北京三十一中2015-2016学年八年级上期中数学试卷含答案解析

2015）期中数学试卷 一、精心选一选（共 10个小题，每小题 3分，共 30分） 1下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是 ( ) A（ x+2y）（ x 2y） =4 1=x y） 1 C 4 a 2b） 2 D ax+ay+a=a（ x+y） 2如图，已知 下列甲、乙、丙三个三角形中和 ) A甲 B乙 C丙 D乙与丙 3若函数 y= 的函数值 为 0，则自变量 ) A 2 B 1 C 1 D 1 4如图，在 有条件 E，还需要添加两个条件才能使 能添加的一组条件是 ( ) A B= E， F B A= D， F C A= D， B= E D F，F 5 ， ，下列结论错误的是 ( ) A F B F C D D 下列各式中 ，正确的是 ( ) A = B = C = D = 7如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的 、 N，使 N，再分别过点 M、 A、 点为 P，画射线 证得 上依画法证明 ) A 如果把分式 中的 x和 0倍，那么分式的值 ( ) A扩大 10倍 B缩小 10倍 C是原来的 D不变 9下列说法错误的说法有几个 ( ) 全等三角的对应边相等； 全等三角形的对应角相等； 全等三角形的面积相等； 全等三角形的周长相等； 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等； 全等三角形的对应边上的中线相等 A 1个 B 2个 C 3个 D 5个 10如图，锐角 D， B， 且 CD ，若 x，则 )（用含 A x B 180 2x C 180 x D 2x 二 空 2分，共 20分） 11因式分解： _ 12当 子 有意义 13一种细菌的半径为 科学记数法表示为 _m 14把分式 约分得 _ 15（ ） 2（ 1） 0=_ 16如图，已知 D，要说明 以 “依据，还要添加的条件 为 _；若添加条件 C，则可以用 _公理（或定理）判定全等 17如图，在 0， ，如果 B=5么 周长为 _ 18在平面直角坐标系中，已知点 A（ 1， 2）， B（ 5， 5）， C（ 5， 2），存在点 E，使 出所有满足条件的 _ 三、解答题（共 1小题，满分 16分） 19（ 16分）因式分解： （ 1） 4y （ 2） 16 （ 3）（ x 1）（ x 3） 8 （ 4） 2a+1 四 3个小题，每小题 4分，共 12分） 20计算： 21 22先化简，再求值： ，其中 m=9 五 题 2分） 23（ 1）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线如左图：一把直尺压住射线 一把直尺压住射线 ，小明说： “射线 是 ”小明 作图的依据是 _ （ 2）尺规作图作 意长为半径画弧 D，再分别以点 C、 大于 弧交于点 P，则作射线 作法得 _ 六解答题（共 20分，每题 5分） 24列方程解应用题： 学校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的 型计算机已知一台型计算机的售价便宜 400元，如果购买 买 机需要 24万元那么一台 型计算机的售价分别是多少元？ 25已知：如图，点 A， E， F， B， B= D， 求证： F 26如图：在 C、 D=G=接 （ 1）求证： G； （ 2） 说明理由 27如图：在四边形 C， ，求证： （ 1） C=180 （ 2） （ C） 28阅读材料 1： 对于两个正实数 a， b，由于（ ） 20，所以（ ） 2 2 +（ ） 20，即 a 2 +b0，所以得到 a ，并且当 a=a+b=2 阅读材料 2： 若 x 0，则 = =x ，因为 x 0， ，所以由阅读材料 1可得，x =2，即 的最小值是 2，只有 x= 时，即 x=1时取得最小值 根据以上阅读材料，请回答以下问题： （ 1）比较大小： _2x（其中 x1）； x _ 2（其 中 x 1） （ 2）已知代数式 变形为 x ，求常数 （ 3）当 x=_ 时， 有最小值，最小值为 _（直接写出答案） 2015）期中数学试卷 一、精心选一选（共 10个小题，每小题 3分，共 30分） 1下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是 ( ) A（ x+2y）（ x 2y） =4 1=x y） 1 C 4 a 2b） 2 D ax+ay+a=a（ x+y） 【考点】 因式分解的意义 【专题】 推理填空题 【分析】 根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式，左边是一个多项式，右边是整式的积的形式，进行判断即可 【解答】 解：根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式， A、右边不是积的形式，故本选项错误； B、右边最后不是积的形式，故本选项错误； C、右边是（ a 2b）（ a 2b），故本选项正确； D、结果是 a（ x+y+1），故本选项错误 故选 C 【点评】 本题考查了对因式分解的意义的理解，关键是能根据因式分解的意义进行判断（从等式的左边 到等式的右边是否是因式分解） 2如图，已知 下列甲、乙、丙三个三角形中和 ) A甲 B乙 C丙 D乙与丙 【考点】 全等三角形的判定 【分析】 首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（ 即可求得答案 【解答】 解：如图： 在 ， 在 ， 甲、乙、丙三个三角形中和 或丙 故选 D 【点评】 此题考查了全等三角形的判定此题难度不大，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有： 意数形结合思想的应用 3若函数 y= 的函数值为 0，则自变量 ) A 2 B 1 C 1 D 1 【考点】 函数值 【分析】 直接利用分式的值为 0，则分子为 0，进而得出答案 【解答】 解： 函数 y= 的函数值为 0， 自变量 x=2 故选： A 【点评】 此题主要考查了函数值，正确把握函数值的意义是解题关键 4如图，在 有条件 E，还需要添加两个条件才能使 能添加的一组条件是 ( ) A B= E， F B A= D， F C A= D， B= E D F，F 【考点】 全等三角形的判定 【分析】 将所给的选项逐一判断、分析，即可解决问题 【解答】 解：不能添加的一组条件是 B；理由如下： 在 A= D， F， E， 即在两个三角形中满足：有两边和其中一边所对的对应角相等， 这两个三角形不一定全等， 故选 B 【点评】 该题主要考查了全等三角形的判定定理及其应用问题；牢固掌握全等三角形判定定理的本质内容是解题的关键 5 ， ，下列结论错误的是 ( ) A F B F C D D 考点】 角平分线的性质 【分析】 作出图形，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 F，然后利用 “明 t 据全等三角形对应边相等可得 F， 【解答】 解：如图， F， 在 t ， F， 只有 D 综上所述，结论错误的是 D 故选 C 【点评】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观 6下列各式中，正确的是 ( ) A = B = C = D = 【考点】 分式的基 本性质 【分析】 根据分式的基本性质作答：分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变判断即可 【解答】 解： A、 ，错误； B、 ，正确； C、 ，错误； D、 ，错误 故选 B 【点评】 本题考查了分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为 0 7如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的 、 N，使 N，再分别过点 M、 A、 点为 P，画射线 证得 上依画法证明 ) A 考点】 全等三角形的判定 【分析】 结合题意，根据直角三角形全等的判定 证 【解答】 解： N， P， 0 用的判定定理是 故选 D 【点评】 本题考查了判定直角三角形全等的 一道操作题，要会转化为数学问题来解决 8如果把分式 中的 x和 0倍，那么分式的值 ( ) A扩大 10倍 B缩小 10倍 C是原来的 D不变 【考点】 分式的基本性质 【分析】 根据分式的性质，可得答案 【解答】 解：分式 中的 x和 0倍，那么分式的值不变， 故选： D 【点评】 本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变 9下列说法错误的说法有几个 ( ) 全等三角的对应边相等； 全等三角形的对应角相等； 全等三角形的面积相等； 全等三角形的周长相等； 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全 等； 全等三角形的对应边上的中线相等 A 1个 B 2个 C 3个 D 5个 【考点】 全等三角形的性质 【分析】 根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；全等三角形的周长相等，面积相等；平移、翻折、旋转前后的图形全等进行分析即可 【解答】 解： 全等三角的对应边相等，说法正确； 全等三角形的对应角相等，说法正确； 全等三角形的面积相等，说法正确； 全等三角形的周长相等，说法正确； 有两边和第三边上的高 对应相等的两个三角形全等，说法错误； 全等三角形的对应边上的中线相等，说法正确 故选： A 【点评】 此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握能完全重合的两个个三角形是全等三角形，因此全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，周长相等，面积相等，对应边相等，对应角相等 10如图，锐角 D， B， 且 CD ，若 x，则 )（用含 ） A x B 180 2x C 180 x D 2x 【考点】 全等三角形的性质 【专题】 计算题 【分析】 延长 C，如图，根据全等的性质得 C= C BAE=x，再利用三角形外角性质得 C C+ C C+2x，接着利用 CD B C根据三角形内角和得到 180 B x，则 C+2x=180 B x，所以 C+ B=180 3x，利用三角形外角性质和等角代换得到 C=x+ C+ B，所以 80 2x 【解答】 解：延长 C，如图， C= C BAE=x， C C+ C C+2x， CD BE， C 180 B B80 B x， C+2x=180 B x， C+ B=180 3x， B=x+ B=x+ C+ B =x+180 3x=180 2x 故选 B 【点评】 本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等也考查了平行线的性质 二 空 2分，共 20分） 11因式分解： a+b）（ a b） 【考点】 因式分解 【专题】 因式分解 【分析】 利用平方差公式直接分解即可求得答案 【解答】 解： a+b）（ a b） 故答案为：（ a+b）（ a b） 【点评】 此题考查了平方差公式的应用解题的关键是熟记公式 12当 x3时，式子 有意义 【考点】 分式有意义的条件 【分析】 根据分式有意义的条件可得 x 30，再解即可 【解答】 解：由题意得： x 30， 解得： x3， 故答案为： 3 【点评】 此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 13一种细菌的半径为 科学记数法表示为 410 4m 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 【解答】 解： 10 4， 故答案为： 410 4 【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a| 10， 的个数所决定 14把分式 约分得 【考点】 约分 【分析】 首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可 【解答】 解：原式 = = ， 故答案为： 【点评】 此题主要考查了约分， 关键是正确确定分子分母的公因式 15（ ） 2（ 1） 0=8 【考点】 负整数指数幂；零指数幂 【分析】 根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于 1，可得答案 【解答】 解：原式 =9 1=8， 故答案为： 8 【点评】 本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于 1是解题关键 16如图，已知 D，要说明 以 “依据，还要添加的条件为 C；若添加条件 C，则可以用 或定理）判定全等 【考点】 全等三角形的判定；直角三角形全等的判定 【分析】 根据已知条件知 B= D=90若以 “依据判定 合已知条件缺少对应边 C；若添加条件 C，则可以利用直角三角形全等的判定定理证明 【解答】 解： B= D=90； 又 D， 在 当 在 ， 故答案分别是： C、 【点评】 本题综合考查了全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 17如图，在 0， ，如果 B=5么 周长为 6 【考点】 角平分线的性质 【分析】 首先根 据角平分线的性质可得 E，再利用 t 而可得 而可得 后再计算出 【解答】 解： ， 0， E， 在 t ， D=3 B=4 故答案为： 6 【点评】 此题主要考查了角平分线的性质， 以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等 18在平面直角坐标系中，已知点 A（ 1， 2）， B（ 5， 5）， C（ 5， 2），存在点 E，使 出所有满足条件的 1， 5）或（ 1， 1）或（ 5， 1） 【考点】 全等三角形的性质；坐标与图形性质 【专题】 计算题 【分析】 根据题意画出符合条件的所有情况，根据点 A、 B、 【解答】 解：如图所示：有 3个点，当 、 F、 点 1， 5），（ 1， 1），（ 5， 1）， 故答案为：（ 1， 5）或（ 1， 1）或（ 5， 1） 【点评】 本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目 三、解答题（共 1小题，满分 16分） 19（ 16分）因式分解： （ 1） 4y （ 2） 16 （ 3）（ x 1）（ x 3） 8 （ 4） 2a+1 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用；因式分解 【专题】 计算题；因式分解 【分析】 （ 1）原式提取 y，再利用完全平方公式分解即可； （ 2）原式利用平方差公式分解即可； （ 3）原式整理后，利用十字相乘法分解即可； （ 4）原式结合后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可 【解答】 解：（ 1）原式 =y（ 4x+4） =y（ x 2） 2； （ 2）原式 =（ 4+ 4 =（ 4+ 2+b）（ 2 b）； （ 3）原式 =4x 5=（ x 5）（ x+1）； （ 4）原式 =（ a 1） 2 a 1+b）（ a 1 b） 【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解分组分解法 ，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 四 3个小题，每小题 4分，共 12分） 20计算： 【考点】 分式的乘除法 【分析】 根据分数乘除法的运算法则和运算顺序计算即可，在计算时注意约分 【解答】 解：原式 = ， = ， = 【点评】 本题考查了分式的乘除法运算，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分 21 【考点】 分式的乘除法 【专题】 计算题 【分析】 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果 【解答】 解：原式 = = 【点评】 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 22先化简，再求值： ，其中 m=9 【考点】 分式的化简求值 【专题】 计算题 【分析】 原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除数分母利用完全平方公式分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将 【解答】 解：原式 = = ， 当 m=9时，原式 = = 【点评】 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简 公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式 五 题 2分） 23（ 1）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线如左图：一把直尺压住射线 一把直尺压住射线 ，小明说： “射线 是 ”小明作图的依据是 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 （ 2）尺规作图作 意长为半径画弧 D，再分别以点 C、 大于 弧交于点 P，则作射线 作法得 边分别相等的两个三角形全等 【考点】 作图 基本作图；全等三角形的判定；角平分线的性质 【分析】 （ 1）过两把直尺的交点 E 据题意可得 F，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得 （ 2）根据作图可得 D， O，再加上公共边 【解答】 解：（ 1）如图所示：过两把直尺的交点 E 两把完全相同的长方形直尺， F， 的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； （ 2） 在 故答案为：三边分别相等的两个三角形全等 【点评】 此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理 六解答题（共 20分，每题 5分） 24列方程解应用题： 学校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的 型计算机已知一台型计算机的售价便宜 400元，如果购买 买 4万元那么一台 型计算机的售价分别是多少元？ 【考点】 分式方程的应用 【分析】 首先设一台 x 元，则一台 x+400）元根据题意等量关系： 型计算机的数量 =24万元购买的 据等量关系列出 方程，再解即可 【解答】 解：设一台 x 元，则一台 x+400）元根据题意列方程，得 = 解这个方程，得 x=5600， 经检验， x=5600是所列方程的解，并且符合实际问题的意义 当 x=5600时， x+400=6000， 答：一台 600元，一台 000元 【点评】 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，再列出方程注意解方程后不要忘记检验 25已知：如图，点 A， E， F， B， B= D， 求证： F 【考点】 全等三角形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 根据全等三角形的判定定理 后由全等三角形的对应边相等知， E，所以 E F 【解答】 证明： 知）， A= C（两直线平行，内错角相等）； 在 ， E（全等三角形的对应边相等）， E F 【点评】 本题主要考查了 全等三角形的判定与性质普通两个三角形全等共有四个定理，即题时要根据已知条件的具体位置来选择方法 26如图：在 C、 D=G=接 （ 1）求证： G； （ 2） 说明理由 【考点】 全等三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）由 C， B，利用垂直的定义得到一对角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形 相似得到三角形 相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再由 G， C，利用 全等三角形的对应边相等可得出 G， （ 2）利用全等得出 利用三角形的外角和定理得到 用等量代换可得出 0，即 【解答】 （ 1）证明： 0，又 在 ， A（全等三角形的对应边相等）； （ 2）位置关系是