高中数学第三章三角恒等变换例题与探究 (2).docx

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式典题精讲例1计算：sin33cos27+sin57cos63.思路分析：题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin57化为cos33,cos63化为sin27，再逆用两角和差的正、余弦公式，则迎刃而解.解：原式=sin33cos27+cos33sin27=sin(33+27)=sin60=.或：原式=cos57cos27+sin57sin27=cos(57-27)=cos30=.绿色通道：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法.变式训练(2006陕西高考卷，文13)cos43cos77+sin43cos167的值为_.思路解析：cos43cos77+sin43cos167=cos43cos77-sin43sin77=cos120=-.答案：-例2已知、(-、)，tan、tan是一元二次方程x2+3x+4=0的两根，求+.思路分析：由根与系数关系，可得tan+tan,tantan，因此可先求tan(+)，根据其正切值就可以求得其角度.解：由题意，知tan+tan=-，tantan=4,tan(+)=.又、(-,)，且由知(-,0),(-,0).+(-,0).+=-.黑色陷阱：本题易由、(-,)得出+(-,)，从而得出+=-或，而忽视了隐含条件tan0,tan0对、范围的限制.变式训练(2006湖北高考卷，理3)若ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA等于( )A. B.- C. D.-思路解析：由sin2A=2sinAcosA0，可知A是锐角，所以sinA+cosA0，又(sinA+cosA)2=1+sin2A=.答案：A例3已知tan=,tan=，0，则+2等于( )A. B. C.或 D.思路解析：先求+2的某一三角函数值，显然选择正切较简单.tan2=，tan(+2)=1.tan=1,0.tan2=1,02.0+2.+2=.答案：B黑色陷阱：若本题只考虑0，则+2(0,)，误解为或，原因是忽视了tan、tan的值对、取值范围的进一步限制.变式训练(2006福建高考卷，文4)已知(,)，sin=,则tan(+)等于( )A. B.7 C.- D.-7思路解析：由(,),sin=,则tan=，tan(+)=.答案：A例4(2006浙江高考卷，理6)函数y=sin2x+sin2x,xR的值域是( )A.-, B.-,C.+,+ D.-,-思路解析：首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(x+)+B的形式再解.y=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+ ，故选C.答案：C绿色通道：三角函数的最值一般有两种思路：一是化为Asin(x+)+B的形式；二是化为a(sinx-b)2+c的形式利用二次函数的图象求解.变式训练当x-,时，求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期，最大值及此时的x值.思路分析：首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(x+)+B的形式再解.解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+)+2，周期T=.当x-,时，2x+,.sin(2x+)-1,1,f(x)2-,2+.f(x)max=2+.由2x+=2k+得x=k+.又x-,x=，即当x=时，f(x)的最大值为2+.问题探究问题如图3-1-1,在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于P0，以Ox为始边分别作出角、-，其终边分别和单位圆交于P1、P2、P3,由，你能否导出两角差的余弦公式？图3-1-1导思：利用向量将三角公式与几何图形联系起来，向量的“曼妙”让令人生厌的三角公式摇身一变为婀娜多姿的几何图形，起到了化腐朽为神奇的效果! 探究：能，由已知条件可知点P0、P1、P2、P3的坐标分别是P0(1,0),P1(cos,sin),P2(cos,sin),P3(cos(-),sin(-),=,=.由导出公式：cos（-）-12+sin2(-