体 ,一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两种图形在各个方向上都是对称的。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域成功的运用。在这种坐标几何学中 ,代数方程与几何图形之间建立了一种对称 ,使代数与几何化为一体 ,达到完美的统一。在代数上形如 21 ，21 , 321 ， 323121 等均称为对称多项式 ,，对称多项式有许多有趣的性质 ,常常可利用这一点巧妙地解答某些数学问题 。 选修专题“对称与群”用直观生动的对 称图形，尤其是几何对称图形，让学生体会其中的美和特殊关系。从对称 的美中体会数学。 其次 ，使学生认识 对称性是宇宙的规律之一， 有助于 逐渐认识世界 对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，而且它成为各种学科，如数学、物理、化学、生物、医学、建筑、美学、绘画等的基本理论和表现形式之一。宇宙由于对称显得密不可分，互相关联。 由于对称性使人类对很多学科有了科学的认识。 不妨看一个例子；小时候玩万花筒，那是一个圆筒内装三片面朝里的长条形 镜子，其 截面成正三角形 ， 圆筒的前端装有两片玻璃，其中置有形状不规则的彩10色碎玻璃片，另一端开有一个观察孔。将万花筒置于眼前，旋转它就可以看到千变万化、五彩缤纷的美丽图案。万花筒的美从何而来 ?光是一堆杂乱无序的碎玻璃片并不美，奥妙在于三片反光镜构成了三重旋转对称，使得杂乱无序的彩色碎玻璃片经过镜面的反射形成对称的美丽图案。可见对称在于：在杂乱中形成规11 律，在无序中引入秩序。此外，对于动物尤其是脊椎 动物，也都是以左右对称为美；中国、希腊、罗马的古建筑绝大多数是左右对称的；圆形的杯、碗，碟、花瓶 等工艺品的造型大都是旋转对称的。用显微镜细看雪花，会发现虽然没有两片雪花是相同的，但均为六重旋转对称，即绕中心旋转 60 度 (圆周的 1/6)其图形不变。依此类推，五瓣的梅花是五重旋转对称，十字花科的四瓣 花朵均为四重旋转