江苏省南通市如皋市2016年中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 32 页） 2016 年江苏省南通市如皋市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 5 的相反数是（ ） A 5 B 5 C D 2如图，直线 a 直线 c，直线 b 直线 c，若 1=70，则 2=（ ） A 70 B 90 C 110 D 80 3下列计算正确的是（ ） A 2a2+ a2= a6a2=（ 2=长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） A 3 B 4 C 12 D 16 5袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球下列事件是必然事件的是（ ） A摸出的三个球中至少有两个球是黑球 B摸出的三个球中至少有两个球是白球 C摸出的三个球中至少有一个球是黑球 D摸出的三个球中至少有一个球是白球 6如图，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 排放在一起，连结 延长交 点 T，交 点 P，则 ） 第 2 页（共 32 页） A B 2 C 2 D 1 7已知 ，若 2 b 1，则 a 的取值范围是（ ） A a 4 B a 2 C 4 a 1 D 4 a 2 8如图，将 在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A， B， C 均在格点上，则 值是（ ） A B C 2 D 9求一元二次方程 x 1=0 的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面 直角坐标系中，画出直线 y=x+3 和双曲线 y= 的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解类似地，我们可以判断方程 x 1=0 的解的个数有（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 10如图， 接于 O，点 C 在线段 ， E 在 上， ，则 于（ ） A B C D 2 第 3 页（共 32 页） 二、填空题（本大题共 8 题，每题 3 分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11 2016 年 1 月 19 日，国家统计局公布： 2015 年南通市生产总值 6120 亿，同比增长 9%，居全国第 24 名 6120 亿用科学记数法可表示为 12已知 A=55，则 A 的余角等于 度 13函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 14已知多边形的每个内角都等于 135，求这个多边形的边数是 （用两种方法解决问题） 15如图，直线 y=3x 和 y= 相交于点 P（ a， 3），则不等式 3x 的解集为 16已知一个圆锥的侧面积是 2的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为 果保留根号） 17如图，菱形 ， ， B=60， E， F 分别是 的点， 60，连接 面积最小值是 18若实数 a、 b 满足 a2+ab+，且 t= t 的取值范围是 三、解答题（本大题共 10 题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（ 1）计算 2 1 +（ 2） 0+ ； （ 2）化简 第 4 页（共 32 页） 20解方程组 21为了了解某校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从足球、篮球、羽毛球、排球等四个方面调查了若干名学生，并绘制成不完整的条形图已知最喜欢篮球的人数占调查人数的 32%，最喜欢排球的人数是最喜欢足球人数的 （ 1）最喜欢排球的人数是 ，被调查的学生数是 ； （ 2）将条形图补充完整； （ 3）若用扇形图表示统计结果，则最喜欢羽毛球的人数所对应扇形的圆心角为 度 22如图，在 A 岛周围 25 海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，发现 A 岛在北偏东 60方向，轮船继续前行 20 海里到达 B 处发现 A 岛在北偏东 45方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据： 23如图 ，一个可以自由转动的转盘被平均分为 4 份指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指位置（指针指向两扇形的交线时，当作指向右边的扇形）如图，一个不透明的口袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标着数 1， 2， 3 （ 1）请你在转盘的四个扇形中分别填入一个适当的实数，使得转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为 ； （ 2）在（ 1）的情况下，转动的转盘停止后，指针指向的数记为 m；从口袋中随机摸出一个小球，将标着的数记为 n求 点（ m， n）落在第四象限的概率 第 5 页（共 32 页） 24如图，在 ， C， A=30，以 直径的 O 交 点 D，交 点 E，连结 点 B 作 行于 O 于点 P，连结 （ 1）求证： C； （ 2）求 度数 25如图，等腰三角形 ， C， 分 点 D，在线段 任取一点 P（点 A 除外），过点 P 作 别交 点 E 和点 F，作 点 Q，连接 （ 1）求证：四边形 菱形； （ 2）当点 P 在何处时，菱形 面积为四边形 积的一半？ 26光明初中学生中午用餐需长时间排队等候经调查统计发现，每天开始售饭时，约有 300 名学生排队等候购饭，同时有新的学生不断进入餐厅等候购饭，新增购饭人数 y（人）与售饭时间 x（分）的函数关系如图 所示；每个窗口购完饭的人数 y（人）与售饭时间 x（分）的函数关系如图 所示某天餐厅里等候购饭的人数 y（ 人）与售饭时间 x（分）的函数关系如图 所示，已知开始售饭后的 a 分钟内开放了两个窗口 （ 1）求 a 的值； 第 6 页（共 32 页） （ 2）求售饭到第 60 分钟时，餐厅排队等候购饭的学生数； （ 3）该校本着 “以人为本，方便学生 ”的宗旨，决定增设售饭窗口若要在开始售饭后半小时内让所有排队购饭的学生都能购到饭，以便后来到餐厅的学生能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售饭窗口？ 27如图， ， P 从点 A 出发，沿 向匀速运动 ，同时点 Q 从点 B 出发，沿 向匀速运动，它们运动的速度为 1cm/s设运动的时间为 x（ s）， 面积为 y（ 当点 Q 运动到点 A 时， P， Q 都停止运动 （ 1）若 ，求 x 的值； （ 2）求 y 与 x 的函数关系式； （ 3）若 4 y ，请直接写出 x 的取值范围 28已知抛物线 y=4 和直线 y=4b+3 相交于一定点 A （ 1）求点 A 的坐标； （ 2）设抛物线 y=4 与 y 轴的交点为 B，直线 y=4b+3 和直线 别与抛物线的对称轴相交于点 C， D问否存在一点 C，使 A， C， D 为顶点的三角形与 似？若存在，求出 不存在，说明理由； （ 3）设抛物线 y=4 过点（ 2， 1），直线 y=4b+3 与抛物线的另一个交点为 P，若 面积等于 ，求 a 和 b 的值 第 7 页（共 32 页） 第 8 页（共 32 页） 2016 年江苏省南通市如皋市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 5 的相反数是（ ） A 5 B 5 C D 【考点】相反数 【专题】常规题型 【分析】根据相反数的定义直接求得结果 【解答】解： 5 的相反数是 5 故选： B 【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数， 0 的相反数是 0 2如图，直线 a 直线 c，直线 b 直线 c，若 1=70，则 2=（ ） A 70 B 90 C 110 D 80 【考点】平行线的判定与性质；对顶角、邻补角；直角三角形的性质 【分析】首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得 a b，再根据两直线平行同位角相等可得 1= 3根据对顶角相等可得 2= 3，利用等量代换可得到 2= 1=70 【解答】解： 直线 a 直线 c，直线 b 直线 c， a b， 1= 3， 3= 2， 第 9 页（共 32 页） 2= 1=70 故选： A 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理 3下列计算正确的是（ ） A 2a2+ a2= a6a2=（ 2=考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】计算题 【分析】分别根据同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可 【解答】解： A、 2a2+本选项错误； B、 a2=本选项错误； C、 a6a2=本选项错误； D、符合幂的乘方与积的乘方法则，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键 4长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） A 3 B 4 C 12 D 16 【考点】由三视图判断几何体 第 10 页（共 32 页） 【分析】根据物体的主视图与俯视图可以得出， 物体的长与高以及长与宽，进而得出左视图面积 =宽 高 【解答】解：由主视图易得高为 1，由俯视图易得宽为 3 则左视图面积 =1 3=3， 故选： A 【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状，利用主视图确定物体的长与高；俯视图确定物体的长与宽是解题关键 5袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球下列事件是必然事件的是（ ） A摸出的三个球中至少有两个球是黑球 B摸出的三个球中至少有两个球是白球 C摸出的三个球中至少有 一个球是黑球 D摸出的三个球中至少有一个球是白球 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案 【解答】解： A、摸出的三个球中至少有两个球是黑球是随机事件，故 A 错误； B、摸出的三个球中至少有两个球是白球是随机事件，故 B 错误； C、摸出的三个球中至少有一个球是黑球是必然事件，故 C 正确； D、摸出的三个球中至少有一个球是白球是随机事件，故 D 错误； 故选： C 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一 定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 6如图，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 排放在一起，连结 延长交 点 T，交 点 P，则 ） 第 11 页（共 32 页） A B 2 C 2 D 1 【考点】正方形的性质 【专题】压轴题 【分析】 根据正方形的对角线平分一组对角可得 5，再求出 5，从而得到 等腰直角三角形，根据正方形的边长求出 根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍求解即可 【解答】解： 别是正方形 方形 对角线， 5， 80 90 45=45， 80 80 45 45=90， 等腰直角三角形， 两正方形的边长分别为 4， 8， 4=4， 4=2 故选 B 【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质 7已知 ，若 2 b 1，则 a 的取值范围是（ ） A a 4 B a 2 C 4 a 1 D 4 a 2 【考点】不等式的性质 【分析】根据已知条件可以求得 b= ，然后将 b 的值代入不等式 2 b 1，通过解该不等式即可求得 a 的取值范围 【解答】解：由 ，得 第 12 页（共 32 页） b= ， 2 b 1， 2 1， 4 a 2 故选 D 【点评】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质： （ 1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 （ 2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 （ 3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 8如图，将 在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A， B， C 均在格点上，则 值是（ ） A B C 2 D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】首先构造以 A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可 求解 【解答】解：连接 则 ， ， 则 = = 故答案是 D 第 13 页（共 32 页） 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键 9求一元二次方程 x 1=0 的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线 y=x+3 和双曲线 y= 的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解类似地，我们可以判断方程 x 1=0 的解的个数有（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据题意断方程 x 1=0 的解的个数可以转化为确定 y=1 和 y= 的交点坐标即可 【解答】解：由 x 1=0 得： x=1 方程两边同时除以 x 得： 1= ， 在同一坐标系中作出 y=1 和 y= 的图象为： 观察图象有一个交点， 可以判断方程 x 1=0 的解的个数有 1 个， 故选 B 【点评】本题考查了反比例函数的图象和二次 函数的图象，解题的关键是将方程转化为求图象的交点情况 10如图， 接于 O，点 C 在线段 ， E 在 上， ，则 于（ ） 第 14 页（共 32 页） A B C D 2 【考点】三角形的外接 圆与外心 【分析】连接 圆周角定理和已知条件得出 由公共角相等，证出 出对应边成比例 ，设 CD=x，则 x， x，求出 入比例式计算，即可得出结果 【解答】解：连接 图所示： 又 ， 设 CD=x，则 x， x， D x， ， 解得： ； 故选： C 第 15 页（共 32 页） 【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆周角定理的运用，根据圆周角定理得出两角相等是证明三角形相似的前提，根据相似性质得到对应边成比例是关键 二、填空题（本大题共 8 题，每题 3 分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11 2016 年 1 月 19 日，国家统计局公布： 2015 年南通市生产总值 6120 亿，同比增长 9%，居全国第 24 名 6120 亿用科学记数法可表示为 011 【考点】科学记数法 表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】解： 6120 亿 =612000000000=1011 故答案为： 1011 【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1|a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12已知 A=55，则 A 的余角等于 35 度 【考点】余角和补角 【分析】由余角定义得 A 的余角为 90减去 55即可 【解答】解：由余角定义得： 90 55=35 故答案为： 35 【点评】本题考查了角的余角，由其定义很 容易解得 13函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x 3 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得， 3 x 0， 解得 x 3 故答案为： x 3 第 16 页（共 32 页） 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 14已 知多边形的每个内角都等于 135，求这个多边形的边数是 9 （用两种方法解决问题） 【考点】多边形内角与外角 【分析】根据多边形的内角和公式，可得方程，根据解方程，可得答案； 根据正多边形的外角相等，可得每一个外角，根据多边形的外角和除以一个外角，可得答案 【解答】解：解法一：设这个多边形是 n 边形，由题意，得 （ n 2） 180=135n， 解得 n=9 解法二： 由正多边的性质，得 每个外角等于 =180 135=45 外角和除以一个外角，得 360 45=9 故答案为： 9 【点评】 本题考查了多边形内角与外角，利用了多边形的内角和公式，外角和公式 15如图，直线 y=3x 和 y= 相交于点 P（ a， 3），则不等式 3x 的解集为 x 1 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】先把点 P（ a， 3）代入直线 y=3x 求出 a 的值，故可得出 P 点坐标，再根据函数图象进行解答即可 【解答】解： 直线 y=3x 和直线 y= 的图象相交于点 P（ a， 3）， 第 17 页（共 32 页） 3=3a，解得 a=1， P（ 1， 3）， 由函数图象可知，当 x 1 时，直线 y=3x 的图象在直线 y= 的图象的上方， 即当 x 1 时， 3x 故答案为 x 1 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键 16已知一个圆锥的侧面积是 2的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为 果保留根号） 【考点】圆锥的计算 【分析】利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以 2即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的 高即可 【解答】解：设圆锥的母线长为 R， 2=2， 解得： R=2， 圆锥侧面展开图的弧长为： 2， 圆锥的底面圆半径是 2 2=1， 圆锥的高为 故答案为 【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长 17如图，菱形 ， ， B=60， E， F 分别是 的点， 60，连接 面积 最小值是 3 【考点】菱形的性质 第 18 页（共 32 页） 【分析】首先由 等边三角形，即可得 C，以求得 B=60，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得 得 可得 F，证得 得出 面积最小值即可 【解答】解：当 ， 等边三角形， C， 0， B= 0， 0+ D+ 0+ 在 ， ， F， 0， 等边三角形， 当 ， ， ， 面积最小值 = ， 故答案为： 【点评】此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答 18若实数 a、 b 满足 a2+ab+，且 t= t 的取值范围是 3t 【考点】根与系数的关系 【分析】首先将两式进行相加再相减，得出 a+b， 关 t 的关系式，再构造一元二次方程，利用根的判别式大于等于 0 解决 第 19 页（共 32 页） 【解答】解： ， 解得： ， a2+， （ a+b） 2= 0， 3 t， 假设 a， b 是关于 x 的一元二次方程的两个根， a+b） x+， x+ =0， 40， 2（ t+1） 0， 解得： t 则 t 的取值范围是： 3 t 故答案为： 3 t 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，利用两根构造一元二次方程，根据根的判别式求解，是解决问题的关键 三、解答题（本大题共 10 题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（ 1）计算 2 1 +（ 2） 0+ ； （ 2）化简 【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【专题】计算题 【分析】（ 1）根据负整数指数幂、去绝对值的方法、零指数幂可以解答本题； （ 2）先对括号内的式子化简，然后能分解因式的 先分解因式，然后化简即可解答本题 【解答】解：（ 1） 2 1 +（ 2） 0+ 第 20 页（共 32 页） = = ； （ 2） = = = = 【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、因式分解，解题的关键是明确它们各自的计算方法 20解方程组 【考点】解二元一次方程组 【专题】计算题 【分析】根据 y 的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可 【解答】解： ， +得， 4x=8， 解得 x=2， 把 x=2 代入 得， 2+2y=9， 解得 y= ， 所以，方程组的解是 第 21 页（共 32 页） 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单 21为了了解某校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从足球、篮球、羽毛球、排球等四个方面调查了若干名学生，并绘制成不完整的条形图 已知最喜欢篮球的人数占调查人数的 32%，最喜欢排球的人数是最喜欢足球人数的 （ 1）最喜欢排球的人数是 12 ，被调查的学生数是 50 ； （ 2）将条形图补充完整； （ 3）若用扇形图表示统计结果，则最喜欢羽毛球的人数所对应扇形的圆心角为 【考点】条形统计图；扇形统计图 【分析】（ 1）根据直方图即可直接求得最喜欢排球的人数，然后求得最喜欢足球的人数，根据比例的定义求得调查的总人数； （ 2）利用百分比的定义求得喜欢篮球的人数， 补全直方图； （ 3）利用 360乘以对应的百分比即可求解 【解答】解：（ 1）最喜欢排球的人数是 12，则最喜欢足球的人数是 12 （人）， 则被调查的总人数是：（ 8+14+12） （ 1 32%） =50（人）， 故答案是： 12， 50； （ 2）最喜欢篮球的人数是 50 8 14 12=16， 第 22 页（共 32 页） ； （ 3）最喜欢羽毛球的人数所对应扇形的圆心角为 360 = 故答案是： 【点 评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了利用样本估计总体 22如图，在 A 岛周围 25 海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，发现 A 岛在北偏东 60方向，轮船继续前行 20 海里到达 B 处发现 A 岛在北偏东 45方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据： 【考点】解直角三角形的应用 【专题】应用题；压轴题 【分析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点 A 的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险 【解答】解：根据题意，有 0， 5， 0， 所以 C， 于是在 ，由 ， 得 ， 第 23 页（共 32 页） 解得 里）， 因为 25， 所以轮船不会触礁 【点评】此题主要考查解直角三角形的有关知识通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题 23如图 ，一个可以自由转动的转盘被平均分为 4 份指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指位置（指针指向两扇形的交线时，当作指向右边的扇形）如图，一个不透明的口袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标着数 1， 2， 3 （ 1）请你在转盘的四个扇形中分 别填入一个适当的实数，使得转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为 ； （ 2）在（ 1）的情况下，转动的转盘停止后，指针指向的数记为 m；从口袋中随机摸出一个小球，将标着的数记为 n求点（ m， n）落在第四象限的概率 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【专题】计算题 【分析】（ 1）由于扇形被平均分为 4 份，所以所填四个数中有 2 个负数即可满足要求； （ 2）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出点 （ m， n）落在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（ 1）如图 ，转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为 ； 第 24 页（共 32 页） （ 2）画树状图： 共有 12 种等可能的结果数，其中点（ m， n）落在第四象限的结果数为 2， 所以点（ m， n）落在第四象限的概率 = = 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 24如图，在 ， C， A=30，以 直径的 O 交 点 D，交 点 E，连结 点 B 作 行于 O 于点 P，连结 （ 1）求证： C； （ 2）求 度数 【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质 【专题】证明 题 【分析】（ 1）连结 据直径所对的圆周角为直角得到 0，而 C，根据等腰进行的性质即可得到 D； （ 2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出 5，再根据圆内接四边形的性质得到 0，然后利用平行线的性质得到 0，所以 5，于是可判断 等腰直角三角形，则 0 【解答】（ 1）证明：连结 图， O 的直径， 0，即 C， 第 25 页（共 32 页） D； （ 2）解： 0， C， （ 180 30） =75， 四边形 圆 O 的内接四边形， 0， 0， 5， P， 等腰直角三角形， 0 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半也考查了等腰三角形的性质 25如图，等腰三角形 ， C， 分 点 D，在线段 任取一点 P（点 A 除外），过点 P 作 别交 点 E 和点 F，作 点 Q，连接 （ 1）求证：四边形 菱形； （ 2）当点 P 在何处时，菱形 面积为四边形 积的一半？ 第 26 页（共 32 页） 【考点】菱形的判定与性质 【分析】（ 1）先证出四边形 平行四边形，关键是找一组邻边相等，由 分 证 出 P，即可得出结论； （ 2） S 菱形 Ph， S 平行四边形 Fh，若菱形 面积为四边形 积的一半，则此 P 为 点时， S 菱形 S 四边形 【解答】（ 1）证明： 四边形 平行四边 形 C， 分 P， 四边形 菱形 （ 2）解： P 为 点时， S 菱形 S 四边形 四边形 菱形， 又 四边形 平行四边形 作 N，如图所示： 则 S 菱形 PN= S 四边形 第 27 页（共 32 页） 【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键 26光明初中学生中午用餐需长时间排队等候经调查统计发现，每天开始售饭时，约有 300 名学生排队等候购饭，同时有新的学生不断进入餐厅等候购饭，新增购饭人数 y（人）与售饭时间 x（分）的函数关系如图 所示；每个窗 口购完饭的人数 y（人）与售饭时间 x（分）的函数关系如图 所示某天餐厅里等候购饭的人数 y（人）与售饭时间 x（分）的函数关系如图 所示，已知开始售饭后的 a 分钟内开放了两个窗口 （ 1）求 a 的值； （ 2）求售饭到第 60 分钟时，餐厅排队等候购饭的学生数； （ 3）该校本着 “以人为本，方便学生 ”的宗旨，决定增设售饭窗口若要在开始售饭后半小时内让所有排队购饭的学生都能购到饭，以便后来到餐厅的学生能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售饭窗口？ 【考点】一 次函数的应用 【分析】（ 1） a 分钟新增 4a 人，两个窗口售出 2 3a 份饭，此时窗口有 240 人，据此得方程求解； （ 2）运用待定系数法求直线解析式，求 x=60 时的函数值； （ 3）根据题意列不等式求解 【解答】解：（ 1）由图 可知，每分钟新增购饭人数 4 人，每个售饭窗口每分钟售饭 3 人，则： 300+4a 3 2a=240 解这个方程，得 a=30； 第 28 页（共 32 页） （ 2）设第 30 78 分钟时，餐厅排队等候售饭的人数 y 与售饭时间 x 的函数关系式 y=kx+b（ k 0）， 则 30k+b=240； 78k+b=0 解得 k= 5， b=390 y= 5x+390 当 x=60 时， y= 5 60+390=90 因此，售饭到第 60 分钟时，餐厅排队等候购饭有 90 人； （ 3）设需同时开放 n 个售饭窗口，依题意得： 300+30 4 30 3 n， 解得 n ， 因此至少同时开放 5 个售饭窗口 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，是函数与实际问题的综合应用大题，要注意函数图象的运用及方程、不等式的联合运用 27如图， ， P 从点 A 出 发，沿 向匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿 向匀速运动，它们运动的速度为 1cm/s设运动的时间为 x（ s）， 面积为 y（ 当点 Q 运动到点 A 时， P， Q 都停止运动 （ 1）若 ，求 x 的值； （ 2）求 y 与 x 的函数关系式； （ 3）若 4 y ，请直接写出 x 的取值范围 【考点】四边形综合题 【分析】（ 1）根据题意证明 据相似三角形的性质列出比例式，求出 x 的值； （ 2）根据勾股定理求出 根据三角形的面积公式求出 据平行线的性质求出 合图形用 x 表示出 y； （ 3）根据二次函数的性质求出函数 y 的最小值和当 y=的自变量 x，确定 x 的取值范围 第 29 页（共 32 页） 【解答】解：（ 1） Q=x， ， ， x， 四边形 平行四边形， B=5， D=3， ，即 ， 解得 x= ； （ 2）作 E， H， =4