广西来宾市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年广西来宾市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数 z=（ 3 2i） i，则 z 2 =（ ） A 2 9i B 2+9i C 2 9i D 2+9i 2已知集合 A=y|y= B=x|y=1 x） ，则 AB=（ ） A 0， 1 B 0， 1） C（ ， 1） D（ ， 1 3某市 8 所中学生参 加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（ ） A 91 91 5 C 92 92 5 4在等差数列 ， ，前 7 项和 2，则其公差是（ ） A B C D 5设函数 f（ x） = ，则不等式 f（ x） 2 的解集为（ ） A（ 0， 1 （ 2， +） B 0， +） C 0， 1 D（ 0， +） 6（ x+ ）（ 2x ） 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ） A 40 B 20 C 20 D 40 7若某几何体的三视图（单位： 图所示，其中左视图是一个边长为 2 的正三角形，则这个几何体的体积是（ ） A 2 3 3函数 y=x+）（ A 0， 0， 0 ）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（ ） 第 2 页（共 20 页） A y=3x+ ） B y=3x+ ） C y=3x+ ） D y=3x+ ） 9某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 10已知 P 是直线； “3x+4y+13=0 的动点， 圆 C： x2+2x 2y 2=0 的一条切线， 么 面积的最小值是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 11已知 A， B， C， D 均在球 O 的球面上， C=1， ，若三棱锥 D 积的最大值是 则球 O 的表面积为（ ） A B C D 6 12设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x）f（ x） 0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1），且 与 共线，则 x 的值为 14若数列 前 n 项和为 任意正整数 n 都有 1，则 于 15设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=5x+y 的最大值为 第 3 页（共 20 页） 16已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线与抛物线 p 0）的准线分别交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2， 面积为 ，则该抛物线的标准方程是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 2a+b） C） （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 c=4， 面积为 ，求 a+b 的值 18进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市 2015 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（ 5， 15，（ 15， 25，（ 25， 35，（ 35， 45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图 （ 1）求 a 的值； （ 2）如果空气质量指数不超过 15，就认定空气质量为 “特优等级 ”，则从今年的监测数据中随机抽取 3 天的数值，其中达到 “特优等级 ”的 天数为 X求 X 的分布列和数学期望 19如图，已知三棱柱 ，侧棱与底面垂直， C= 0，M 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成角的锐二面角的余弦值 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）过点 A ，离心率为 ，点 2 分别为其左右焦点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 P， Q，且 ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =中 e 为自然对数的底数， a 为常数 （ 1）若对函数 f（ x）存在极小值，且极小值为 0，求 a 的值； 第 4 页（共 20 页） （ 2）若对任意 x 0， ，不等式 f（ x） 1 成立，求 a 的取值范围 请在 22、 23、 24 题中任选一题作答 .选修 4何证明选讲 22如图，在 ， 平分线， 外接圆交 点 E， （ 1）求证： （ 2）求函数 ， 时，求 长 选修 4标系与参数方程 23已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为： ，曲线 C 的参数方程为： （ 为参数） （ I）写出直线 l 的直角坐标方程； （ ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x |+|x+m|（ m 0） （ 1）证明： f（ x） 4； （ 2）若 f（ 2） 5，求 m 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2015年广西来宾市高三（上）期末数 学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数 z=（ 3 2i） i，则 z 2 =（ ） A 2 9i B 2+9i C 2 9i D 2+9i 【考点】 复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： 复数 z=（ 3 2i） i=3i+2， 则 z 2 =（ 2+3i） 2（ 2 3i） =2+3i 4+6i= 2+9i， 故选： B 2已知集合 A=y|y= B=x|y=1 x） ，则 AB=（ ） A 0， 1 B 0， 1） C（ ， 1） D（ ， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中 y 的范围确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y=0，得到 A=0， +）， 由 B 中 y=1 x），得到 1 x 0，即 x 1， B=（ ， 1）， 则 AB=0， 1）， 故选： B 3某市 8 所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（ ） A 91 91 5 C 92 92 5 【考点】 茎叶图 【分析】 根据茎叶图中的数据，计算这组数据的平均数与方差即可 【解答】 解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下； 87、 88、 90、 91、 92、 93、 94、 97； 平均数是 （ 87+88+90+91+92+93+94+97） = （ 87 2+（ 88 91， 5） 2+（ 90 2+（ 97 2=5， 故选： A 4在等差数列 ， ，前 7 项和 2，则其公差是（ ） 第 6 页（共 20 页） A B C D 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由通项公式和求和公式可得 d 的方程组，解方程组可得 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， ，前 7 项和 2， d=8， 7d=42， 解得 ， d= 故选： D 5设函数 f（ x） = ， 则不等式 f（ x） 2 的解集为（ ） A（ 0， 1 （ 2， +） B 0， +） C 0， 1 D（ 0， +） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 分 x 1 和 x 1 两种情况列出不等式解出 【解答】 解：（ 1）当 x 1 时， 21 x 2，解得 x 0， 0 x 1 （ 2）当 x 1 时， 1 2，解得 x ， x 1 综上，不等式 f（ x） 2 的解集是 0， 1 （ 1， +） =0， +） 故选 B 6（ x+ ）（ 2x ） 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ） A 40 B 20 C 20 D 40 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由于二项式展开式中各项的系数的和为 2，故可以令 x=1，建立 a 的方程，解出 后再由规律求出常数项 【解答】 解：令 x=1 则有 1+a=2，得 a=1，故二项式为（ x+ ）（ 2x ） 5 故其常数项为 22 30 故选： D 7若某几何体的三视图（单位： 图所示，其中左视图是一个边长为 2 的正三角形，则这个几何体的体积是（ ） 第 7 页（共 20 页） A 2 3 3考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该 几何体的体积 【解答】 解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为 的四棱锥， 其中直角梯形两底长分别为 1 和 2，高是 2 故这个几何体的体积是 （ 1+2） 2 = （ 故选： B 8函数 y=x+）（ A 0， 0， 0 ）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（ ） A y=3x+ ） B y=3x+ ） C y=3x+ ） D y=3x+ ） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 首先根据函数的图象确定函数的最值，进一步求出函数的周期及 ，再根据函数的最值确定 ，最后求出函数的解析式 【解答】 解：根据函数的图象，得知： A=3， T=2（ 5 1） =8， 第 8 页（共 20 页） 所以： = 当 x=1 时， f（ 1） =3， 0 ， 解得： = ， 所以函数的解析式： f（ x） =3） 故选： A 9某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，写出每次循环得到的 S， k 的值，当 S=126， K=7 时不 满足条件 S 100，输出 K 的值为 7 【解答】 解：执行程序框图，有 k=1， S=0 满足条件 S 100， S=2， K=2； 满足条件 S 100， S=6， K=3； 满足条件 S 100， S=14， K=4； 满足条件 S 100， S=30， K=5； 满足条件 S 100， S=62， K=6； 满足条件 S 100， S=126， K=7； 不满足条件 S 100，输出 K 的值为 7 故选： C 10已知 P 是直线； “3x+4y+13=0 的动点， 圆 C： x2+2x 2y 2=0 的一条切线， 么 面积的 最小值是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆的标准方程，以及三角形的面积，将面积的最值问题转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键 【解答】 解：圆的标准方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=4， 则圆心坐标为 C（ 1， 1），半径 R=2， 第 9 页（共 20 页） 则 面积 S= = 要使 面积的最小，则 小， 即 小即可，此时最小值为圆心 C 到直线的距离 d= =4， 即 PC=d=4， 此时 =2 ， 即 面积的最小值为 S=2 ， 故选： D 11已知 A， B， C， D 均在球 O 的球面上， C=1， ，若三棱锥 D 积的最大值是 则球 O 的表面积为（ ） A B C D 6 【考点】 球的体积和表面积 【分 析】 设 外接圆的半径为 r，由已知求出 r=1，由已知得 D 到平面 最大距离为 ，设球 O 的半径为 R，则 ，由此能求出 R，从而能求出球 【解答】 解：设 外接圆的半径为 r， C=1， ， 20， = ， 2r= =2，解得 r=1， 三棱锥 D 积的最大值是 ， A， B， C， D 均在球 O 的球面上， D 到平面 最大距离为 ， 设球 O 的半径为 R，则 ， 第 10 页（共 20 页） 解得 R= ， 球 O 的表面积为 S=4 故选： C 12设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x）f（ x） 0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【分析】 由已知当 x 0 时总有 x） f（ x） 0 成立，可判断函数 g（ x） = 为减函数，由已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，可证明 g（ x）为（ ， 0） （ 0， +）上的偶函数，根据函数 g（ x）在（ 0， +）上的单调性和奇偶性，模拟 g（ x）的图象，而不等式 f（ x） 0 等价于 xg（ x） 0，数形结合解不等式组即可 【解答】 解：设 g（ x） = ，则 g（ x）的导数为： g（ x） = ， 当 x 0 时总有 x） f（ x）成立， 即当 x 0 时， g（ x）恒小于 0， 当 x 0 时，函数 g（ x） = 为减函数， 又 g（ x） = = = =g（ x）， 函数 g（ x）为定义域上的偶函数 又 g（ 1） = =0， 函数 g（ x）的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式 f（ x） 0xg（ x） 0 或 ， 0 x 1 或 x 1 故选： A 第 11 页（共 20 页） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1），且 与 共线，则 x 的值为 2 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 求出向量 ，然后利用向量与 共线，列出方程求解即可 【解答】 解：向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1）， =（ 2 x， 2）， 又 与 共线， 可得 2x= 2+x， 解得 x= 2 故答案为： 2 14若数列 前 n 项和为 任意正整数 n 都有 1，则 于 63 【考点】 数列的求和 【分析】 利用递推关系、等比数 列的通项公式即可得出 【解答】 解： 1， 当 n=1 时， 1，解得 ； 当 n 2 时， n 1=（ 21）（ 21 1），化为 1， 数列 等比数列，首项为 1，公比为 2 则 =63 故答案为： 63 15设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=5x+y 的最大值为 5 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 先 根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z=5x+y 过点A（ 1， 0）时， z 最大值即可 【解答】 解：根据约束条件画出可行域 直线 z=5x+y 过点 A（ 1， 0）时， z 最大值 5， 第 12 页（共 20 页） 即目标函数 z=5x+y 的最大值为 5， 故答案为 5 16已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线与抛物线 p 0）的准线分别 交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2， 面积为 ，则该抛物线的标准方程是 x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 把 x= 代入 ，解得 y，可得 | ，利用 面积为 ，可得 = ，再利用 =2，解得 即可得出 p 【解答】 解：把 x= 代入 ，解得 y= | ， 面积为 ， = ， 由 =2，解得 = ， 解得 p=2 该抛物线的标准方程是 x 故答案为： x 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 2a+b） C） 第 13 页（共 20 页） （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 c=4， 面积为 ，求 a+b 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 ，由特殊角的三角函数值即可得解 （ 2）利用三角形 面积公式可求 ，由余弦定理即可解得 a+B 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） 2a+b） C） 2 B+C） = 2 ， C= （ 2） S ， ， 由余弦定理可得： c2=a2+b2+ a+b） 2 6 解得： a+B=2 18进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市 2015 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（ 5， 15，（ 15， 25，（ 25， 35，（ 35， 45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图 （ 1）求 a 的值； （ 2）如果空气质量指数不超过 15，就认定空气质量为 “特优等级 ”，则从今年的监测数据中随机抽取 3 天的数值，其中达到 “特优等级 ”的天数为 X求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，由此能求出 a （ 2）由已知得 X 的取值为 0， 1， 2， 3，且 X B（ 3， ），由此能求 出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1， 得：（ a+ 10=1， 解得 a= （ 2）利用样本估计总体，该年度空所质量指数在（ 5， 15内为 “特优等级 ”， 第 14 页（共 20 页） 且指数达到 “特优等级 ”的概率为 则 X 的取值为 0， 1， 2， 3，且 X B（ 3， ）， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P +1 +2 +3 = 19如图，已知三棱柱 ，侧棱与底面垂直， C= 0，M 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成角的锐二面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连结 点 O，连结 此能证明 平面 （ 2）以 B 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 平面 成角的锐二面角的余弦值 【解答】 证 明：（ 1）连结 点 O，连结 直三棱柱， 四边形 矩形， O 为 中点， 又 M 为 点， 位线， 面 面 平面 解：（ 2） 三棱柱 ，侧棱与底面垂直， C= 0， M 是中点， 以 B 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 B（ 0， 0， 0）， C（ 2， 0， 2）， 0， 2， 2）， 则 =（ 1， 2， 0）， =（ 2， 2， 2）， 第 15 页（共 20 页） =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 0， 2）， =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 0， 2）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ 2， 1， 1）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 c=1，得 =（ 2， 0， 1）， = = = ， 平面 平面 成角的锐二面角的余弦值为 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）过点 A ，离心率为 ，点 2 分别为其左右焦点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 P， Q，且 ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 【考点】 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系 【分析】 （ 1）由离心率，推出 b=c，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出 a、 b，即可得到椭圆 C 方程 （ 2）假设满足条件的圆存在，其方程为： x2+y2=0 r 1），当直线 斜率存在时，设直线方程为 y=kx+b，联立方程组，令 P（ Q（ 利用韦达定理，结合推出 3，利用直线 圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线 斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果 【解答】 解：（ 1）由题意得： ，得 b=c，因为 ， 第 16 页（共 20 页） 得 c=1，所以 ， 所以椭圆 C 方程为 （ 2）假设满足条件的圆存在，其方程为： x2+y2=0 r 1） 当直线 斜率存在时，设直线方程为 y=kx+b， 由 得（ 1+22=0， 令 P（ Q（ ， ， ， 3 因为直线 圆相切， = 所以存在圆 当直线 斜率不存在时，也适合 x2+ 综上所述，存在圆心在原点的圆 x2+满足题意 21已知函数 f（ x） =中 e 为自然对数的底数， a 为常数 （ 1）若对函数 f（ x）存在极小值，且极小值为 0，求 a 的值； （ 2）若对任意 x 0， ，不等式 f（ x） 1 成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求导函数，对 a 讨论，确定函数的单调性，利用函数 f（ x）存在极小值，且极小值为 0，可求 a 的值； （ 2）对任意 x 0， ，不等式 f（ x） 1 成立，等价于对任意 x 0， ，不等式 0 恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） = f（ x） =a， 当 a 0 时， f（ x） 0，函数在 R 上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意； 当 a 0 时，由 f（ x） 0，可得 x f（ x） 0，可得 x x=函数的极小值点， 由已知， f（ =0，即 ， a=e； 第 17 页（共 20 页） （ 2）不等式 f（ x） 1 即 0， 设 g（ x） = g（ x） = a， g（ x） =2 x 0， 时， g（ x） 0，则 g（ x）在 x 0， 时为增函数， g（ x） =g（ 0） =1 a 1 a 0，即 a 1 时， g（ x） 0， g（ x）在 x 0， 时为增函数， g（ x） g（ 0） =0，此时 g（ x） 0 恒成立； 1 a 0，即 a 1 时，存在 0， ，使得 g（ 0，从而 x （ 0， ， g（ x） 0， g（ x）在 0， 是减函数， x （ 0， ， g（ x） g（ 0） =0，不符合题意 综上， a 的取值范围是（ ， 1 请在 22、 23、 24 题中任选一题作答 .选修 4几何证明选讲 22如图，在 ， 平分线， 外接圆交 点 E， （ 1）求证： （ 2）求函数 ，