高三数学一轮基础导航3.3三角函数的图像和性质

3.3三角函数的图像和性质【考纲要求】1、能画出 的图像，了解三角函数的周期性.2、理解正弦函数、余弦函数在区间0，2的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间（ ）内的单调性.3、了解函数 的物理意义；能画出 的图像，了解参数 对函数图像变化的影响.4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.【基础知识】1三角函数的图象及性质(1)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴2、周期函数的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内任意一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数。非零常数叫做这个函数的周期，周期函数的周期不唯一，都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期。 3、三角函数图像的变换平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像把函数向右平移个单位，得到函数的图像把函数向上平移个单位，得到函数的图像把函数向下平移个单位，得到函数的图像伸缩变换：把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得4、合一变形=，如：5、函数（1）其图象的作法有两种：一是描点法（五点法），作出来的,这五个点是满足: , , , ,的五个的值，对应值分别是0,0,0。用五点法作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为或的形式。二是图像变换法，由函数的图像变换得到函数的图像，一般是先左右，再伸缩，后上下。如：和（2）这个函数的最小正周期是.6、温馨提示：（1）使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值。（2）三角函数有的地方是，有的地方是。【例题精讲】例1 已知函数f(x)Asin(x)(A0,0)，xR的最大值是1，其图象经过点M.(1)求f(x)的解析式；(2)已知，且f()，f()，求f()的值解：(1)f(x)Asin(x)(A0,0)的最大值是1，A1.f(x)的图象经过点M，sin.0，f(x)sincosx.(2)f(x)cosx，f()cos，f()cos，已知，所以sin，sin.故f()cos()coscossinsin .例2 已知函数f(x)sin2xsincos2xcossin(0)，其图象过点.(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)sin2xsincos2xcossin(0)，所以f(x)sin2xsincoscossin2xsincos2xcos(sin2xsincos2xcos)cos(2x)，又函数图象过点，所以cos，即cos1， 又00)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求；(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间解：(1)f(x)sin2xcos2xsin(2x).令2x，将x代入可得：1.(2)由(1)得f(x)sin(2x).经过题设的变化得到的函数g(x)sin(x).当x4k，kZ时，函数取得最大值.令2kx2k，即x4k，4k，kZ为函数的单调递减区间3.3三角函数的图像和性质强化训练【基础精练】1下图是函数yAsin(x)(xR)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将ysinx(xR)的图象上所有的点()A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin的图象()A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位3已知函数ysin(x)的部分图象如图所示，则()A1，B1，C2， D2，4已知函数y2sin(x)(0)在区间0,2上的图象如图所示，那么()A1B2 C. D.5已知函数ysincos，则下列判断正确的是()A此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是B此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是C此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是D此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是6如果函数ysin2xacos2x的图象关于直线x对称，则实数a的值为() A.BC1 D17函数ysinxcosx的最小值和最小正周期分别是()A，2 B2,2C， D2，8已知函数f(x)sinxcosx(0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是()A.k，k，kZ B.k，k，kZC.k，k，kZ D.k，k，kZ9.函数y|sinx|2sinx的值域是 ()A.3，1B.1,3 C.0,3 D.3,010已知函数f(x)3sin(0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x，则f(x)的取值范围是_11设函数ycosx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，An，.则A50的坐标是_12把函数ycos的图象向左平移m个单位(m0)，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是_13.求函数f(x)的最小正周期、最大值、最小值及单调区间14据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)f(x2)2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；(2)问哪几个月能盈利？【拓展提高】1设函数f(x)(2cosxasinx)sinxcos2x(xR)，且f()f()()求函数f(x)的值域；()设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|2.(文科选做)2.已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0,00，0,00)f(x)图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，恰好是f(x)的一个周期，2.f(x)2sin(2x)故其单调增区间应满足2k2x2k(kZ)kxk(kZ)9.B【解析】当0sinx1时，ysinx2sinxsinx，此时y1,0；当1sinx0时，ysinx2sinx3sinx，这时y(0,3，求其并集得y1,3.10. 【解析】f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，f(x)与g(x)的最小正周期相等，0，2，f(x)3sin，0x，2x，sin1，3sin3，即f(x)的取值范围为. 11. (99,0)【解析】对称中心横坐标为x2k1，k0且kN，令k49即可得12. 【解析】由ycos(xm)的图象关于y轴对称，所以mk，kZ，mk13.【解析】f(x)(1sinxcosx)sin2x，所以函数的最小正周期为，最大值为，最小值为.令2k2x2k，kZ，则kxk，kZ.令2k2x2k，kZ， 则kxk，kZ.所以函数的单调增区间为k，k，kZ，单调减区间为k，k，kZ.，当k1时，m最小为.14.【解析】(1)f(x)Asin(x)B，由题意可得，A2，B6，所以f(x)2sin(x)6(1x12，x为正整数)，g(x)2sin(x)8(1x12，x为正整数)(2)由g(x)f(x)，得sinx.2kx2k，kZ，8k3x8k9，kZ，1x12，kZ，k0时，3x9，x4,5,6,7,8；k1时，11x17，x12.x4,5,6,7,8,12，故4,5,6,7,8,12月份能盈利【拓展提高参考答案】1【解析】()f(x)2sinxcosxasin2x1sin2xsin2x(1cos2x)1.f()a，f().由f()f()，有a，a3.f(x)sin2xcos2x2sin(2x)2.函数f(x)的值域为2，2()设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则kf(x)2cos(2x)|k|f(x)|2|2.2.【解析】(1)由最低点为M(，2)得A2.在x轴上相邻两个交点之间的距离为得，即T，2.由点M(，2)在函数图象上得2sin(2)2，即sin()1，故2k，kZ，2k.又(0，)，故f(x)2sin(2x)(2)x ，2x，当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x