温州XX中学2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年浙江省温州 ）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知平面向量 ，且 ，则 可能是（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 4， 2） D（ 1， 2） 2已知函数 ，若 f（ =2，则 ） A 2 或 1 B 2 C 1 D 2 或 1 3已知函数 f（ x） =2x+ ），为了得到函数 g（ x） =图象，只需将函数 y=f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 4已知 ，且 ，则 ） A B C D 5已知点 面上，且满足 ，则 ） A 1： 1 B 1： 2 C 1： 3 D 1： 4 6已知函数 ，对任意的 1， +），且 x1足，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C（ 1， 2 D 2， +） 7已知函数 y=f（ x）对任意 xR，恒有（ f（ x） f（ x） =0 成立，则下列关于函数 y=f（ x）的说法正确的是（ ） A最小正周期是 2 B值域是 1， 1 C是奇函数或是偶函数 D以上都不对 8已知函数 f（ x） = 为偶函数，方程 f（ x） =m 有四个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 3， 1） B（ 2， 1） C（ 1， 0） D（ 1， 2） 第 2 页（共 14 页） 9已知函数 ，则 =（ ） A B C D 10设 kR，对任意的向量 ， 和实数 x0， 1，如果满足 ，则有成立，那么实数 的最小值为（ ） A 1 B k C D 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分） 11求值： 12定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 2+x） =f（ 2 x），若当 x（ 0， 2）时， f（ x） =2x，则 f（ 3） = 13已知 为正整数，若函数 f（ x） =x）在区间 上不单调，则最小的正整数 = 14设 为锐角，若 ，则 的值为 15已知集合 M=（ a， b） |a 1，且 0 bm，其中 mR若任意（ a， b） M，均有 b 3a0， 求实数 m 的最大值 三、解答题（本大题共 4小题，共 40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16设函数 f（ x） =3x）的定义域为集合 A，函数 的定义域为集合 B（其中 aR，且 a 0） （ 1）当 a=1 时，求集合 B； （ 2）若 AB，求实数 a 的取值范围 17在等腰直角 ， ， M 是斜边 的点，满足 （ 1）试用向量 来表示向量 ； （ 2）若点 P 满足 ，求 的取值范围 18已知函数 ，（ a 为常数且 a 0） （ 1）若函数的定义域为 ，值域为 ，求 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，定义区间（ m， n）， m， n，（ m， n， m， n）的长度为 n m，其中 n m，若不等式 f（ x） +b 0， x0， 的解集构成的各区间的长度和超过 ，求 b 的取值范围 19设函数 f（ x） =x2+ax+b， a， bR （ 1）若 a+b=3，当 x1， 2时， f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； 第 3 页（共 14 页） （ 2）是否存在实数对（ a， b），使得不等式 |f（ x） | 2 在区间 1， 5上无解，若存在，试求出所有满足条件的实数对（ a， b）；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 14 页） 2015年浙江省温州 学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知平面向量 ，且 ，则 可能是（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 4， 2） D（ 1， 2） 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出 【解答】 解：设 =（ x， y）， ， 2x y=0， 经过验证只有 D 满足上式 可能为（ 1， 2） 故选： D 2已知函数 ，若 f（ =2，则 ） A 2 或 1 B 2 C 1 D 2 或 1 【考点】 函数的值 【分析】 利用分段函数性质求解 【解答】 解： 函数 ， f（ =2， 时， ，解得 1； 0 时， f（ =） =2，解得 值为 2 或 1 故选： A 3已知函数 f（ x） =2x+ ），为了得到函数 g（ x） =图象，只需将函数 y=f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 第 5 页（共 14 页） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件根据函数 y=x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】 解：把函 数 f（ x） =2x+ ） =x+ ）的图象向右平移 个单位长度， 可得 函数 g（ x） =x + ） =图象， 故选： A 4已知 ，且 ，则 ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 已知等式左边利用诱导公式化简，求出 由 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 可求出 【解答】 解： +） = ， ， （ ， 0）， = ， 则 = = ， 故选： D 5已知点 满足 ，则 ） A 1： 1 B 1： 2 C 1： 3 D 1： 4 【考点】 向量的加法及其几何意义 【分析】 由 ，可得 =2 ，即点 P 为线段 靠近点 A 的三等分点，即可得出 【解答】 解： ， = = ， =2 ，即点 P 为线段 靠近点 A 的三等分点， 面积与 面积之比 = = ， 故选： B 第 6 页（共 14 页） 6已知函数 ，对任意的 1， +），且 x1足，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C（ 1， 2 D 2， +） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 由已知 可得函数 在区间 1， +）上为增函数，结合二次函数，指数函数和复合函数的单调性，可得答案 【解答】 解：若对任意的 1， +），且 x1，满足 ， 则函数 在区间 1， +）上为增函数， 由 t= 在 ， +）上为增函数， 故 ， 解得： a ， 故选： A 7已知函数 y=f（ x）对任意 xR，恒有（ f（ x） f（ x） =0 成立，则下列关于函数 y=f（ x）的说法正确的是（ ） A最小正周期是 2 B值域是 1， 1 C是奇函数或是偶函数 D以上都不对 【考点】 正弦函数的图象；余弦函数的图象 【分析】 因为 f（ x） = f（ x） =以他不是周期函数，也不是奇函数 或偶函数，故排除 A、 C；通过举反例可得 B 不对，从而得出结论 【解答】 解：由（ f（ x） f（ x） =0 恒成立，可得 f（ x） = f（ x）= 故函数 f（ x）不是周期函数，也不是奇函数或偶函数，故排除 A、 C 假设当 x=kz 时， f（ x） = x=， kz 时， f（ x） = 那么 f（ x）的值域就不是 1， 1，因为它永远不能取到 1，故选项 B 不对， 故选： D 第 7 页（共 14 页） 8已知函数 f（ x） = 为偶函数，方程 f（ x） =m 有四个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 3， 1） B（ 2， 1） C（ 1， 0） D（ 1， 2） 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 本题可以先根据函数的奇偶性求出参数 a、 b、 c 的值，再通过函数图象特征的研究得到 m 的取值范围，得到本题结论 【解答】 解： 函数 f（ x） = 为偶函数， 当 x 0 时， x 0， f（ x） =f（ x） =a（ x） 2+2x 1=x 1 当 x 0 时， f（ x） =x2+bx+c， a=1， b=2， c= 1 f（ x） = ， 当 x=0 时， f（ x） = 1， 当 x=1 时， f（ 1） = 2， 方程 f（ x） =m 有四个不同的实数解， 2 m 1 故选 B 9已知函数 ，则 =（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由题意得到 x+ ） = ，展开后求得 入万能公式得答案 【解答】 解：由 x+ ） = ，得 ，解得 = 故选： C 10设 kR，对任意的向量 ， 和实数 x0， 1，如果满足 ，则有成立，那么实数 的最小值为（ ） 第 8 页（共 14 页） A 1 B k C D 【考点】 向量的三角形法则 【分析】 当向量 = 时，可得向量 ， 均为零向量，不等式成立；由 k=0，可得 x| | |，即有 x 恒成立，由 x1，可得 1；再由绝对值和向量的模的性质，可得 1，则有 1，即 k即可得到结论 【解答】 解：当向量 = 时，可得向量 ， 均为零向量，不等式成立； 当 k=0 时，即有 = ，则有 ，即为 x| | |， 即有 x 恒成立，由 x1，可得 1； 当 k0 时， ，由题意可得有 = | |， 当 k 1 时， | |， 由 | x | | | |，可得： 1，则有 1，即 k 即有 的最小值为 故选： C 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分） 11求值： 0 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 根据题意，利用余弦的和差公式可得 利用特殊角的三角函数值可得答案 【解答】 解：根据题意，原式 = 0， 故答案为： 0 12定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 2+x） =f（ 2 x），若当 x（ 0， 2）时， f（ x） =2x，则 f（ 3） = 2 【考点】 函数的值 【分析】 化简 f（ 3） =f（ 2+1） =f（ 1），从而解得 【解答】 解： f（ 3） =f（ 2+1） =f（ 2 1） =f（ 1） =21=2， 故答案为： 2 第 9 页（共 14 页） 13已知 为正整数，若函数 f（ x） =x）在区间 上不单调，则最小的正整数 = 2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意可得 ，且 ，由此求得最小正整数 的值 【解答】 解： 为正整数，函数 f（ x） =x）在区间 上不单调， ， ， 3， 则最小的正整数 =2， 故答案为： 2 14设 为锐角，若 ，则 的值为 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 先设 =+ ，根据 而求出 后用两角和的正弦公式得到 2+ ）的值 【解答】 解：设 =+ ， 为锐角， =+ （ ， ）， =可得 为锐角，可求 ， ， 2， 2+ ） =2+ ） =2 ） = 故答案为： 15已知集合 M=（ a， b） |a 1，且 0 bm，其中 mR若任意（ a， b） M，均有 b 3a0，求实数 m 的最大值 2 【考点】 对数的运算性质 【分析】 如图所示，由 b 3a0，化为： 由于 m， bm 时，可得 m结合图形即可得出 【解答】 解：如图所示，由 b 3a0，化为： m， bm 时， m 当 m=2 时取等号， 实数 m 的最大值为 2 第 10 页（共 14 页） 三、解答题（本大题共 4小题，共 40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16设函数 f（ x） =3x）的定义域为集合 A，函数 的定义域为集合 B（其中 aR，且 a 0） （ 1）当 a=1 时，求集合 B； （ 2）若 AB，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；函数的定义域及其求法 【分析】 （ 1）函数 = ，令 x 30，解出其定义域为集合 B=1， 3 （ 2）当 a 0 时，由 3，化为 4，解得 B=a， 3a函数 f（ x）=3x），由 3x 0，解得定义域为集合 A=（ ， 0） （ 3， +），利用 AB，即可得出 【解答】 解：（ 1）函数 = ，令 x 30，化为 4x+30，解得 1x3， 其定义域为集合 B=1， 3 （ 2）当 a 0 时，由 3，化为 4，解得 ax3a B=a， 3a 函数 f（ x） =3x），由 3x 0，解得 x 0，或 x 3，可得定义域为集合 A=（， 0） （ 3， +）， AB，所 以 3a 3，解得 a 1 17在等腰直角 ， ， M 是斜边 的点，满足 第 11 页（共 14 页） （ 1）试用向量 来表示向量 ； （ 2）若点 P 满足 ，求 的取值范围 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）由题意画出图形，直接利用向量加法的三角形法则得答案； （ 2）设 ，由题意求得 ，然后直接展开向量数量积求得 的取值范围 【解答】 解：（ 1）如图， ， = = ； （ 2）设 ， ， ， 则 18已知函数 ，（ a 为常数且 a 0） （ 1）若函数的定义域为 ，值域为 ，求 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，定义区间（ m， n）， m， n，（ m， n， m， n）的长度为 n m，其中 n m，若不等式 f（ x） +b 0， x0， 的解集构成的各区间的长度和超过 ，求 b 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由三角函数公式化简可得 f（ x） =a +2x+ ） ，由已知函数的值域可得 a 值 （ 2）由题意可得 要使解集构成的各区间的长度和超过 ，需，解不等式可得 【解答】 解：（ 1）由三角函数公式化简可得： f（ x） =a（ + 第 12 页（共 14 页） =a（ + =a +2x+ ） ， x ， 2x+ ， ，