北京市第十五中学2019-2020学年第一学期期中高二数学试题（解析版）

北京十五中高二年级数学试卷第卷 (选择题,共56分)一选择题:(本大题共14个小题,每小题4分,共56分;把答案填涂在机读卡上)1.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由，得，或.所以选D.考点：二次不等式的解法.2.在等差数列3，7，11中，第5项为( )A. 15B. 18C. 19D. 23【答案】C【解析】【分析】求出等差数列的公差，直接求出数列的第5项【详解】由等差数列3，7，11，得=3，d=4,则=19.故选C.【点睛】本题是基础题，考查等差数列中项的求法，考查计算能力3.如果, 那么( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，故A不正确；因为，所以，故B正确；因为，当时，有，故C不正确；因为，所以，即，故D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查不等式的性质，属基础题.4.已知数列满足,那么( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可得是公比为2的等比数列，进而可算得本题答案.【详解】由，得，所以为等比数列，且公比，则.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式应用，属基础题.5.不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将不等式右边的2移至左边，再通分，将分式不等式转化为一元二次不等式求解，即可得到本题答案.【详解】由，得，以上不等式等价于，解得或，所以原分式不等式的解集为.故选：B【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键.6.数列中, 如果(1, 2, 3, ) ,那么这个数列是( )A. 公差为2的等差数列B. 公差为3的等差数列C. 首项为3的等比数列D. 首项为1的等比数列【答案】C【解析】【分析】由，可得为等比数列，进而可得本题答案.【详解】因为，所以，则有，所以为等比数列，且公比，首项.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的判断方法，属基础题.7.设,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由题意，解不等式，得或，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又，即满足由条件p能推出结论q，且结论q不能推出条件p，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，属基础题.8.若命题“对恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时，恒成立，当时，解得，综上，故选点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.9.如果, 设, 那么( )A. B. C. D. 与的大小关系与有关【答案】A【解析】【分析】通过作差法可以比较M，N的大小.【详解】因为，所以，因为，所以，即.故选：A【点睛】本题主要考查判断两个式子的大小关系，作差法是解决此类问题的常用方法.10.已知，且，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A：由，得，即，A不正确；B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；C：由，得，故，C正确；D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.考点】函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.【此处有视频，请去附件查看】11.如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（xN）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运A. 3年B. 4年C. 5年D. 6年【答案】C【解析】可设y=a(x6)2+11，又曲线过(4，7)，7=a(46)2+11 a=1即y=x2+12x25，=12(x+)122=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C12.若关于的不等式对于一切恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不等式对于一切恒成立，等价于，求出在的最小值，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号；关于x的不等式对于一切恒成立，等价于，所以，则实数a的取值范围是.故选：C【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，转化为其等价条件求解是解决本题的关键.13.若,且,则的最小值是( )A. B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】把变成，接着直接利用基本不等式，可得到本题答案.【详解】因为，所以的最小值是，当且仅当，即时取最小值.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最小值.14.数列中,如果对任意都有为常数),则称为等差比数列,k称为公差比.现给出下列命题:等差比数列公差比一定不为0;等差数列一定是等差比数列;若,则数列是等差比数列;若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比;其中正确的命题的序号为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等差比数列的定义，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于，若公差比为0，则，故为常数数列，从而的分母为0，无意义，所以公差比一定不为0；对于，当等差数列为常数数列时，不满足题意；对于，因为，所以，故数列是等差比数列；对于，因为是等比数列，所以，故其公比等于公差比.所以正确的命题有.故选：D【点睛】本题主要考查新定义，准确把握等差比数列的定义是解决本题的关键.第卷 (非选择题,共94分)二填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分,把答案作答在答题纸上)15.已知是4和16的等差中项,则=_【答案】10【解析】试题分析：由等差中项可知2=4+16，解得=10.考点：等差中项.16.函数的定义域是_【答案】【解析】由题意得，即其定义域是.17.函数f(x)x(1x)，x(0，1)的最大值为 【答案】【解析】试题分析：函数是二次函数，化为标准形式为，配方得，因，所以在处取得最大值.考点：二次函数的最值问题.18.在等比数列中,已知,那么_.【答案】12【解析】【分析】利用成等比数列，即可得到本题答案.【详解】因为是等比数列，所以也成等比数列，又因为，所以.故答案为：12【点睛】本题主要考查等比数列性质的应用，属基础题.19.在数列中，且任意连续三项的和均为，设是数列的前项和，则使得成立的最大整数_.【答案】26【解析】由题意得，则，该数列为周期数列，周期为，又，则，当时，而，所以，使得成立的最大整数为20.设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，则数列的前项和的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由题意，对任意实数，都有，则令可得，即，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，故考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质三解答题(本大题共5小题,共70分)21.已知函数.（）当时，求不等式的解集；（）若不等式解集为，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到二次不等式，因式分解求解即可；（2）将式子配方得到对称轴和最小值，使得最小值大于0即可.解析：（）当时，即，所以的解集是 （）因为不等式的解集为，所以， 即实数的取值范围是. 【此处有视频，请去附件查看】22.在等差数列中,. (1)求数列的通项公式;(2)如果,成等比数列,求正整数的值.【答案】(1);(2)4.【解析】【分析】（1）由可求得公差d，进而可得本题答案；（2）根据题意列出方程，求出方程的解，即可得到本题答案.【详解】(1)设等差数列的公差为，则，又因为，解得，所以；(2)因为成等比数列，所以，即，因为m为正整数，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及等比数列的性质，属基础题.23.已知:等差数列的公差大于0,且是方程的两根;数列的前n项的和.(1)求数列的通项公式;(2)记,求最大值并写出相应的的值.【答案】(1);(2)或时,最大值.【解析】分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系，得到方程组，求出，即可得到的通项公式，利用，可求得的通项公式；（2）通过证明，即可得到本题答案.【详解】（1）因为是方程的两根，所以，由于数列的公差大于0，得，所以，得，所以数列的通项公式为；因为，当时，；当时，-得，化简得，因为当时，也满足，所以数列的通项公式为；（2）因为，所以，则有，即，所以数列由第二项开始单调递减，且，所以的最大值为，此时n的值为1或2.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，已知的关系式求的通项公式，以及根据数列的单调性求的最大项.24.已知等差数列的前项的和为.如果.(1)求的最小值及其相应的的值;(2)从数列中依次取出,构成一个新的数列,求的前项和.【答案】(1)当n=9或n=10时,最小值为;(2).【解析】【分析】（1）依题意列方程组可求得，写出的表达式，即可得到本题答案；（2）先算出数列的通项公式，接着用分组求和法可得到本题答案.【详解】(1)设公差为d，由题意，可得，解得，所以，所以，则当n的值为9或10时，取最小值，最小值为-90； (2)记数列的前n项和为,由题意可知，所以 .【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的最小值，以及利用分组求和法求数列的前n项和.25.已知:数列满足.(1)设,求证:数列是等比数列;(2)若数列满足,判断数列是否是等差数列,并说明理由;(3)设,求证:.【答案】(1)证明见