上海市黄浦区2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

上海市黄浦区 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有 14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4分，否则一律得零分 1已知集合 A= 1， 3， 2m 1，集合 B=3， 若 BA，则实数 m= 2计算： = 3函数 的反函数 f 1（ x） = 4函数 f（ x） =（ 2 的最小正周期为 5在极坐标系中，直线 （ =1 与直线 的夹角大小为 （结果用反函数值表示） 6已知菱形 | |=1， A= ，则向量 在 上的投影为 7已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方 形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为 1，则其体积 V= 8已知函数 f（ x） =x3+x），若 f（ x）的定义域中的 a、 b 满足 f（ a） +f（b） 3=f（ a） +f（ b） +3，则 f（ a） +f（ b） = 9在代数式（ 42x 5）（ 1+ ） 5的展开式中，常数等于 10若椭圆上的点到焦点的 距离的最小值为 5，最大值为 15，则椭圆的短轴长为 11有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、 2、 3，现任取出 3 个，它们的颜色号码均不相等的概率是 12设离散型随机变量 可能取到值为 1， 2， 3， P（ ） =ak+b（ k=1， 2， 3），若 的数学期望 ，则 a+b= 13正整数 a、 b 满足 1 a b，若关于 x、 y 的方程组 有且只有一组解，则 a 的最大值为 14已知数列 ，若 ， ai=iN*， 2ki 2k+1， k=1， 2， 3， ），则满足 ai+00的 i 的最小值为 二、选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 15已知直角坐标平面上两条直线方程分别为 ， ，那么“ =0 是 “两直线 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 16复数 z= （ mR， i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 17若 三条边 a、 b、 c 满足（ a+b）：（ b+c）：（ c+a） =7： 9： 10，则 ） A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是 锐角三角形也可能是钝角三角形 18若函数 f（ x） =lgx） 2x） 3x） 4x） 的定义域与区间 0， 1的交集由 n 个开区间组成，则 n 的值为（ ） A 2B 3C 4D 5 三、解答题（本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤 19如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点 P 与凳面圆心 O 的连线垂直于凳面和地面，且 P 分细钢管上下两端的比值为 只凳脚与地面所成的角均为 60，若 A、 B、 C 是凳面圆角的三等分点， 8 厘米，求凳面的高度 h 及三根细钢管的总长度（精确到 20已知函数 f（ x） =中 a， b 为非零实常数 （ 1） f（ ） = ， f（ x）的最大值为 ，求 a， b 的值； （ 2）若 a=1， x= 是 f（ x）的图象的一条对称轴，求 其满足 f（ = ，且0， 2 21已知函数 f（ x） =，其中 a 1： （ 1）证明：函数 f（ x）在（ 1， ）上为增函数； （ 2）证明：不存在负实数 得 f（ =0 22已知数列 通项公式为 n n 其中 ： （ 1）试写 出一组 的值，使得数列 的各项均为正数； （ 2）若 、 *，数列 足 ，且对任意 mN*（ m3），均有 出所有满足条件的 （ 3）若 0 列 足 cn=其前 n 项和为 使 ci=（ i， jN*， i j）的 i 和 j 有且仅有 4 组， 、 个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求 最小值 23对于双曲线 C（ a， b） ： =1（ a， b 0），若点 P（ 足 1，则称 P 在 C（ a， b） 的外部，若点 P（ 足 1，则称 C（ a， b） 在的内部； （ 1）若直线 y= 上的点都在 C（ 1， 1） 的外部，求 k 的取值范围； （ 2）若 C（ a， b） 过点（ 2， 1），圆 x2+y2=r 0）在 C（ a， b） 内部及 C（ a， b） 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求 b、 r 满足的关系式及 r 的取值范围； （ 3）若曲线 |（ m 0）上的点都在 C（ a， b） 的外部，求 m 的取值范围 2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有 14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4分，否则一律得零分 1已 知集合 A= 1， 3， 2m 1，集合 B=3， 若 BA，则实数 m= 1 【分析】 根据题意，若 BA，必有 m 1，而 1 不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证 【解答】 解：由 BA， 1， m 1解得 m=1 验证可得符合集合元素的互异性， 此时 B=3， 1， A= 1， 3， 1， BA 满足题意 故答案为： 1 【点评】 本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题 2计算： = 【分析】 分子分母同时除以 3n，原式简化为 ，由此求出值即可 【解答】 解： 故答案为： 【点评】 本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式 3函数 的反函数 f 1（ x） = （ x 1） 3 【分析】 欲求原函数 f（ x） = 的反函数，即从原函数式中反解出 x，后再进行 x， y 互换，即得反函数的解析式 【解答】 解： =y， x=（ y 1） 3， x， y 互换，得 y=（ x 1） 3 故答案为 （ x 1） 3 【点评】 解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤： 1、换： x、 y 换位，2、解：解出 y， 3、标：标出定义域，据此即可求得反函数 4函数 f（ x） =（ 2 的最小正周期为 【分析】 化简函数的表达式为 一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期 【解答】 解：函数 f（ x） =（ 2=1 2 所以函数的最小正周期为： T= ， 故答案为： 【点评】 本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力 5在极坐标系中，直线 （ =1 与直线 的夹角大小为 （结果用反函数值表示） 【分析】 利用直角坐标与极坐标间的关系，把记极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可 【解答】 解：把极坐标方程 （ =1 与 化为普通方程是 x+2y=1 与 y=1； 又直线 x+2y=1 与 y=1 夹角的正切值为 ， 所以直线 （ =1 与直线 的夹角大小为 故答案为： 【点评】 本题考查了极坐标和直角坐标的互化问题，能进行极坐标和直角坐标的互化，是解题的关键 6已知菱形 | |=1， A= ，则向量 在 上的投影为 【分析】 由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量 在 上的投影 【解答】 解： 在菱形 ， A= ， ， 又 | |=1， | |=2| | ， 向量 在 上的投影为 | | ， 故答案为 ： 【点评】 本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题 7已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为 1，则其体积 V= 【分析】 多面体为正六棱柱，底面边长和高都是 1 【解答】 解：由多面体的展开图可知 此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为 1 正六棱柱的底面积 S= = 多面体的体积 V= 故答案为 【点评】 本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题 8已知函数 f（ x） =x3+x），若 f（ x）的定义域中的 a、 b 满足 f（ a） +f（b） 3=f（ a） +f（ b） +3，则 f（ a） +f（ b） = 3 【分析】 由已知得 f（ x）是奇函数，由此利用奇函数的性质能求出 f（ a） +f（ b） 【解答】 解： f（ x） =x3+x）， f（ x） = +x） = f（ x）， f（ x）的定义域中的 a、 b 满足 f（ a） +f（ b） 3=f（ a） +f（ b） +3， 2f（ a） +f（ b） = 6， f（ a） +f（ b） = 3 故答案为： 3 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用 9在代数式（ 42x 5）（ 1+ ） 5的展开式中，常数等于 15 【分析】 （ 1+ ） 5 的展开式的通项公式 = = 令 2r= 2， 2r= 1， 2r=0，分别解出即可得出 【解答】 解：（ 1+ ） 5 的展开式的通项公式 = = 令 2r= 2， 2r= 1， 2r=0， 分别解得： r=1， r= （舍去）， r=0 常数项 =4 5 =20 5=15 故答案为： 15 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 5，最大值为 15，则椭圆的短轴长为 10 【分析】 不妨设椭圆的标准方程为： =1（ a b 0）， a2=b2+用已知可得 a c=5， a+c=15，解出即可得出 【解答】 解：不妨设椭圆的标准方程为： =1（ a b 0）， a2=b2+ 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 5，最大值为 15， a c=5， a+c=15， b2=15=75 b=5 则椭圆的短轴长为 10 故答案为： 10 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、 2、 3，现任取出 3 个，它们的颜色号码均不相等的概率是 【分析】 根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 【解答】 解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各 三个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、 2、 3，现任取出 3 个，共有 4， 它们的颜色和号码均不相等的取法有 21=6 种， 故它们的颜色号码均不相等的概率是 = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题 12设离散型随机变量 可能取到值为 1， 2， 3， P（ ） =ak+b（ k=1， 2， 3），若 的数学期望 ，则 a+b= 【分析】 由已知得（ a+b） +2（ 2a+b） +3（ 3a+b） = ，且 a+b+2a+b+3a+b=1，由此能求出a+b 【解答】 解： 设离散型随机变量 可能取到值为 1， 2， 3， P（ ） =ak+b（ k=1， 2， 3）， 的数学期望 ， （ a+b） +2（ 2a+b） +3（ 3a+b） = ，且 a+b+2a+b+3a+b=1， 解得 a= ， b=0， a+b= 故答案为： 【点评】 本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的性质的合理运用 13正整数 a、 b 满足 1 a b，若关于 x、 y 的方程组 有且只有一组解，则 a 的最大值为 4031 【分析】 化简可得 4033 2x=|x 1|+|x+a|+|x b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得 【解答】 解：由方程组消 y 可得， 4033 2x=|x 1|+|x+a|+|x b|， 当 x a 时， 4033 2x=1 x x a x+b， 故 x=b a 4032， 故当 x=b a 4032 a，即 b4032 时，有一个解； 即 a4031 时，有一个解；否则 无解； 当 a x1 时， 4033 2x=1 x+x+a x+b， 故 x=4032 a b， 故当 a 4032 a b1，即 b 4032 且 a+b4301 时，有一个解； 即 2015a4030，有一个解， 否则无解； 当 1 xb 时， 4033 2x=x+a+b 1， 故 3x=4034 a b， 故当 3 4034 a b3b，即 a+b 4031 且 a+4b4304 时，有一个解； 即 a2014，方程有一个解， 否则无解； 当 x b 时， 4033 2x=3x+a b 1， 故 5x=4034 a+b， 故当 4034 a+b 5b，即 a+4b 4304 时，有一个解； 否则无解； 综上所述， 当 a 取最大值 4031 时，方程有一个解， 故答案为： 4031 【点评】 本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题 14已知数列 ，若 ， ai=iN*， 2ki 2k+1， k=1， 2， 3， ），则满足 ai+00的 i 的最小值为 128 【分析】 由题意可得 ai+ k+1） 2100，从而解 得 【解答】 解： ai=iN*， 2ki 2k+1， k=1， 2， 3， ）， ai+ k+1） 2100， 故 k7； 故 i 的最小值为 27=128， 故答案为： 128 【点评】 本题考查了数列，注意 i 与 2i 的关系对 k 的影响即可 二、选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 15已知直角坐标平面上两条直线方程分别为 ， ，那么“ =0 是 “两直线 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 两条直线平行时，一定可以得到 成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系 【解答】 解：若 “ =0 则 ，若 ，则 平行于 若 “则 ， =0， 故 “ =0 是 “两直线 行的必要不充分条件， 故选： B 【点评】 本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件 16复数 z= （ mR， i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位 i 的幂运算性质，化简复 数到最简形式为 a+a、 bR）的形式， 分析实部和虚部的大小关系 【解答】 解： z= （ mR， i 为虚数单位） = = ， 此复数的实部为 m 1，虚部为 m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限， 故选 D 【点评】 本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质 17 若 三条边 a、 b、 c 满足（ a+b）：（ b+c）：（ c+a） =7： 9： 10，则 ） A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形也可能是钝角三角形 【分析】 不妨设 a+b=7，则 b+c=9， c+a=10，求出 a、 b、 c 的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论 【解答】 解： （ a+b）：（ b+c）：（ c+a） =7： 9： 10，不妨设 a+b=7，则 b+c=9， c+a=10， 求得 a=4， b=3， c=6 再利用余弦定理可得 = 0，故 C 为钝角， 故选： C 【点评】 本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题 18若函数 f（ x） =lgx） 2x） 3x） 4x） 的定义域与区间 0， 1的交集由 n 个开区间组成，则 n 的值为（ ） A 2B 3C 4D 5 【分析】 由题意可得 x） 2x） 3x） 4x） 0，而当 x（ 0， 1）时，x） 0 恒成立 ；当 0 x 时， 2x） 0，当 x 1 时， 2x） 0，问题变成了求在 0 x 时， 3x）与 4x）同号得区间，及 x 1 时， 3x）与 4x）异号的区间然后由三角函数的象限符号求解即可 【解答】 解：要使原函数有意义，则 x） 2x） 3x） 4x） 0， 当 x（ 0， 1）时， x） 0 恒成立； 即 2x） 3x） 4x） 0 若 2x） 0，得 22x +2 k x ， 取 k=0，得 0 x ； 若 2x） 0，得 +22x 2+2 x 1+k， 取 k=0，得 x 1； 只需 3x）与 4x）在（ 0， ）上同号，在（ ）上异号 若 3x） 0，得 23x +2 x ， 取 k=0，得 0 x 取 k=1，得 ； 若 3x） 0，得 +23x 2+2 x ， 取 k=0，得 x ； 若 4x） 0，得 24x +2 x ， 取 k=0，得 0 x 取 k=1，得 ； 若 4x） 0，得 +24x 2+2 + x ， 取 k=0，得 x 取 k=1，得 满足 x） 2x） 3x） 4x） 0 且在 0， 1内的区间为： （ 0， ），（ ），（ ），（ ），共 4 个 n 的值为 4 故选： C 【点评】 本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数的象限符号，是中档题 三、解答题（本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤 19如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点 P 与凳面圆心 O 的连线垂直于凳面和地面，且 P 分细钢管上下两端的比值为 只凳脚与地面所成的角均为 60，若 A、 B、 C 是凳面圆角的三等分点， 8 厘米，求凳 面的高度 h 及三根细钢管的总长度（精确到 【分析】 连结 题意 平面 导出 0， ， 8 ，由此能求出凳面的高度 h 及三根细钢管的总长度 【解答】 解：连结 题意 平面 凳面与地面平行， 平面 成的角，即 0， 在等边三角形 ， 8， ， 在直角 ， 8 ， 由 ，解得 h 三根钢管总长度为 【点评】 本题考查空间直线与平面的位置关系 ，考查空间图形的基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识 20已知函数 f（ x） =中 a， b 为非零实常数 （ 1） f（ ） = ， f（ x）的最大值为 ，求 a， b 的值； （ 2）若 a=1， x= 是 f（ x）的图象的一 条对称轴，求 其满足 f（ = ，且0， 2 【分析】 （ 1）由 f（ ） = ，可得 a+b=2，又 f（ x） = x+），其中 ，f（ x）的最大值为 ， 可得： = ，联立即可解出 a， b 的值 （ 2）由 a=1，可得 f（ x） = x+），其中 b，由题意 +=， kz，可得 ，根据 ） = =b，可求 ，由 f（ = ，解得： =2，或 =2， kZ， 结合范围 0， 2，即可得解 【解答】 解：（ 1） f（ ） = （ a+b） = ， a+b=2， f（ x） =（ = x+），其中 ， f（ x）的最大值为 ，可得： = 联立 可得： ， ， （ 2） a=1， 可得： f（ x） =x+），其中 b， 根据直线 x= 是其图象的一条对称轴，可得 +=， kz，可得 =， ） = =b， 故 = ， 故 f（ x） =2x+ ） f（ = ，可得： 2） = ，解得： =2，或 =2，kZ， 解得： ， kZ， 又 0， 2 或 或 2 【点评】 本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题 21已知函数 f（ x） =，其中 a 1： （ 1）证明：函数 f（ x）在（ 1， ）上为增函数； （ 2）证明：不存在负实数 得 f（ =0 【分析】 （ 1）令 g（ x） = a 1），则 g（ x）在 R 递增，令 h（ x） = ，求出 h（ x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出 f（ x）的单调性即可； （ 2）通过讨论 x（ ， 1）时， f（ x） 0， x（ 1， 0）时， f（ x） 0，从而证明结论即可 【解答】 证明：函数 f（ x）的定义域是（ ， 1） （ 1， +）， （ 1）函数 f（ x） =，其中 a 1， 令 g（ x） = a 1），则 g（ x）在 R 递增， 令 h（ x） = ，则 h（ x） = 0， 函数 f（ x）在（ 1， ）上为增函数； （ 2） x（ ， 1）时， 0 1， =1 ， x 时： x+1 ， 0， x 1 时， +， 故 x（ ， 1）时： f（ x） （ 1， +）， x（ 1， 0）时，由（ 1）得： f（ x）在（ 1， 0）递增， 而 f（ 0） = 2， f（ x） 0 在（ 1， 0）恒成立， 综上：不存在负实数 得 f（ =0 【点评】 本题考查了函数的单调性问题，考查导 数的应用，是一道中档题 22已知数列 通项公式为 n n 其中 ： （ 1）试写出一组 的值，使得数列 的各项均为正数； （ 2）若 、 *，数列 足 ，且对任意 mN*（ m3），均有 出所有满足条件的 （ 3）若 0 列 足 cn=其前 n 项和为 使 ci=（ i， jN*， i j）的 i 和 j 有且仅 有 4 组， 、 个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求 最小值 【分析】 （ 1）通过函数 f（ x） =（ x x 与 x 轴交于 需知 在 1 的左边即可； （ 2）通过 化简可知 bn=n+ （ 1+排除 、 2 可知 ，此时可知对于 f（ n） =n+ 而言，当 n 时 f（ n）单调递减，当 n 时 f（ n）单调递增，进而解不等式组 即得结论； （ 3）通过 0 n n 知 ，结合ci=（ i， jN*， i j）可知 0 i j，从而可知 ，通过 、 个连续项的值相等可知 5=k1m+1 m+2 而 可得 【解答】 解：（ 1） k1=； （ 2） 、 *， n n = =n+ （ 1+ 当 、 2 时， f（ n） =n+ 均单调递增，不合题意； 当 时，对于 f（ n） =n+ 可知： 当 n 时 f（ n）单调递减，当 n 时 f（ n）单调递增， 由题意可知 ， 联立不等式组 ，解得： 6 12， ， 8， 9， 10， 11； （ 3） 0 n n cn= ， ci=（ i， jN*， i j）， i、 j（ 又 k1+n+ = ， 0 i j， 此时 i 的四个值为 1， 2， 3， 4，故 ， 又 、 至少 3 个连续项的值相等， 不妨设 m+1=，则 =0， 当 k1n， 5=k1m+1 m+2 ，即 【点评】 本题考查数列的通项及前 n 项和，考