山西省太原市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析

2015年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1（ 5 分）（ 2014重庆）在复平面内复数 Z=i（ 1 2i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A y=B y=2x 1C y=y=（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）若 m， n 是两条不 同的直线， m 平面 ，则 “m n”是 “n ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4（ 5 分）（ 2016陕西校级一模）已知 D 为 边 中点， 在平面内有一个点 P，满足 = + ，则 的值为（ ） A B C 1D 2 5（ 5 分）（ 2014济南一模）执行如图的程序框图输出的 T 的值为（ ） A 4B 6C 8D 10 6（ 5 分）（ 2016萍乡二模）已知 ，且 （ ， ），则 ） A B C D 7（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）从集合 1， 2， 3， 4， 5， 6中随机抽取一个数 a，从集合 1，2， 3中随机收取一个数 b，则 的概率为（ ） A B C D 8（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）设变量 x， y 满足 |x a|+|y a|1，若 2x y 的最大值为 5，则实数 a 的值为（ ） A 0B 1C 2D 3 9（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 16 B 8+C 16+D 8 10（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）已知 函数 f（ x） =ax+b（ a 0， b 0）有两个不同的零点 m， n，且 m， n 和 2 三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b 的值为（ ） A 7B 8C 9D 10 11（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的图象如图所示，若 f（ ） =3， （ ， ），则 ） A B C D 12（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）已知函数 f（ x）在 R 上的导函数为 f（ x），若 f（ x） f（ x）恒成立，且 f（ 0） =2，则不等式 f（ x） 2 ） A（ 2， +） B（ 0， +） C（ ， 0） D（ ， 2） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13（ 5 分）（ 2016大兴区一模）已知函数 f（ x） =4x+ （ x 0， a 0）在 x=2 时取得最小值，则实数 a= 14（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）若向量 =（ ， =（ ，则 +与 的夹角为 15（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）若 a b 1，且 a+b+c=0，则 的取值范围是 16（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+6） =f（ x）当 3x 1 时，当 f（ x） =（ x+2） 2，当 1x 3 时 f（ x） =x，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 2015） = 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）某地一家课外培训机构随机选取当地 1000 名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表： 课程 人数 数学 英语 物理 化学 100 217 200 300 85 98 表中 “”表示参加， “”表示未参加 （ 1）估计当地某一学生同时参加英语和物理培 训的概率； （ 2）估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率； （ 3）如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由 18（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）已知 a， b， c 分别为 角 A， B， C 的对边，且 ， （ 1）求边长 c； （ 2）若 面积 S=16求 周长 19（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）已知等差数列 前 3 项和为 6，前 8 项的和为 24 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ） q0），求数列 前 n 项和 20（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）已知平行四边形 ， A=45，且 D=1，将 起，使得平面 平面 图所示： （ 1）求证： （ 2）求棱锥 A 表面积 21（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）函数 f（ x） =1 x）（ x 0， nN*），当 n= 2 时， f（ x）的极大值为 （ 1）求 a 的值； （ 2）若方程 f（ x） m=0 有两个正实根，求 m 的取值范围 请在 22、 23、 24 三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分 选修 4何证明选讲 22（ 10 分）（ 2015 秋 太原期末）如图，四边形 接于 O， 延长线相交于点 E， 与 延长线交于点 F， O 于 G （ 1）求证： F=F； （ 2）求证： G 选修 4标系与参数方程 23（ 2015 秋 太原期末）已知曲线 参数方程为 （ t 为参数），当 t= 1 时，对应曲线 且点 A 关于原点的对称点为 B，以原点 O 为极点，以 x 轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线 = （ 1）求 A， B 两点的极坐标； （ 2）设 P 为曲线 动点，求 |+| 的最大值 选修 4等式选讲 24（ 2016新余校级一模 ）设函数 f（ x） =|x 2| 2|x+1| （ 1）求 f（ x）的最大值； （ 2）若 f（ x） +m 恒成立，求 m 的取值范围 2015年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1（ 5 分）（ 2014重庆）在复平面内复数 Z=i（ 1 2i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】 根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数 Z 化为 a=a， bR）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案 【解答】 解： 复数 Z=i（ 1 2i） =2+i 复数 Z 的实部 2 0，虚部 1 0 复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限 故选 A 【点评】 本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数 Z 化为 a=a， bR）的形式，是解答本题的关键 2（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A y=B y=2x 1C y=y=分析】 根据函 数奇偶性和函数零点的定义进行判断即可 【解答】 解： A y=1， 函数 y= 没有零点，不满足条件 B y=2x 1 为增函数，不是偶函数，不满足条件 C y=奇函数，不满足条件 D y=偶函数，且函数存在零点，满足条件 故选： D 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数零点的应用，比较基础 3（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）若 m， n 是两条不同的直线， m 平面 ，则 “m n”是 “n ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 “m n”推不出 “n ”， “n ”“m n” 【解答】 解： m， n 是两条不同的直线， m 平面 ， “m n”推不出 “n ”， “n ”“m n”， “m n”是 “n ”的必要不充分条件 故选： B 【点评】 本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用 4（ 5 分）（ 2016陕西校级一模）已知 D 为 边 中点， 在平面内有一个点 P，满足 = + ，则 的值为（ ） A B C 1D 2 【分析】 如图所示，由于 = + ，可得： 平行四边形 对角线， C 的中点 D即可得出 【解答】 解：如图所示， = + ， 平行四边形 对角线， 交点即为 中点 D =1 故选： C 【点评】 本题查克拉向量的平行四边形法则、平行四边形的性质，考查了推理能力，属于基础题 5（ 5 分）（ 2014济南一模）执行如图的程序框图输出的 T 的值为（ ） A 4B 6C 8D 10 【分析】 根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件 S15，计算输出 T 的值 【解答】 解：由程序框图知：第一次运行 S=0+0+1=1， T=0+2=2； 第二次运行 S=1+22+1=6， T=2+2=4； 第三次运行 S=6+24+1=1515， T=4+2=6； 满足条件 S15，程序终止运行，输出 T=6， 故选： B 【点评】 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法 6（ 5 分）（ 2016萍乡二模）已知 ，且 （ ， ），则 ） A B C D 【分析】 由条件利用查同角三角函数的基本关系求得 利用二倍角的正切公式求得 【解答】 解： ，且 （ ， ）， = ， = ，则 = = ， 故选： A 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题 7（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）从集合 1， 2， 3， 4， 5， 6中随机抽取 一个数 a，从集合 1，2， 3中随机收取一个数 b，则 的概率为（ ） A B C D 【分析】 所有的数对（ a， b）共有 63=18 个，而满足 的数对用列举法求得有 3 个，由此求得所求事件的概率 【解答】 解：从集合 1， 2， 3， 4， 5， 6中随机抽取一 个数 a，从集合 1， 2， 3中随机收取一个数 b，共有 63=18 种， ， a=2b， 则有（ 2， 1），（ 4， 2），（ 6， 3），共 3 种， 故 的概率为 = ， 故选： B 【点评】 本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题 8（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）设变量 x， y 满足 |x a|+|y a|1，若 2x y 的最大值为 5，则实数 a 的值为（ ） A 0B 1C 2D 3 【分析】 满足条件的点（ x， y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令 z=2x y，显然当直线 y=2x z 过点 C（ 1+a， a）时， z 取得最大值为 5，即 2（ 1+a） a=5，由此求得 a 的值 【解答】 解：设点 M（ a， a） 则满足 |x a|+|y a|1 的点（ x， y） 构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示： 令 z=2x y，则 z 表示直线 y=2x z 在 y 轴上的截距的相反数， 故当直线 y=2x z 过点 C（ 1+a， a）时， z 取得最大值为 5， 即 2（ 1+a） a=5，解得 a=3 故选： D 【点评】 本题主要考查绝对值三角不等式、简单的线性规划问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题 9（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 16 B 8+C 16+D 8 【分析】 由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的 ，故可使用作差法求体积 【解答】 解：由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的 ，正方体的棱长为 2，圆柱的高为 2，底面半径为 1 所以几何体的体积 V=23 =8 故选 D 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，属于基础题 10（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）已知函数 f（ x） =ax+b（ a 0， b 0）有两个不同的零点 m， n，且 m， n 和 2 三 个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b 的值为（ ） A 7B 8C 9D 10 【分析】 由一元二次方程根与系数的关系得到 m+n=a， mn=b，再由 m， n， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 m， n 的方程组，求得 m， n 后得答案 【解答】 解：由题意可得： m+n=a， mn=b， a 0， b 0， 可得 m 0， n 0， 又 m， n， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得 或 解 得： m=4， n=1；解 得： m=1， n=4 a=5， b=4， 则 a+b=9 故选： C 【点评】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题 11（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的图象如图所示，若 f（ ） =3， （ ， ） ，则 ） A B C D 【分析】 根据函数的最值得到 A，再由图象可得函数的周期，结合周期公式得到 的值，再根据函数的最大值对应的 x 值，代入并解之得 ，从而得到函数的表达式，最后求得 + ）的值，利用两角差的正弦函数公式即可得解 【解答】 解： 函数 f（ x）的最大值为 5，最小值为 5， A=5， 又 函数的周期 T=2（ ） =2， = = =1， 函数图象经过点（ ， 5），即： 5+） =5， 解得： += +2kZ，可得： = +2kZ， 0 ， 取 k=0，得 = 函数的表达式为： f（ x） =5x+ ）， f（ ） =5+ ） =3，解得： + ） = ， 又 （ ， ），可得： + （ ， ）， + ） = = ， + ） =+ ） + ） （ ） = 故选： A 【点评】 本题给出函数 y=x+）的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求特殊的函数值，着重考查了函数 y=x+）的图象与性质的知识，属于中档题 12（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）已知函数 f（ x）在 R 上的导函数为 f（ x），若 f（ x） f（ x）恒成立，且 f（ 0） =2，则不等式 f（ x） 2 ） A（ 2， +） B（ 0， +） C（ ， 0） D（ ， 2） 【分析】 造函数 g（ x） = ，利用导数可判断 g（ x）的单调性，再根据 f（ 0） =2，求得g（ 0） =2，继而求出答案 【解答】 解： xR，都有 f（ x） f（ x）成立， f（ x） f（ x） 0，于是有（ ） 0， 令 g（ x） = ，则有 g（ x）在 R 上单调递增， f（ 0） =2， g（ 0） =2， 不等式 f（ x） 2 g（ x） 2=g（ 0）， x 0， 故选： B 【点评】 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13（ 5 分）（ 2016大兴区一模）已知函数 f（ x） =4x+ （ x 0， a 0）在 x=2 时取得最小值，则实数 a= 16 【分析】 由基本不等式等号成立的条件和题意可得 a 的方程，解方程可得 【解答】 解： x 0， a 0， f（ x） =4x+ 2 =4 ， 当且仅当 4x= 即 x= 时取等号， 又 f（ x）在 x=2 时取得最小值， =2，解得 a=16， 故答案为： 16 【点评】 本题考查基本不等式求最值，属基础题 14（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）若向量 =（ ， =（ ，则 +与 的夹角为 30 【分析】 利用单位圆作出图形，根据菱形的性质即可得出答案 【解答】 解： =（ ， =（ ， =1， =60，以 为邻边的平行四边形为菱形， 平分 + 与 的夹角为 30 故答案为： 30 【点评】 本题考查了平面向量加法的几何意义，数形结合的思想方法， 属于基础题 15（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）若 a b 1，且 a+b+c=0，则 的取值范围是 （ 2， 1） 【分析】 根据 a b 1，求出 的范围，根据 a+b+c=0，得到 = 1 ，从而求出其范围即可 【解答】 解： a b 1， 0 1， 1 0， 2 1 1， 由 a+b+c=0，得： c= a b， = 1 ， 2 1， 故答案为：（ 2， 1） 【点评】 本题考查了简单的线性规划问题，考查转化思想，求出 的范围是解题的关键，本题是一道基础题 16（ 5 分）（ 2015 秋 太原期末）定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+6） =f（ x）当 3x 1 时，当 f（ x） =（ x+2） 2，当 1x 3 时 f（ x） =x，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 2015） = 336 【分析】 由 f（ x+6） =f（ x）知函数的周期为 6，求出 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f（ 5）+f（ 6）的值 【解答】 解： f（ x+6） =f（ x）， T=6， 当 3x 1 时，当 f（ x） =（ x+2） 2，当 1x 3 时 f（ x） =x， f（ 1） =1， f（ 2） =2 f（ 3） =f（ 3） = 1， f（ 4） =f（ 2） =0， f（ 5） =f（ 1） = 1， f（ 6） =f（ 0） =0， f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f（ 5） +f（ 6） =1； f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 2015） =3351+f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f（ 5） =336 故答案为： 336 【点评】 本题考查函数的周期性，根据周期性求代数式的值，属于一道基础题 三、解答题：解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）某地一家课外培训机构随机选取当地 1000 名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表： 课程 人数 数学 英语 物理 化学 100 217 200 300 85 98 表中 “”表示参加， “”表示未参加 （ 1）估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率； （ 2）估计当地某一学生在以上四门课程同 时参加三门培训的概率； （ 3）如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由 【分析】 （ 1）由统计表得 1000 名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有 200 人，由此能估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率 （ 2）由统计表得 1000 名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有 300 人，由此能估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率 （ 3）该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大 【解答】 解：（ 1）由统计表得 1000 名 学生中， 同时参加英语和物理培训的学生有 200 人， 估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率 = （ 2）由统计表得 1000 名学生中， 在以上四门课程同时参加三门培训的学生有： 100+200=300 人， 估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率 = （ 3）该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大 理由如下： 参加数学培训的学生有 100+200+300+85=685 人， 学生参加了数学培训，该生同时参加英语培训的学生有 200 人， 学生参加了数学培训，该生同时参加物理培训的学生有 100+200=300 人， 学生参加了数学培训，该生同时参加化学培训的学生有 100 人， 该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大 【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 18（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）已知 a， b， c 分别为 角 A， B， C 的对边，且 ， （ 1）求边长 c； （ 2）若 面积 S=16求 周长 【分析】 （ 1）由正弦定理可得 得 ，由 ，可得： ，由 + =1，即可解得 c 的值 （ 2）利用三角形面积公式可得 S= 6， 解得 b，利用余弦定理即可解得 而可求 周长 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） 由正弦定理可得： ，可得： ，可得： ，即得： ， 由 ，可得： ， 可得： + =1， 解得： c= （ 2） 面积 S= 6， 解得： b=8， 由余弦定理可得： a2=b2+24+41 2 8 =25，解得 a=5，或 5（舍去）， 周长 =a+b+c=5+8+ =13+ 【点评】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）已知等差数列 前 3 项和为 6，前 8 项的和为 24 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ） q0），求数列 前 n 项和 【分析】 （ 1）利用等差数列的前 n 项和公式、通项公式即可得出； （ 2）利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法 ”即可得出 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d，其前 n 项和为 6， 4 ，解得 ， 4+2（ n 1） =2n 6 （ 2） ） 数列 前 n 项和 （ q+2+ 当 q=1 时， （ 1+2+3+n） = =n2+n 当 q1， 0 时， （ +）， （ q+q2+） =2 ， +2 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法 ”，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）已知平行四边形 ， A=45，且 D=1，将 起，使得平面 平面 图所示： （ 1）求证： （ 2）求棱锥 A 表面积 【分析】 （ 1）由已知条件求出 5，从而得到 用平面 平面 此能够证明 （ ）利用侧面积加底面积可得棱锥 A 表面积 【解答】 （ 1）证明：在 ， ， ，且 A=45 5， 平面 平面 D， 面 （ 2）解：由（ 1）可知， 棱锥 A 表面积 = 2+ = +1 【点评】 本题考查异面直线垂直的证明，考查棱锥 A 表面积，考查学生分析 解决问题的能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2015 秋 太原期末）函数 f（ x） =1 x）（ x 0， nN*），当 n= 2 时， f（ x）的极大值为 （ 1）求 a 的值； （ 2）若方程 f（ x） m=0 有两个正实根，求 m 的取值范围 【分析】 （ 1）求出函数的对数，根据 n=2 时， f（ x）的极大值为 ，得到 f（ ） =a = ，解出即可； （ 2）求出 f（ x）的导数，得到函数的单调区间，求出 f（ x）的值域，从而求出 m 的范围 【解答】 解：（ 1） n=2 时， f（ x） =1 x）， f（ x） =2 3x）， 令 f（ x） =0 得： x=0 或 x= ， n=2 时， f（ x）的极大值为 ， 故 a 0，且 f（ ） =a = ，解得： a=1； （ 2） f（ x） =1 x）， f（ x） =1（ n+1） n+1） 1（ x）， 显然， f（ x）在 x= 处取得最大值， f（ ） = ， f（ x）的值域是（ 0， ）， 若方程 f（ x） m=0 有两个正实根， 只需 0 m 即可 【点评】 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题 请在 22、 23、 24 三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做， 则按所做的第一个题目