江西省赣州市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

江西省赣州市 2015 2016 学年度高一上学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上 . 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3， B=2， 4，则（ B 为（ ） A 1， 2， 4 B 2， 4， 5 C 0， 2， 4 D 0， 2， 3， 4 2已知 ，则 ） A B C D 3（ （ =（ ） A B 2 C 3 D 6 4函数 的定义域为（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ 1， 2） （ 2， +） D（ 1， 3） （ 3， +） 5已知 a=， c=2 a， b， c 的大小关系为（ ） A c b a B c a b C b a c D b c a 6函数 f（ x） = ） |x|的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 7已知集合 A=1， 2， 3，则 B=x y|xA， yA中的元素个数为（ ） A 9 B 5 C 3 D 1 8若 ， 为 锐角， ，则 =（ ） A B C D 9已知函数 f（ x） =x+，若 f（ a） =2，则 f（ a）的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 10已知 ，则 ） A B C D 11设 且 ，则（ ） A B C D 12已知方程 2ax+4=0 的一个实根在区间（ 1， 0）内，另一个实根大于 2，则实数 a 的取值范围是（ ） A 0 a 4 B 1 a 2 C 2 a 2 D a 3 或 a 1 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，答案填写在答题卷上 . 13设实数 ，如果函数 y= 的奇函数，则 的值的集合为 14若 ，则 = 15已知 ，则 f（ x）的值域为 16下列叙述正确的有 （将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上） 集合 0， 1， 2的非空真子集有 6 个； 集合 A=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 B=y|y5， yN*，若 f： xy=|x 1|，则对应关系 f 是从集合 A 到集合 B 的映射； 函数 y=对称中心为（ 0）（ kZ）； 函数 f（ x）对任意实数 x 都有 f（ x） = 恒成立，则函数 f（ x）是周期为 4 的周期函数 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知集合 A=x|8x+120， B=x|5 2mxm+1 （ 1）当 m=3 时，求集合 AB， A B； （ 2）若 BA，求实数 m 的取值范围 18已知函数 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期与对称轴方程； （ 2）求函数 f（ x）的单调递增区间 19已知函数 是定义在（ 1， 1）上的奇函数，且 （ 1）求实数 a， b 的值； （ 2）判断并证明 f（ x）在（ 1， 1）上的单调性 20已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）图象的一个最高点坐标是 ，相邻的两对称中心的距离为 （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）函数 y=f（ x）的图象可由 y=图象经过怎样的变化得到 21为振兴苏区发展，赣州市计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造据调查，改造后预计该市在一个月内（以 30 天记），红色文化旅游人数 f（ x）（万人）与日期 x（日）的函数关系近似满足： ，人均消费 g（ x）（元）与日期 x（日）的函数关系近似满足： g（ x） =60 |x 20| （ 1）求该市旅游日收入 p（ x）（万元）与日期 x（ 1x30， xN*）的函数关系式； （ 2）当 x 取何值时，该市旅游日收入 p（ x）最大 22已知函数 （ 1）判断并证明 f（ x）的奇偶性； （ 2）若两个函数 F（ x）与 G（ x）在闭区间 p， q上恒满足 |F（ x） G（ x） | 2，则称函数 F（ x）与 G（ x）在闭区间 p， q上是分 离的是否存在实数 a 使得 y=f（ x）的反函数 y=f 1（ x）与 g（ x）=1， 2上分离？若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 江西省赣州市 2015 2016 学年度高一上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上 . 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3， B=2， 4，则（ B 为（ ） A 1， 2， 4 B 2， 4， 5 C 0， 2， 4 D 0， 2， 3， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 由全集 U 以及集合 A，求出 A 的补集，确定出 A 补集与 B 的并集即可 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B=2， 4， （ B=2， 4， 5 故选 B 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2已知 ，则 ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 计算题；转化思想；三角函数的求值 【分析】 已知等式左边利用诱导公式化简，即可确定出所求式子的值 【解答】 解： +） = 2+ +） =+） = ，且 +） = ， 故选： A 【点评】 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键 3（ （ =（ ） A B 2 C 3 D 6 【考点】 对数的运算性质 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用对数性质、运算法则和换底公式求解 【解答】 解：（ （ = = =6 故答案为： 6 【点评】 本题考查对数化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用 4函数 的定义域为（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ 1， 2） （ 2， +） D（ 1， 3） （ 3， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数成立的条件即可求函数的定义域 【解答】 解：要使函数有意义，则 ， 即 ，即 ， 解得 x 1 且 x2， 故函 数的定义域为（ 1， 2） （ 2， +）， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件 5已知 a=， c=2 a， b， c 的大小关系为（ ） A c b a B c a b C b a c D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性求解 【解答】 解： 1=20 a= c=2， c a b 故选： B 【点评】 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用 6函数 f（ x） = ） |x|的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 可判断函数 f（ x）是偶函数且在 0， +）上是增函数，从而解得 【解答】 解： f（ x） = ） |x|=f（ x）， 函数 f（ x） = ） |x|是偶函数， 易知 f（ x）在 0， +）上是增函数， 而 f（ 0） = 1， f（ 1） = 0， 故 f（ x）在（ 0， 1）上有一个零点， 故 f（ x）共有 2 个零点， 故选 C 【点评】 本题考查了函数的性质的判断与应用 7已知集合 A=1， 2， 3，则 B=x y|xA， yA中的元素个数为（ ） A 9 B 5 C 3 D 1 【考点】 元素与集合关系的判断 【专题】 计算题；探究型；集合思想；数学模型法；集合 【分析】 根据集合 B 中元素与 A 中元素之间的关系进行求解 【解答】 解： A=1， 2， 3， B=x y|xA， yA， x=1， 2， 3， y=1， 2， 3 当 x=1 时， x y=0， 1， 2； 当 x=2 时， x y=1， 0， 1； 当 x=3 时， x y=2， 1， 0 即 x y= 2， 1， 0， 1， 2即 B= 2， 1， 0， 1， 2共有 5 个元素 故选： B 【点评】 本题主要考查集合元素个数的判断，利用条件求出 x y 的值是解决本题的关键，是基础题 8若 ， 为锐角， ，则 =（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【专题】 整体思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由同角三角函数基本关系可得 +）和 + ），整体代入两角差的余弦公式计算可得 【解答】 解： ， 为锐角， ， +） = = ， + ） = = ， = +）（ + ） =+） + ） +） + ） = + = 故选： D 【点评】 本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题 9已知函数 f（ x） =x+，若 f（ a） =2，则 f（ a）的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 先求出 a+，由此能求出 f（ a）的值 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+， f（ a） =2， f（ a） =a+=2， a+， f（ a） = a = 1+1=0 故选： A 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 10已知 ，则 ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 整体思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由两角和的余弦展开已知式子，平方结合二倍角的正弦可得 【解答】 解： ， ， ， 平方可得 1 2， ， 故选： A 【点评】 本题考查三角函数化简求值，属基础题 11设 且 ，则（ ） A B C D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由题意和三角函数公式变形可得 （ ） ，由角的范围和余弦函数的单调性可得 【解答】 解： ， = ， = + = ， 1+= ） 由诱导公式可得 ） =（ ） ， ， （ ） （ 0， ）， = （ ），变形可得 2 = ， 故选： D 【点评】 本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题 12已知方程 2ax+4=0 的一个实根在区间（ 1， 0）内，另一个实根大于 2，则实数 a 的取值范围是（ ） A 0 a 4 B 1 a 2 C 2 a 2 D a 3 或 a 1 【考点】 一元二次方程的根的分布与系数的关系 【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用；不等式 【分析】 令 f（ x） =2ax+4，由已知可得 ，即 ，解得答案 【解答】 解：令 f（ x） =2ax+4， 方程 2ax+4=0 的一个实根在区间（ 1， 0）内，另一个实根大于 2， ，即 ， 解得： 1 a 2， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，难度中档 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，答案填写 在答题卷上 . 13设实数 ，如果函数 y= 的奇函数，则 的值的集合为 1， 3 【考点】 幂函数的性质 【专题】 计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用 【分析】 讨论 的取值，得出函数 y= 上的奇函数时 的取值范围 【解答】 解： 实数 2， 1， ， 1， 3， 当 = 1 时，函数 y=x 1 是定义域（ ， 0） （ 0， +）上的奇函数，不满足题意； 当 =1 时，函数 y=x 是定义域 R 上的奇函数，满足题意； 当 =3 时，函数 y= 上的奇函数，满足题意； 的取值集合为 1， 3 【点评】 本题考查了幂函数的定义与单调性质的应用问题，是基础题目 14若 ，则 = 2 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值 【解答】 解：若 ，则 = = =2， 故答案为： 2 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 15已知 ，则 f（ x）的值域为 ， 【考点】 三角函数的最值 【专题】 计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值 【分析】 化简函数 f（ x），利用二次函数与三角函数的图象和性质，求出函数 f（ x）的值域即可 【解答】 解： f（ x） = + ， 且 x ， ， ， ， 10， 1 0， ， 即函数 f（ x）的值域为 ， 故答案为： ， 【点评】 本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目 16下列叙述正确的有 （将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上） 集合 0， 1， 2的非空真子集有 6 个； 集合 A=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 B=y|y5， yN*，若 f： xy=|x 1|，则对应关系 f 是从集合 A 到集合 B 的映射； 函数 y=对称中心为（ 0）（ kZ）； 函数 f（ x）对任意实数 x 都有 f（ x） = 恒成立，则函数 f（ x）是周期为 4 的周期函数 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 函数思想；集合思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑 【分析】 集合 0， 1， 2的非空真子集有 7 个； 举反例 x=1 时不合题意； 反例（ ， 0）也是函数 y=对称中心； 可证 f（ x+4） = =f（ x），由周期函数的定义可得 【解答】 解： 集合 0， 1， 2的非空真子集有： 0、 1、 2、 0， 1、 0， 2、 1， 2、 0， 1，2共 7 个，故错误； 当 x 取集合 A=1， 2， 3， 4， 5， 6中的 1 时，可得 y=|x 1|=0，而 0 不在集合 B 中，故错误； （ ， 0）也是函数 y=对称中心，而（ ， 0）不在（ 0）（ kZ）的范围，故错误； 函数 f（ x）对任意实数 x 都有 f（ x） = 恒成立，则 f（ x+2） = ， f（ x+4） = =f（ x），故函数 f（ x）是周期为 4 的周期函数，故正确 故答案为： 【点评】 本题考查命题真假的判定，涉及函数的周期性和对称性以及集合和映射的知识，属中档题 三 、解答题（本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知集合 A=x|8x+120， B=x|5 2mxm+1 （ 1）当 m=3 时，求集合 AB， A B； （ 2）若 BA，求实数 m 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算 【专题】 集合思想；综合法；集合 【分析】 （ 1）将 m=3 代入求出 B，求出 A，从而求出 AB， A B 即可；（ 2）根据 BA，通过讨论B=和 B时得到关于 m 的不等式组，解出即可 【解答】 解：（ 1）当 m=3 时， B=x|5 6x3+1= 1， 4 因为 A=x|2x6 所以 AB=2， 4A B= 1， 6 （ 2）因为 BA，所以当 B=时， 5 2m m+ 所以 当 B时，则 解得 综上所述：实数 m 的取值范围为 【点评】 本题考查了集合的包含关系，考查集合的交集并集的运 算，是一道基础题 18已知函数 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期与对称轴方程； （ 2）求函数 f（ x）的单调递增区间 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）使用二倍角公式化简 f（ x），利用正弦函数的性质列出方程解出对称轴； （ 2）利用正弦函数的单调性列出不等式解出 【解答】 解：（ 1） f（ x）的最 小值正周期 T=， 令 ，解得 x= + f（ x）的对称轴方程为： （ 2）令 ，解得 ， f（ x）的增区间为 【点评】 本 题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题 19已知函数 是定义在（ 1， 1）上的奇函数，且 （ 1）求实数 a， b 的值； （ 2）判断并证明 f（ x）在（ 1， 1）上的单调性 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据条件，奇函数 f（ x）在原点有定义，从而 f（ 0） =b=0，从而 ，而根据 便可求出 a=1，这样便得出 a， b 的值； （ 2）写出 ，根据单调性的定义，设任意的 1， 1），且 后作差，通分，提取公因式，便得到 ，可以说明 f（ f（ 从而得出 f（ x）在（ 1， 1）上为增函数 【解答】 解：（ 1） f（ x）是定义在（ 1， 1）上的奇函数； f（ 0） =b=0； 得 ； 而 ； a=1； a=1， b=0； （ 2） ，设 1， 1）且 ： ； 1， 1），且 0， 1， 1 0； ； f（ f（ f（ x）在（ 1， 1）上为增函数 【点评】 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为 0，以及函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较 f（ f（ 作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式 20已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）图象的一个最高点坐标是 ，相邻的两对称中心的距离为 （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）函数 y=f（ x）的图象可由 y=图象经过怎样的变化得到 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由相邻的两对称中心的距离为 ，可求周期，利用周期公式可求 ，由，结合范围 | ，可求 ，从而可求函数解析式 （ 2）利用函数 y=x+）的图象变换规律即可得解 解法一：按照纵坐标不变先 （左、右平移），纵坐标不变，横坐标向左平移 个单位，再 ，就是横坐标变为原来的 倍； 解法二：将函数 y=图象上每一个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再将图象向左平移 个单位长度，是先 ，再 的变换过程 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1）因为 f（ x）相邻的两对称中心的距离为 ， 所以 ，即 T= 所以 所以 f（ x） =2x+） 因为 ， 所以 因为 | ，所以 所以 （ 2）解法一： 将函数 y=图象纵坐标不变，横坐标向左平移 个单位 得到 的图象 然后将 的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的 得到 的图象 解法二：将函数 y=图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的 得到 y=图象 然后将 y=图象纵坐标不变横坐标向左平移 个单位 得到 的图象 【点评】 本题主要考查了由 y=x+）的部分图象确定其解析式，函数 y=x+）的图象变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了数形结 合思想，属于基础题 21为振兴苏区发展，赣州市计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造据调查，改造后预计该市在一个月内（以 30 天记），红色文化旅游人数 f（ x）（万人）与日期 x（日）的函数关系近似满足： ，人均消费 g（ x）（元）与日期 x（日）的函数关系近似满足： g（ x） =60 |x 20| （ 1）求该市旅游日收入 p（ x）（万元）与日期 x（ 1x30， xN*）的函数关系式； （ 2）当 x 取何值时，该市旅游日收入 p（ x）最大 【考点】 函数模型的 选择与应用；分段函数的应用 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据条件建立函数关系即可得到结论 （ 2）根据分段函数的表达式，判断函数的单调性即可求出函数的最值 【解答】 解：（ 1） p（ x） =f（ x） g（ x）， （ 2）由（ 1）可知， p（ x）在 1， 10上为增函数，在 10， 20）上为减函数 当 x1， 20）时， p（ x） p（ 10） =125 因为 p（ x）在 20， 30上为减函数， 所以当 x20， 30时， p（ x） p=120 综上所述，当 x=10 时 p（ x） 25 【点评】 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式判断函数的单调性的性质是解决本题的关键 22已知函数 （ 1）判断并证明 f（ x）的奇偶性； （ 2）若两个函数 F（ x）与 G（ x）在闭区间 p， q上恒满足 |