青岛市胶州市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z= （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是（ ） A i B 1+i C i D 1 i 2已知集合 M=x|x 2| 1， N=x|y= ，则 MN（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2 C（ 2， 3） D 2， 3） 3已知函数 y=f（ x） x 是偶函数，且 f（ 2） =1，则 f（ 2） =（ ） A 3 B 1 C 1 D 2 4若直线（ 1+a） x+y+1=0 与圆 x2+2x=0 相切，则 a 的值为（ ） A 1， 1 B 2， 2 C 1 D 1 5四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ） A B 5 C D 2 6将奇函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， ）的图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，则 的值可以为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 7已知函数 f（ x） = x2+f（ x） 是函数 f（ x）的导函数，则 f（ x）的图象大致是（ ） A B CD 8设 、 、 为平面， m、 n、 l 为直线，则 m 的一个充分条件是（ ） A ， =l， m l B =m， ， 第 2 页（共 18 页） C ， ， m D n ， n ， m 9在 随机取一点 P，使 =x +y ，则 x 在的条件下 y 的概率（ ） A B C D 10如图， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、 B若 等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 4 B C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11设随机变量 N（ ， 2），且 P（ 1） =P（ 1）， P（ 2） = P（ 2 0） = 12执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 13 m= 的展开式的常数项为 14已知函数 的图象的对称中心为（ 0， 0），函数 的图象的对称中心为，函数 的图象的对称中心为（ 1， 0）， ，由此推测，函数的图象的对称中心为 15一位数学老师希望找到一个函数 y=f（ x），其导函数 f（ x） =您帮助他找一个这样的函数 （写出表达式即可，不需写定义域） 第 3 页（共 18 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 . 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，满足 + （ ）求角 C 的大小； （ ）已知 是钝角三角形，且 c=2 ， B A） =2 面积 17某商场举行的 “三色球 ”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200 元 二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖 2 红 1 蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 （ 1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球 的概率； （ 2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 x 的分布列与期望 E（ x） 18如图，四棱锥中 P ，底面 直角梯形， 0，D=2面 底面 等腰直角三角形， 0 （ ）求证： （ ）求平面 平面 成锐二面角的余弦值 19设数列 前项和为 是等差数列，已知 ， + + =6， （ ）求数列 通项公式； （ ）若 + ，数列 前项和为 证： 2n+ 20已知 O 为坐标原点，焦点为 F 的抛物线 E： p 0）上不同两点 A、 B 均在第一象限 B 点关于 y 轴的对称点为 C， 外接圆圆心为 Q，且 = （ 1）求抛物线 E 的标准方程； （ 2）两不同点 A、 B 均在第一象限内， B 点关于 y 轴的对称点为 C，设直线 倾角分别为 、 ，且 += 证明：直线 定点； 若 A、 B、 C 三点的 横坐标依次成等差数列，求 外接圆方程 21已知函数 f（ x） =（ 3x+3） 定义域为 2， t，设 f（ 2） =m， f（ t） =n 第 4 页（共 18 页） （ ）试确定 t 的取值范围，使得函数 f（ x）在 2， t上为单调函数； （ ）求证： m n； （ ）若不等式 +7x 2 k（ 1）（ k 为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明 （解答过程可参考使用以下数据 第 5 页（共 18 页） 2015年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知复数 z= （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是（ ） A i B 1+i C i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： 复数 z= = = = i， 则 z 的共轭复数 i 故选： A 2已知集合 M=x|x 2| 1， N=x|y= ，则 MN（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2 C（ 2， 3） D 2， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 M 中绝对值不等式的解集确定出 M，求出 N 中 x 的范围确定出 N，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 M 中不等式变形得： 1 x 2 1， 解得： 1 x 3，即 M=（ 1， 3）， 由 N 中 y= ，得到 4 2x 0，即 2x 4=22， 解得： x 2，即 N=（ ， 2， 则 MN=（ 1， 2， 故选： B 3已知函数 y=f（ x） x 是偶函数，且 f（ 2） =1，则 f（ 2） =（ ） A 3 B 1 C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数为偶函数，则 f（ 2）（ 2） =f（ 2） 2，结合已知，即可解出 f（2）的值 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） x 由题意知 g（ 2） =g（ 2）， 即 f（ 2） 2=f（ 2） +2，又 f（ 2） =1， 所以 f（ 2） = 3 故选： A 第 6 页（共 18 页） 4若直线（ 1+a） x+y+1=0 与圆 x2+2x=0 相切，则 a 的值为（ ） A 1， 1 B 2， 2 C 1 D 1 【考点】 圆的切线方程 【分析】 把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（ 1+a） x+y+1=0 的距离等于半径，求得 a 的值 【解答】 解：圆 x2+2x=0 即 （ x 1） 2+，表示以（ 1， 0）为圆心、半径等于 1 的圆， 再根据圆心到直线（ 1+a） x+y+1=0 的距离 d= =1，求得 a= 1， 故选： D 5四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ） A B 5 C D 2 【考点】 由三视图求面积、 体积 【分析】 由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可 【解答】 解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为： 4， 2，高为 3 的梯形，棱锥的高为 2， 高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点， 所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线， 所以长度为： = 故选： A 6将奇函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， ）的图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，则 的值可以为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；正弦函数的对称性 【分析】 函数是奇函数，求出 ，通过函数图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，求出函数的周期，然后求出 的值，即可得到 选项 第 7 页（共 18 页） 【解答】 解：奇函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， ）所以 =0；函数的图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，所以 T= ， T= ， =6， 故选 D 7已知函数 f（ x） = x2+f（ x）是函数 f（ x）的导函数，则 f（ x）的图象大致是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 由于 f（ x） = x2+ f（ x） = x 奇函数的定义得函数 f（ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 x= 代入 f（ ） = 1 0，排除 C，只有 A 适合 【解答】 解：由于 f（ x） = x2+ f（ x） = x f（ x） = f（ x），故 f（ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 又当 x= 时， f（ ） = 1 0，排除 C，只有 A 适合， 故选： A 8设 、 、 为平面， m、 n、 l 为直线，则 m 的一个充分条件是（ ） A ， =l， m l B =m， ， C ， ， m D n ， n ， m 【考点】 直线与平面垂直的判定 【分析】 根据面面垂直的判定定理可知选项 A 是否正确，根据平面 与平面 的位置关系进行判定可知选项 B 和 C 是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项 D 正确 【解答】 解 ： ， =l， m l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件 m，故不正确； =m， ， ，而 与 可能平行，也可能相交，则 m 与 不一定垂直，故不正确； ， ， m ，而 与 可能平行，也可能相交，则 m 与 不一定垂直，故不正确； n ， n ， ，而 m ，则 m ，故正确 第 8 页（共 18 页） 故选 D 9在 随机取一点 P，使 =x +y ，则 x 在的条件下 y 的概率（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据题意，把问题转化为求二元一次不等式组表示的平面区域问题，根 据区域面积的比值求概率的应用问题，即可求出对应的概率 【解答】 解： 随机取一点 P，使 =x +y ， 则 0 x+y 1； 又 x ， 则由 所围成的区域面积为 S= 12 = ； 由 所围成的区域面积为 = ， 所以，所求的概率为 P= = = 故选： C 第 9 页（共 18 页） 10如图， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、 B若 等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 4 B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线的定义，可得 1A 1B=2a， a， a，c，再在 应用余弦定理得， a， c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求 【解答】 解：因为 等边三角形，不妨设 F2=m， A 为双曲线上一点， 1A 1B=2a， B 为双曲线上一点，则 a， a， c， 由 ，则 ， 在 应用余弦定理得： 4622a4a 得 故选： B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11设随机变量 N（ ， 2），且 P（ 1） =P（ 1）， P（ 2） = P（ 2 0） = 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据正态分布的性质求解 【解答】 解：因为 P（ 1） =P（ 1），所以正态分布曲线关于 y 轴对称， 又因为 P（ 2） =以 P（ 2 0） = 故答案为： 12执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 第 10 页（共 18 页） 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 s=0， k=0 满足条件 k 6， k=2， s= 满足条件 k 6， k=4， s= 满足条件 k 6， k=6， s= + 不满足条件 k 6，退出循环，输出 s= + = 故答案为： 13 m= 的展开式的常数项为 【考点】 定积分；二项式系数的性质 【分析】 首先通过定积分求出 m，然后利用二项式定理求常数项 【解答】 解：因为 m= | =2， 则 = 的展开式的常数项为 = ； 故答案为： 14已知函数 的图象的对称中心为（ 0， 0），函数 的图象的对称中心为，函数 的图象的对称中心为（ 1， 0）， ，由此推测，函数的图象的对称中心为 第 11 页（共 18 页） 【考点】 归纳推理 【分析】 题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为 0， ， 1， ，即 0， ， ， ，此数列通项公式易求 【解答】 解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为 0， ， 1， ， 即 0， ， ， ， 由此推测，函数 的图象的对称中心为 故答案为： 15一位数学老师希望找到一个函数 y=f（ x）， 其导函数 f（ x） =您帮助他找一个这样的函数 f（ x） =x+c， c 是常数 （写出表达式即可，不需写定义域） 【考点】 导数的运算 【分析】 根据导数的关系进行求解即可 【解答】 解：当 f（ x） =x+c 时， f（ x） = 故答案为： f（ x） =x+c， c 是常数 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 . 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，满足 + （ ）求角 C 的大小； （ ）已知 是钝角三角形，且 c=2 ， B A） =2 面积 【考点】 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ I）利用同角三角函数基本关系式即可得出； （ 用和差公式可得： A 分类讨论，利用正弦定理、三角 形面积计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）由 + ， + = ， = ， 又 C （ 0， ）， C= 或 C= （ ）由题意得 B A） =2 B+A） +B A） =2 2 2 当 时， A= ， C= ， B= 第 12 页（共 18 页） 由正弦定理可得： ， b= = =2， S = =2 当 0 时，得 正弦定理得 b=2a， 由题意， C= ， c=2 ， c2=a2+2a2+2， 解得 a=2， b=4， ， S = =2 17某商场举行的 “三色球 ”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200 元 二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖 2 红 1 蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 （ 1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率； （ 2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 x 的分布列与期望 E（ x） 【考点】 离散型随机 变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）从 7 个小球中取 3 的取法为 ，若取一个红球，则说明第一次取到一红 2 白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求 （ 2）先判断随机变量 X 的所有可能取值为 200， 50， 10， 0 根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 【解答】 解：（ 1）设 示摸到 i 个红球， 示摸到 i 个蓝球，则 互独立（ i=0，1， 2， 3） P（ = = （ 2） X 的所有可能取值为 0， 10， 50， 200 P（ X=200） =P（ =P（ P（ = P（ X=50） =P（ P（ = = 第 13 页（共 18 页） P（ X=10） =P（ P（ = = P（ X=0） =1 = X 的分布列为 x 0 10 50 200 P =4 元 18如图，四棱锥中 P ，底面 直角梯形， 0，D=2面 底面 等腰直角三角形， 0 （ ）求证： （ ）求平面 平面 成锐二面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ ）取 中点 G，连结 导出 正三角形， 此 能证明 （ ）以 G 为原点，直线 在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系G 用向量法能求出平面 平面 成锐二面角的余弦值 【解答】 （本小题满分 12 分） 证明：（ ）取 中点 G，连结 D， D，且 0， 正三角形， 又 G=G， 平面 解：（ ） 侧面 底面 底面 直线 两互相垂直， 故以 G 为原点，直线 在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 G 设 PG=a，则 P（ 0， 0， a）， A（ a， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， D（ a， 0， 0）， C（ ， 0） 第 14 页（共 18 页） =（ ， ， 0） =（ 0， ， a）， 设 =（ 平面 法向量， 则 ，取 ，得 =（ 1， ， 3） 又 平面 法向量 = ， 设平面 平面 成锐二面角为 ， 则 = = ， 所以平面 平面 成锐二面角的余弦值为 19设数列 前项和为 是等差数列，已知 ， + + =6， （ ）求数列 通项公式； （ ）若 + ，数列 前项和为 证： 2n+ 【考点】 数列的求和；等差关系的确定 【分析】 （ I）利用等差数列的通项公式、递推关系即可得出； （ + = +1+ =2+ ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 （ ）解： 是等差数列，设公差为 d， ， + + =6， =6， 第 15 页（共 18 页） =2， 2=1+2d，解得 d= =1+ = ， 当 n 2 时， n 1= =n 当 n=1 时也成立， an=n （ ）证明： + = + = +1+ =2+ ， 数列 前项和为 n+ + =2n+ 2n+ ， 2n+ 20已知 O 为坐标原点，焦点为 F 的抛物线 E： p 0）上不同两点 A、 B 均在第一象限 B 点关于 y 轴的对称点为 C， 外接圆圆心为 Q，且 = （ 1）求抛物线 E 的标准方程； （ 2）两不同点 A、 B 均在第一象限内， B 点关于 y 轴的对称点为 C，设直线 倾角分别为 、 ，且 += 证明：直线 定点； 若 A、 B、 C 三点的横坐标依次成等差数列，求 外接圆方程 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）利用向量的数量积公式，求出 p，即可求抛物线 E 的标 准方程； （ 2） 设直线 方程为 y=k 0），则直线 方程为 y= x，与 x2=y 联立，求出 A， C 的坐标，可得直线 方程，即可证明：直线 定点； 若 A、 B、 C 三点的横坐标依次成等差数列，可得 A， B， C 的坐标，即可求 外接圆方程 【解答】 （ 1）解： 外接圆圆心为 Q，且 = ， | |2= ， | |= ， 第 16 页（共 18 页） p= ， 抛物线 E 的标准方程 x2=y； （ 2） 证明：设直线 方程为 y=k 0），则直线 方程为 y= x， y= x2=y 联立，可得 A（ k， y= x 与 x2=y 联立，可得 C（ ， ）， 直线 方程为 y （ x k），即 y=（ k ） x+1， 令 x=0，可得 y=1，直 线 定点（ 0， 1）； 解：由 ， A、 B、 C 三点的横坐标依次成等差数列， =k ， k 0， k= ， A（ ， 3）， B（ ， ）， C（ ， ）， 设 外接圆方程的圆心坐标为（ 0， b），则（ 0 ） 2+（ b 3） 2=（ 0 ） 2+（ b ） 2， b= ， ， 外接圆方程的方 程为 y ） 2= 21已知函数 f（ x） =（ 3x+3） 定义域为 2， t，设 f（ 2） =m， f（ t） =n （ ）试确定 t 的取值范围，使得函数 f（ x）在 2， t上为单调函数； （ ）求证： m n； （ ）若不等式 +7x 2 k（ 1）（ k 为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明 （解答过程可参考使用以下数据 【考点】 函数恒