湖南省衡阳市2016年高考数学一模试卷（理科）含答案解析

湖南省衡阳市 2016 年高考数学一模试卷（理科） （解析版） 一、选择题 1设 A=x| 1x 2， B=x|x a，若 AB，则 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D 1 a2 2如图，在复平面内，复数 应的点分别是 A 和 B，则 =（ ） A + i B + i C i D i 3为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两同学各自独立地做 100 次和 150次试验，并且利用线性回归方法，求 得回归直线分别为 知两个人在试验中发现对变量 x 的观测值的平均值都是 s，对变量 y 的观测值的平均值都是 t，那么下列说法正确的是（ ） A s， t） B 交点不是（ s， t） C D 4如图， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、 B若 等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 4 B C D 5上边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 15， 18，则输出的 a 为（ ） A 0 B 1 C 3 D 15 6一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系 O 的坐标分别是（ 0， 0， 1），（ 1， 0， 0），（ 2， 2， 0），（ 2， 0， 0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从 x 轴的正方向向负方向看为正视方向，从 z 轴的正方向向负方向看为俯视方向，以 面为投影面，则得到俯视图可以为（ ） A B C D 7已知四个数 1， 2 成等差数列，四个数 1， 2 成等比数列，则点 x1， 直线 y=x 的位置关系是（ ） A 直线 y=x 的下方 B 直线 y=x 的下方， 直线 y=x 的上方 C 直线 y=x 的上方， 直线 y=x 的下方 D 在直线 y=x 的上方 8 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c（其中 c 为斜边），分别以 a， b， c 边所在的直 线为旋转轴，将 转一周得到的几何体的体积分别是 （ ） A 2= C D 9已知（ 3x 1） n=a0+nN*），设（ 3x 1） n， Tn=a1+a2+nN*）， 大小关系是（ ） A n 为奇数时， n 为偶数时， n 10设点 P（ x， y）是曲线 a|x|+b|y|=1（ a 0， b 0）上的动点，且满足，则 a+ b 的取值范围为（ ） A 2， +） B 1， 2 C 1， +） D（ 0， 2 11已知函数 f（ x） =2数 g（ x） = 不存在 ，使得 f（ g（ 则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 2， 3） B（ 6， 0） C 2， 3 D 6， 0 12设函数 x） =x） = ， x） = ，x） = |2x） |，等差数列 ， ， ， ） |（ k=1，2， 3， 4），用 示数列 前 2014 项的和，则（ ） A 1=2 B 1=2 C =2 D = 二、填空题 13已知 ， ，则向量 在向量 上的投影为 14已知数列 足 ，则数列 通项公式为 15若函数 f（ x） =区间 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 16已知集合 M=f（ x） |x） y） =f（ x+y） f（ x y）， x， yR，有下列命题 若 x） = 则 x） M； 若 x） =2x，则 x） M； 若 x） M，则 y=x）的图象关于原点对称； 若 x） M 则对于任意不等的实数 有 0 成立 其中所有正确命题的序号是 三、解答题 17（ 12 分）（ 2016 衡阳一模）在 ，已知 ， ， ，延长 ，延长 E，连结 （ 1）求角 B 的值； （ 2）若四边形 面积为 ，求 最大值 18（ 12 分）（ 2016 河北区三模）直三棱柱 ， B=， E， F 分别是 中点， D 为棱 （ 1）证明： （ 2）是否存在一点 D，使得平面 平面 成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由 19（ 12 分）（ 2016 江门模拟）如图，李先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到公司上班路上有 条路线， 线上有 个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ； 线上有 路口遇到红灯的概率依次为 ， （ 1）若走 线，求最多遇到 1 次红灯的概率； （ 2）若走 线，求遇到红灯次数 X 的数学期望； （ 3）按照 “平均遇到红灯次数最少 ”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由 20（ 12 分）（ 2016 衡阳一模）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点 A（ ， ），离心率为 ，点 别为其左右焦点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 x 上存在两个点 M， N，椭圆上有两个点 P， Q 满足， M， N， P，Q， 点共线，且 四边形 积的最小值 21（ 12 分）（ 2016 衡阳一模）已知 a 为实数，函数 f（ x） =4x （ 1）设 g（ x） =（ a 2） x，若 ，使得 f（ x） g（ x）成立，求实数 a 的取值范围 （ 2）定义：若函数 m（ x）的图象上存在两点 A、 B，设线段 中点为 P（ 若 m（ x）在点 Q（ m（ 处的切线 l 与直线 行或重合，则函数 m（ x）是 “中值平衡函数 ”，切线 l 叫做函数 m（ x）的 “中值平衡切线 ”试判断函数 f（ x）是否是 “中值平衡函数 ”？若是，判断函数 f（ x）的 “中值平衡切线 ”的条数；若不是，说明理由 四 选修 4何证明选讲 22（ 10 分）（ 2016 衡阳一模）如图， P 为圆外一点， 圆的切线，切点为 D， 圆的一条直径，过点 P 作 垂线交圆于 C、 E 两点（ C、 D 两点 在 同侧），垂足为 F，连接 点 G （ 1）证明： D； （ 2）若 D，求证：线段 相平分 选修 4标系与参数方程 23（ 2016 衡阳一模）在极坐标系中，曲线 C： =2a 0）， l： ） = ，C 与 l 有且仅有一个公共点 （ ）求 a； （ ） O 为极点， A， B 为 C 上的两点 ，且 ，求 |最大值 选修 4等式选讲 24（ 2016 福建校级模拟）设函数 f（ x） =|2x a|+|2x+1|（ a 0）， g（ x） =x+2 （ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集； （ 2）若 f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 2016 年湖南省衡阳市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设 A=x| 1x 2， B=x|x a，若 AB，则 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D 1 a2 【分析】 A=x| 1x 2， B=x|x a，若 AB，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到 a 与 2 的关系 【解答】 解： A=x| 1x 2， B=x|x a，若 AB， 两个集合有公共元素， a 要在 2 的左边， a 2， 故选 A 【点评】 本题考查集合关系中的参数问题，本题解题的关键是可以借助于数轴来看出两者之间的关系，注意端点处的值是否包含 2如图，在复平面内， 复数 应的点分别是 A 和 B，则 =（ ） A + i B + i C i D i 【分析】 由图形可得： 2 i， z2=i再利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解：由图形可得： 2 i， z2=i = = = = i， 故选： C 【点评】 本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义，考查了计算能力，属于基础题 3为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两同学各自独立地做 100 次和 150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 知两个人在试验中发现对变量 x 的观测值的平均值都是 s，对变量 y 的观测值的平均值都是 t，那么下列说法正确的是（ ） A s， t） B 交点不是（ s， t） C D 【分析】 由题意知两组数据的样本中心点都是（ s， t），根据数据的样本中心点一定在线性回归直线上，得到回归直线 过点（ s， t），得到结论 【解答】 解： 两组数据变量 x 的观测值的平均值都是 s， 对变量 y 的观测值的平均值都是 t， 两组数据的样本中心点都是（ s， t） 数据的样本中心点一定在线性回归直线上， 回归直线 过点（ s， t） 两条直线有公共点（ s， t） 故选 A 【点评】 本题考查线性回归方程， 考查线性回归方程过这组数据的样本中心点，本题是一个基础题，没有运算只有理论知识的应用 4如图， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、 B若 等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 4 B C D 【分析】 由双曲线的定义，可得 1A 1B=2a， a， a，c，再在 应用余弦定理得， a， c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求 【解答】 解：因为 等边三角形，不妨设 F2=m， A 为双曲线上一点， 1A 1B=2a， B 为双曲线上一点，则 a， a， c， 由 ，则 ， 在 应用余弦定理得： 4622 得 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题 5上边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 15， 18，则输出的 a 为（ ） A 0 B 1 C 3 D 15 【分析】 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a， b 的值，即可得到结论 【解答】 解：由 a=15， b=18，不满足 a b， 则 b 变为 18 15=3， 由 b a，则 a 变为 15 3=12， 由 b a，则 a 变为 12 3=9， 由 b a，则 a 变为 9 3=6， 由 b a，则 a 变为 6 3=3， 由 a=b=3， 则输出的 a=3 故选： C 【点评】 本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于 基础题 6一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系 O 的坐标分别是（ 0， 0， 1），（ 1， 0， 0），（ 2， 2， 0），（ 2， 0， 0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从 x 轴的正方向向负方向看为正视方向，从 z 轴的正方向向负方向看为俯视方向，以 面为投影面，则得到俯视图可以为（ ） A B C D 【分析】 作出棱锥的直观图，找出各点在 面内的投影得出俯视图 【解答】 解：作出棱锥的直观图如图所示： 则 A（ 0， 0， 1）在平面 的投影为原点 O， 三棱锥的俯视图为等腰直角 中棱 侧面 住，故化成虚线 故选： D 【点评】 本题考查了三视图的定义，简单几何体的三视图，属于基础题 7已知四个数 1， 2 成等差数列，四个数 1， 2 成等比数列，则点 x1， 直线 y=x 的位置关系是（ ） A 直线 y=x 的下方 B 直线 y=x 的下方， 直线 y=x 的上方 C 直线 y=x 的上方， 直线 y=x 的下方 D 在直线 y=x 的上方 【分析】 根据等比数列和等差数列的性质，求出 值，并比较大小，根据点与直线的位置关系进行判断即可 【解答】 解： 四个数 1， 2 成等差数列， 则 2=1+3d，即 d= ，则 + = + = 四个数 1， 2 成等比数列， 则 2= q= 1， 则 ， ） 2= ， 则 ， ）， ， ）， （ ） 3= 2， ，即 点 直线 y=x 的下方， （ ） 3= 4， ，即 点 直线 y=x 的下方， 故选： A 【点评】 本题主要考查点与直线的位置关系的判断，根据等差数列和等比数列求出对应点的坐标是解决本题的关键 8 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c（其中 c 为斜边），分别以 a， b， c 边所在的直线为旋转轴，将 转一周得到的几何体的体积分别是 （ ） A 2= C D 【分析】 利用直角三角形的三边分别为 a、 b、 c， a2+b2=c 为斜边，分别求得 3 的值，可得结论 【解答】 解：因为直角三角形的三边分别为 a、 b、 c， a2+b2= c 为斜边， 则以边 c 所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 （ ） 2c= 以边 a 所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 以边 b 所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为 ， 故选： D 【点评】 本题考查几何体的体积的求法与大小关系，考查计算能力，属于中档题 9已知（ 3x 1） n=a0+nN*），设（ 3x 1） n， Tn=a1+a2+nN*）， 大小关系是（ ） A n 为奇数时， n 为偶数时， n 【分析】 由题意可得 n，令 x=0，可得 再令 x=1 可得 a0+a1+a2+，从而求得 Tn=a1+a2+较大小即可 【解答】 解：（ 3x 1） n 展开式的二项式系数和为 n，令 x=1， Tn=a1+a2+ 1） n=2n（ 1） n，（ nN*）， 所以 n 为奇数时， n 为偶数时， 故选： C 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，关于系数问题常常采用变量赋值的方法，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入 10设点 P（ x， y）是曲线 a|x|+b|y|=1（ a 0， b 0）上的动点，且满足，则 a+ b 的取值范围为（ ） A 2， +） B 1， 2 C 1， +） D（ 0， 2 【分析】 曲线 a|x|+b|y|=1（ a 0， b 0），对 x， y 分类讨论，画出图菱形 ，设 M（ 1， 0）， N（ 1， 0），可得： 2|2 ，|2 ，转化为含有 a， b 的不等式解出 a， b 的范围，则答案可求 【解答】 解：曲线 a|x|+b|y|=1（ a 0， b 0）， 当 x， y0 时，化为 ax+；当 x0， y0 时，化为 ； 当 x0， y0 时，化为 ax+；当 x0， y0 时，化为 画出图象如图，表示菱形 由 ， 设 M（ 1， 0）， N（ 1， 0）， 则 2|2 ， |2 ， ， 2 ， 解得 b1， a1， a+b1+1=2 a+b 取值范围为 2， +） 故选： A 【点评】 本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式，考查了数形 结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11已知函数 f（ x） =2数 g（ x） = 不存在 ，使得 f（ g（ 则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 2， 3） B（ 6， 0） C 2， 3 D 6， 0 【分析】 先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在 ，使得 f（ =g（ 得到关于 a 的不等式解得即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =2数 g（ x） = f（ x） =2a 2a， g（ x） = 32 3（ x+ ） 2+ ， 不存在 ，使得 f（ =g（ 2a ， 解得 6a0， 故选： D 【点评】 本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题 12设函数 x） =x） = ， x） = ，x） = |2x） |，等差数列 ， ， ， ） |（ k=1，2， 3， 4），用 示数列 前 2014 项的和，则（ ） A 1=2 B 1=2 C =2 D = 【分析】 根等差数列的性质和函数的单调性即可求出 问题得以判断 【解答】 解：等差数列 ， ， ，可知该数列为递增数列，且 ， ， ， 对于 x） =函数在 0， 1上单调递增，于是有 ） 0， 于是 bn=） p1= =1 0=1， 对于 x），该函数在 0， 上递增， 于是 P2= + = 0+ 0=1 对于 x），该函数在 0， 上递减，在（ ， 1上为常数 类似有 P3= =0） ） =3 1=2 对于 x），该函数在 0， 和 ， 递增，在 ， 和 ， 1上递减，且是以 为周期的周期函数， 故只需讨论 0， 的情况，再 2 倍即可 仿前可知， + 2（ =1 故 1， 综上所述 1=2 ， 故选： A 【点评】 本题考查了等差数列的性质，函数的单调性，绝对值的性质，考查了学生的转化能力和运算能力，属于难题 二、填空题 13已知 ， ，则向量 在向量 上的投影为 【分析】 将 | |代入数量积公式得出 | | = 【解 答】 解： =2| | = 1， | | = 即向量 在向量 上的投影为 故答案为： 【点评】 本题考查了投影的定义，向量的数量积公式，属于基础题 14已知数列 足 ，则数列 通项公式为 1 【分析】 把已知递推式两边同时除以 2n，得到数列数列 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，由等差数列的 通项公式求出 【解答】 解： 满足 ， =1，（ n2，且 nN*）， =1， 数列 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， =1+n 1=n， an=1， 当 n=1 时， 成立， an=1， 故答案为： 1 【点评】 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题 15若函数 f（ x） =区间 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 1，+） 【分析】 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解 f（ x） 0 恒成立即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） = 函数 f（ x） =区间 上单调递增， f（ x） 0 在区间 上恒成立， 即 f（ x） =， 即 即 a =x ， 即 1， 则 a1， 故答案为： 1， +） 【点评】 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键 16已知集合 M=f（ x） |x） y） =f（ x+y） f（ x y）， x， yR，有下列命题 若 x） = 则 x） M； 若 x） =2x，则 x） M； 若 x） M，则 y=x）的图象关于原点对称； 若 x） M 则对于任意不等的实数 总有 0 成立 其中所有正确命题的序号是 【分析】 可验证时否符合集合的公共属性； 证明是奇函数 可用特例来否定是减函数 【解答】 解： 当 x） = 时可计算 x） y）与 f（ x+y） f（ x y）不恒等 当 f（ x） =2x 时， x） y） =f（ x+y） f（ x y）成立 令 x=y=0，得 f（ 0） =0 令 x=0，则由 x） y） =f（ x+y） f（ x y）得： f（ y） f（ y） = y） 所以 f（ x）是奇函数，其图象关于原点对称 如函数 f（ x）满足条件： x） y） =f（ x+y） f（ x y），但在定义域上是增函数 故只有 正确 故答案为： 【点评】 本题主要考查元素与集合的关系及函数奇偶性、单调性的判断另外在解客观题时可用特殊法，提高解题效率 三、解答题 17（ 12 分）（ 2016 衡阳一模）在 ，已知 ， ， ，延长 ，延长 E，连结 （ 1）求角 B 的值； （ 2）若四边形 面积为 ，求 最大值 【分析】 （ 1）由余弦定理和已知条件求得 值，进而求得 B （ 2）设出 示出 面积建立等式，根据基本不等式求得 最大值 【解答】 解：（ 1）由余弦定理得： 所以 B= （ 2）设 AE=x， CD=y， 则 S 28 = = （ 2+x）（ 8+y） （ 2+x）（ 8+y） =49， 33 x+2y8 ， 330， 3， ，当且仅当 x= ， y=6 时，等号成立 最大值为 9 【点评】 本题主要考查了余弦定理的应用，基本不等式的应用在运用基本不等式时注意条件的满足 18（ 12 分） （ 2016 河北区三模）直三棱柱 ， B=， E， F 分别是 中点， D 为棱 （ 1）证明： （ 2）是否存在一点 D，使得平面 平面 成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由 【分析】 （ 1）先证明 后以 A 为原点建立空间直角坐标系 A 能写出各点坐标，由 与 共线可得 D（ ， 0， 1），所以 =0，即 （ 2）通过计算，面 法向量为 可写成 =（ 3， 1+2， 2（ 1 ），又面 法向量 =（ 0， 0， 1），令 |， |= ，解出 的值即可 【解答】 （ 1）证明： 又 ， 面 又 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A 则有 A（ 0， 0， 0）， E（ 0， 1， ）， F（ ， ， 0）， 0， 0， 1）， 1， 0， 1）， 设 D（ x， y， z）， 且 0， 1，即（ x， y， z 1） =（ 1， 0， 0）， 则 D（ ， 0， 1），所以 =（ ， ， 1）， =（ 0， 1， ）， = =0，所以 （ 2）结论：存在一点 D，使得平面 平面 成锐二面角的余弦值为 理由如下： 设面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， =（ ， ， ）， =（ ， 1）， ，即 ， 令 z=2（ 1 ），则 =（ 3， 1+2， 2（ 1 ） 由题可知面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 平面 平面 成锐二面角的余弦值为 ， |， |= = ，即 = ， 解得 或 （舍），所以当 D 为 点时满足要求 【点评】 本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题 19（ 12 分）（ 2016 江门模拟）如图，李先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到公司上班路上有 条路线， 线上有 个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ； 线上有 路口遇到红灯 的概率依次为 ， （ 1）若走 线，求最多遇到 1 次红灯的概率； （ 2）若走 线，求遇到红灯次数 X 的数学期望； （ 3）按照 “平均遇到红灯次数最少 ”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由 【分析】 （ 1）利用二项分布即可得出； （ 2）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出； （ 3）由于走路线 服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线 【解答】 解：（ 1）设 “走 线最多遇到 1 次红灯 ”为事件 A，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况 则 ， 所以走 线，最多遇到 1 次红灯的概率为 （ 2）依题意， X 的可能取值为 0， 1， 2 ， ， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 所以 （ 3）设选择 线遇到红灯次数为 Y，随机变量 Y 服从二项分布 Y ，所以 因为 以选择 线上班最好 【点评】 熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键 20（ 12 分）（ 2016 衡阳一模）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点 A（ ， ），离心率为 ，点 别为其左右焦点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 x 上存在两个点 M， N，椭圆上有两个点 P， Q 满足， M， N， P，Q， 点共线，且 四边形 积的最小值 【分析】 （ 1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及 a， b， c 的关系，解方程，即可得到椭圆方程； （ 2）讨论直线 斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线 率存在时，设直线方程为： y=k（ x 1）（ k0）联立抛物线方程和椭圆方程，运 用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值 【解答】 解：（ 1）由题意得： ， b2= b=c， 因为椭圆过点 A（ ， ）， 则 + =1， 解得 c=1，所以 ， 所以椭圆 C 方程为 （ 2）当直线 率不存在时，直线 斜率为 0， 易得 ， 当直线 率存在时，设直线方程为： y=k（ x 1）（ k0） 与 x 联立得 2） x+， 令 M（ N（ 则 ， ， | 即有 ， 直线 方程为： y= （ x 1）， 将直线与椭圆联立得，（ ） 4x+2 2， 令 P（ Q（ x3+， ， 由弦长公式 | ， 代入计算可得 ， 四边形 面积 S= | ， 令 1+k2=t，（ t 1）， 上式 = ， 所以 最小值为 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积的最小值的求法，考查运算求解能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2016 衡阳一模）已知 a 为实数，函数 f（ x） =4x （ 1）设 g（ x） =（ a 2） x，若 ，使得 f（ x） g（ x）成立，求实数 a 的取值范围 （ 2）定义：若函数 m（ x）的图象上存在两点 A、 B，设线段 中点为 P（ 若 m（ x）在点 Q（ m（ 处的切线 l 与直线 行或重合，则函数 m（ x）是 “中值平衡函数 ”，切线 l 叫做函数 m（ x）的 “中值平衡切线 ”试判断函数 f（ x）是否是 “中值平衡函数 ”？若是，判断函数 f（ x）的 “中值平衡切线 ”的条数；若不是，说明理由 【分析】 （ 1）由题意可得（ x a2x，记 F（ x） =x 出导数，求得最小值1，运用参数分离可 得 a ，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到 a 的范围； （ 2）求出 f（ x）的导数，假设 f（ x）是 “中值平衡函数 ”，则存在 A（ f（ ， B（ x2，f（ （ 0 求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得，讨论 a 是否为 0，构造函数求出导数，判断单调性，结合新定义，即可得到所求 “中值平衡切线 ”的条数 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） g（ x），得 ， 记 F（ x） =x x 0）， ， 当 0 x 1 时， F（ x） 0， F（ x）递减， 当 x 1 时， F（ x） 0， F（ x）递增； 所以 F（ x） F（ 1） =1 0， a ，记 ， ， ， x 2=2（ 1 +xx 0， 时， G（ x） 0， G（ x）递减； x（ 1， e时， G（ x） 0， G（ x）递增； G（ x） （ 1） = 1， aG（ x） 1， 故实数 a 的取值范围为（ ， 1； （ 2）函数 f（ x）的定义域为（ 0， +）， ， 若函数 f（ x）是 “中值平衡函数 ”， 则存在 A（ f（ ， B（ f（ （ 0 使得 ， 即 ， （ ） 当 a=0 时，（ ）对任意的 0 所以函数 f（ x）是 “中值平衡函数 ”，且函数 f（ x）的 “中值平衡切线 ”有无数条； 当 a0 时，有 = 设 t= 1，则方程 在区间（ 1， +）上有解， 记函数 ， 则 ， 所以函数 h（ t）在区间（ 1， +）递增， h（ 1） =0，所以当 t 1 时， h（ t） h（ 1） =0， 即方程 在区间（ 1， +）上无解，即函数 f（ x）不是 “中值平衡函数 ”； 综上所述，当 a=0 时，函数 f（ x）是 “中值平衡函数 ”， 且函数 f（ x）的 “中值平衡切线 ”有无数条； 当 a0 时， f（ x）不是 “中值平衡函数 ” 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数，考查新定义的理解和运用，注意运用分类讨论的思想方法，考查构造函数的方法，属于中档题 四 选修 4何证明选讲 22（ 10 分）（ 2016 衡阳一模）如图， P 为圆外一点， 圆的切线，切点为 D， 圆的一条直径，过点 P 作 垂线交圆于 C、 E 两点（ C、 D 两点在 同侧），垂足为 F，连接 点 G （ 1）证明： D； （