2016年桂林市、崇左市高考数学文科模拟试卷(4月)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年广西桂林市、崇左市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知两集合 ，则 AB=（ ） A 2， 0） B C D 1， +） 2复数 z=（ a+i）（ 1 i）， aR， i 是虚数单位若 |z|=2，则 a=（ ） A 1B 1C 0D 1 3若向量 ， 满足： | |=1，（ + ） ，（ 3 + ） ，则 | |=（ ） A 3B C 1D 4若函数 f（ x） =区间（ 1， +）上单调递减，则 a 的取值范围是（ ） A 1， +） B 1， +） C（ ， 1D（ ， 1 5将函数 f（ x） = 0）的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于点对称，则 的最小值是（ ） A B 1C D 2 6一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A 2B 4C 6+（ 2+ ） D（ 4+2 ） 7如图中， 某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， P 为该题的最终得分当 ， ， p=， 于（ ） 第 2 页（共 20 页） A 11B 10C 8D 7 8不等式组 的解集记为 D，下列四个命题中正确的是（ ） A （ x， y） D， x+2y 2B （ x， y） D， x+2y2 C （ x， y） D， x+2y3D （ x， y） D， x+2y 1 9直线 l 过抛物线 p 0）的焦点 F，与该抛物线及其准线的交点依次为 A、 B、 C，若 |2| |3，则 P=（ ） A B C D 10已知三棱柱 ABC的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 ， 则球 O 的直径为（ ） A 2B C D 4 11已知 双曲线 的两个焦点，以 直径的圆与双曲线一个交点是 P，且 三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A B C 2D 5 12设 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x），且当 x2， 0时， f（ x） = 1，若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0恰有 3 个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， +） C（ 1， ） D（ ， 2） 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13设 等差数列 前 n 项和，若 ， 2，则 于 第 3 页（共 20 页） 14若点（ n， 3）在函数 y=3 的值是 15已知圆 C： 2x+y+1=0，经过点 P（ 3， 4）的直线分别与圆 C 相切于点 A、 B，则三角形 面积等于 16已知正方形 边长为 2，点 P、 Q 分别是边 上的动点，且 ，则 的最小值为 三 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17如图，在四边形 ， ， C=， A=60 （ ）求 值； （ ）求 面积 18有 7 位歌手（ 1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由 550 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委 分为 5 组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 200 150 50 （ ） 为了调查大众评委对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入表 组别 A B C D E 人数 50 100 200 150 50 抽取人数 6 （ ） 在（ ）中，若 A， C 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率 19如图，在四棱锥 P ，平 面 平面 等边三角形，已知 ， （ ）设 M 是 的一点，证明：平面 平面 （ ）求四棱锥 P 体积 20设 a 0 且 a0，函数 （ 1）当 a=2 时，求曲线 y=f（ x）在（ 3， f（ 3）处切线的斜率； （ 2）求函数 f（ x）的极值点 21已知圆 C：（ x+1） 2+0，点 B（ l， 0）点 A 是圆 C 上的动点，线段 垂直平分线与线段 于点 P 第 4 页（共 20 页） （ I）求动点 P 的轨迹 （ ）设 ， N 为抛物线 y=点 N 作抛物线 切线交曲线， Q 两点，求 积的最大值 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图， 直角三角形， 0，以 直径的圆 O 交 点 E， 点 C 边的中点，连接 圆 O 于点 M （ 1）求证： O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）求证： 2MM 选修 4标系与参数方程 23将圆 x2+ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C （ ）写出 C 的参数方程； （ ）设直线 l： 2x+y 2=0 与 C 的交点为 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 l 垂直的直线的极坐标方程 选修 4不等式 24已知定义在 R 上的函数 f（ x） =|x+1|+|x 2|的最小值为 m （ ）求 m 的值； （ ）若 a， b， c 是正实数，且满足 a+b+c=m，求证： a2+b2+ 第 5 页（共 20 页） 2016 年广西桂林市、崇左市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 参考答案与试题解析 一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知两集合 ，则 AB=（ ） A 2， 0） B C D 1， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得：（ x 1）（ x+2） 0， 解得： 2x1，即 A= 2， 1， 由 B 中不等式解得： x 0 或 x ，即 B=（ ， 0） （ ， +）， 则 AB= 2， 0） （ ， 1， 故选： C 2复数 z=（ a+i）（ 1 i）， aR， i 是虚数单位若 |z|=2，则 a=（ ） A 1B 1C 0D 1 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解： z=（ a+i）（ 1 i） =a+1+（ 1 a） i， |z|=2= ， 化为 解得 a=1 故选： D 3若向量 ， 满足： | |=1，（ + ） ，（ 3 + ） ，则 | |=（ ） A 3B C 1D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意利用两个向量垂直的性质求得 1+ =0， 3 + =0，从而求得 | |的值 【解答】 解： 向量 ， 满足： | |=1，（ + ） ， （ + ） = + =1+ =0， = 1 （ 3 + ） ， 3 + = 3+ =0， 第 6 页（共 20 页） =3， | |= ， 故选： B 4若函数 f（ x） =区间（ 1， +）上单调递减，则 a 的取值范围是（ ） A 1， +） B 1， +） C（ ， 1D（ ， 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 求导数，利用函数 f（ x）在区间（ 1， +）上递减，可得 f（ x） = a0 在区间（ 1， +）上恒成立，即可求出实数 a 的取值范围 【解答】 解： f（ x） =aR）， f（ x） = a， 函数 f（ x）在区间（ 1， +）上递减， f（ x） = a0 在区间（ 1， +）上恒成立， a1， 故选： A 5将函数 f（ x） = 0）的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于点对称，则 的最小值是（ ） A B 1C D 2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据函数 y=x+）的图象变换规律，所得函数的 解析式为 y=x ），再根据正弦函数的图象的对称性，求得 的值 【解答】 解：将函数 f（ x） = 0）的图象向右平移 个单位长度， 可得 y=x ） =x ）的图象， 再根据所得图象关于点 对称，可得 =kZ， 求得 =2k， kZ，结合所给的选项，可取 =2， 故选： D 6一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） 第 7 页（共 20 页） A 2B 4C 6+（ 2+ ） D（ 4+2 ） 【考点】 棱柱、棱锥、棱 台的侧面积和表面积 【分析】 由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半 该几何体的表面积 = + + =6+ 故选： C 7如图中， 某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， P 为该题的最终得分当 ， ， p=， 于（ ） A 11B 10C 8D 7 【考点】 选择结构 【分析】 利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分 【解答】 解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分根据 ， ，不满足 |2，故进入循环体，输入 断 x1，距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分因此由 ，解出 故选 C 8不等式组 的解集记为 D，下列四个命题中正确的是（ ） A （ x， y） D， x+2y 2B （ x， y） D， x+2y2 C （ x， y） D， x+2y3D （ x， y） D， x+2y 1 【考点】 集合的表示法；全称命题；特称命题 第 8 页（共 20 页） 【分析】 作出不等式组 的表示的区域：对四个选项逐一分析即可 【解答】 解：作出不等式组 的表示的区域： 由图知，区域 D 为直线 x+y=1 与 x 2y=4 相交的上部角型区域， 显然，区域 D 在 x+2y 2 区域的上方， 故 A： （ x， y） D， x+2y 2 成立 在直线 x+2y=2 的右上方区域，：（ x， y） D， x+2y2， 故 B（ x， y） D， x+2y2 错误 由图知， （ x， y） D， x+2y3 错误 x+2y 1 的区域（左下方的虚线区域 ）恒在区域 D 下方， 故 （ x， y） D， x+2y 1 错误 故选： A 9直线 l 过抛物线 p 0）的焦点 F，与该抛物线及其准线的交点依次为 A、 B、 C，若 |2| |3，则 P=（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 如图所示，设直线 方程为： y=k ，（ k0）与抛物线方程联立化为： 2p+x+ =0，由 =3，由 |2|可得 = ，可得 利用根与系数的 关系即可得出 【解答】 解：如图所示， 设直线 方程为： y=k ，（ k0） 第 9 页（共 20 页） 联立 ，化为： 2p+x+ =0， =3， |2| = ， 可得 = ， 解得 p= 故选： B 10已知三棱柱 ABC的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 ， 则球 O 的直径为（ ） A 2B C D 4 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，即可得出结论 【解答】 解：因为三棱柱 个顶点都在球 O 的球面上，若 ， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直， 外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面 中点是球心， 即侧面 过球的球心，球的直径是侧面 对角线的长， 因为 ， ， =4， 所以球的直径为： 4 故选： D 第 10 页（共 20 页） 11已知 双曲线 的两个焦点，以 直径的圆与双曲线一个交点是 P，且 三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A B C 2D 5 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 通过 | | |等差数列，分别设为 m d， m， m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出 m=4d=8a， c= ，由此求得离心率的值 【解答】 解 ：因为 三条边长成等差数列，不妨设 | | |等差数列，分别设为 m d， m， m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知： m（ m d） =2a， m+d=2c，（ m d） 2+ m+d） 2， 解得 m=4d=8a， c= ，故离心率 e= =5， 故选： D 12设 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x），且当 x2， 0时， f（ x） = 1，若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） x+2） =0恰有 3 个不同的实数解，则 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， +） C（ 1， ） D（ ， 2） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由已知中 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x），我们可以得到函数 f（ x）是一个周期函数，且周期为 4，则不难画出函数 f（ x）在区间（2， 6上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程 f（ x） =0恰有 3 个不同的实数解，转化为函数 f（ x）的与函数 y=） 的图象恰有 3 个不同的交点，数形结合即可得到实数 a 的取值范围 【解答】 解： 对于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x）， 函数 f（ x）是一个周期函数，且 T=4 又 当 x 2， 0时， f（ x） = 1，且函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数， 故函数 f（ x）在区间（ 2， 6上的图象如下图所示： 若在区间（ 2， 6内关于 x 的方程 f（ x） =0 恰有 3 个不同的实数解 则 3， 3， 解得： a 2 故选 D 第 11 页（共 20 页） 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13设 等差数列 前 n 项和，若 ， 2，则 于 3 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由等差数列的求和公式和已知条件可得公差 d 的方程，解方程可得 d，由通项公式可得 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， ， 2， d=10+10d=12， 解得 d= ， +5 =3， 故答案为： 3 14若点（ n， 3）在函数 y=3则 的值是 2 【考点】 指数函数的图象与性质 【分析】 根据点（ n， 3）在函数 y=3n 的值，再代人计算 的值 【解答】 解： 点（ n， 3）在函数 y=3 3n=3， 解得 n=1， = 故答案为： 15已知圆 C： 2x+y+1=0，经过点 P（ 3， 4）的直线分别与圆 C 相切于点 A、 B，则三角形 面积等于 5 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 圆 C 圆心 C（ 1， 2），半径 r=2，当过点 P（ 3， 4）的切线的斜率不存在时，切线方程为 x=3，把 x=3 代入圆 C，得 A（ 3， 2），当过点 P（ 3， 4）的切线的斜率存在时，设切线方程为 y=k（ x 3） +4，由圆心（ 1， 2）到切线距离 d= =2，得切线方程为 y= （ x 3） +4，把 y= 代入圆 C 得 B（ ， ），由此能求出三角形面积 【解答】 解：圆 C： 2x+y+1=0 的圆心（ 1， 2），半径 r= =2， 当过点 P（ 3， 4）的切线的斜率不存在时，切线方程为 x=3， 圆心 C（ 1， 2）到 x=3 的距离为 2=r，满足条件， 第 12 页（共 20 页） 把 x=3 代入圆 C： 2x+y+1=0，得 y+4=0，解得 y= 2， A（ 3， 2）， 当过点 P（ 3， 4）的切线的斜率存在时，设切线方程为 y=k（ x 3） +4， 圆心（ 1， 2）到切线距离 d= = =2， 解得 k= ， 切线方程为 y= （ x 3） +4， 把 y= 代入圆 C： 2x+y+1=0，得 250x+9=0， 解得 x= ， y= ， B（ ， ）， =（ ， ）， =（ 2， 0）， ， = = = ， = = ， S = = 三角形 面积等于 故答案为： 16已知正方形 边长为 2，点 P、 Q 分别是边 上的动点，且 ，则 的最小值为 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立坐标系，如图所示根据 ，可得 =0，求得 x=y化简 为（ x 1） 2+3，利用二次函数的性质求得它的最小值 【解答】 解：如图，分别以 在的直线为 x、 y 轴，建立坐标系， 如图所示： 则 A（ 0， 0）、 B（ 2， 0）、 C（ 2， 2）、 D （ 0， 2）， 设点 P（ x， 0）、 Q（ 2， y）， x、 y0， 2， =（ x， 2）， =（ 2， y） 由 ，可得 =2x 2y=0，即 x=y =（ x 2， 2） （ x 2， y） =（ x 2） 2+2y=2x+4=（ x 1） 2+33， 则 的最小值为 3， 故答案为： 3 第 13 页（共 20 页） 三 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17如图，在四边形 ， ， C=， A=60 （ ）求 值； （ ）求 面积 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 （ ）由余弦定理求得 由正弦定理求得 值； （ ）由余弦定理求得 而求得 后根据三角形的面积公式可得答案 【解答】 解：（ ）已知 A=60， 由余弦定理得 2， 解得 ， 由正弦定理， ， 所以 = （ ）在 ， 2 所以 7=4+4 222， 因为 C（ 0， ），所以 ， 所以， 面积 第 14 页（共 20 页） 18有 7 位歌手（ 1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由 550 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为 5 组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 200 150 50 （ ） 为了调查大众评委对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入表 组别 A B C D E 人数 50 100 200 150 50 抽取人数 6 （ ） 在（ ）中，若 A， C 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手， 现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）利用分层抽样的性质能求出结果 （ ） A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手，则从 3 人中任选 1 人，求出支持 1 号歌手的概率， C 组抽取的 12 人中有 2 人支持 1 号歌手，则从 12 人中任选 2 人，求出支持 1 号歌手的概率，由此能求出从 A， C 两组抽样评委中，各自任选一人，则这 2 人都支持 1 号歌手的概率 【解答】 解：（ ）答对一空得 组别 A B C D E 人数 50 100 200 150 50 抽取人数 3 6 12 9 3 （ ） A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手，则从 3 人中任选 1 人，支持 1 号歌手的概率为 C 组抽取的 12 人中有 2 人支持 1 号歌手，则从 12 人中任选 2 人，支持 1 号歌手的概率为 现从抽样评委 A 组 3 人， C 组 12 人中各自任选一人，则这 2 人都支持 1 号歌手的概率p= = 从 A， C 两组抽样评委中，各自任选一人，则这 2 人都支持 1 号歌手的概率为 19如图，在四棱锥 P ，平面 平面 等边三角形，已知 ， （ ）设 M 是 的一点，证明：平面 平面 （ ）求四棱锥 P 体积 第 15 页（共 20 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体 积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）欲证平面 平面 据面面垂直的判定定理可知在平面 一直线与平面 根据平面 直的性质定理可知 平面 （ P 作 O，根据平面 平面 直的性质定理可知 面 而 四棱锥 P 高，四边形 梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可 【解答】 （ ）证明：在 ，由于 ， ， ， 又平面 平面 面 面 D， 面 平面 又 面 平面 平面 （ ）解：过 P 作 O，由于平面 平面 平面 四棱锥 P 高 又 边长为 2 的等边三角形， 在底面四边形 ， 以四边形 梯形 在 ，斜边 上的高为 ， 四边形 面积为 故 20设 a 0 且 a0，函数 （ 1）当 a=2 时，求曲线 y=f（ x）在（ 3， f（ 3）处切线的斜率； （ 2）求函数 f（ x）的极值点 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）由已知中函数 ，根据 a=2，我们易求出 f（ 3）及f（ 3）的值，代入即可得到切线的斜率 k=f（ 3） 第 16 页（共 20 页） （ 2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为 0，我们则求出导函数的零点，根据m 0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数 f（ x）的极值点 【解答】 解：（ 1）由已知 x 0 当 a=2 时， 所以 ， 曲线 y=f（ x）在（ 3， f（ 3）处切线的斜率为 ， （ 2） 由 f（ x） =0 得 x=1 或 x=a， 当 0 a 1 时， 当 x（ 0， a）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增； 当 x（ a， 1）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减； 当 x（ 1， +）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增 此时 x=a 是 f（ x）的极大值点， x=1 是 f（ x）的极小值点 当 a 1 时， 当 x（ 0， 1）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增； 当 x（ a， 1）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减； 当 x（ a， +）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增 此时 x=1 是 f（ x）的极大值点， x=a 是 f（ x）的极小值点 综上，当 0 a 1 时， x=a 是 f（ x）的极大值点， x=1 是 f（ x）的极小值点； 当 a=1 时， f（ x）没有极值点； 当 a 1 时， x=1 是 f（ x）的极大值点， x=a 是 f（ x）的极小值点 21已知 圆 C：（ x+1） 2+0，点 B（ l， 0）点 A 是圆 C 上的动点，线段 垂直平分线与线段 于点 P （ I）求动点 P 的轨迹 （ ）设 ， N 为抛物线 y=点 N 作抛物线 切线交曲线， Q 两点，求 积的最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）由已知可得动点 P 的轨迹 一个椭圆，其中 ， 2c=2，由此能求出动点 P 的轨迹 方程 （ ）设 N（ t， 则 方程为 y=2立方程组，得：（ 4+202020=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形面积的最大值 【解答】 解：（ ）由已知可得， 点 P 满足 第 17 页（共 20 页） 动点 P 的轨迹 中 ， 2c=2 动点 P 的轨迹 （ ）设 N（ t， 则 方程为： y t（ x t）， 整理，得 y=2 联立方程组 ，消去 y 整理得：（ 4+202020=0， 有 ， 而 ， 点 M 到 高为 ， 由 代入化简得： 即 ； 当且仅当 0 时， S 当直线的斜率不存在时， x=t， S S 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4几何证明选讲 22如图， 直角三角形， 0，以 直径的圆 O 交 点 E，点 C 边的中点，连接 圆 O 于点 M （ 1）求证： O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）求证： 2MM 第 18 页（共 20 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接 直径所对的圆周角为直角，得到 而得出D= ，由此证出 0，利用圆内接四边形形的判定定理得到 O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）延长 圆 O 于点 H，由（ 1