河北省邯郸市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1如果 a b 0，那么下列不等式成立的是（ ） A D 2 “ x R， 2 0”的否定是（ ） A x R， 2 0 B x R， 2 0 C R， x 2 0 D R， x 2 0 3在等差数列 ， ， 5，则 ） A 20 B 25 C 45 D 75 4在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， a=3， A=45， B=60，则 b=（ ） A B C D 5函数 y=x 在点（ 1， 1）处的切线方程是（ ） A 2x y 1=0 B 2x+y 1=0 C x 2y+1=0 D x+2y 1=0 6 “m 0”是 “x2+x+m=0 无实根 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7函数 f（ x）的定义 域为 R，其导函数 f（ x）的图象如图，则 f（ x）的极值点有（ ）A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 8已知数列 递增的等比数列， a1+7， 6，则公比 q=（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 9经过点（ 3， ）的双曲线 =1，其一条渐近线方程 为 y= x，该双曲线的焦距为（ ） A B 2 C 2 D 4 10若函数 f（ x） =1 在 x=1 处有极值，则 9a+3b 的最小值为（ ） A 4 B 9 C 18 D 81 11在正方体 ，直线 平面 成角的余弦值是（ ） A B C D 第 2 页（共 16 页） 12设椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 P 是椭圆上一点， | 2）， ，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A（ 0， B ， C ， D ， 1） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13已知 =（ 2， 3， 1）， =（ x， y， 2），若 ，则 x+y= 14若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最小值为 15已知在观测点 P 处测得在正东方向 A 处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过 1 小时后在观测点 P 测得轮船位于北偏东 60方向 B 处，又经过 t 小时发现该轮船在北偏东 45方向 C 处，则 t= 16对于正整数 n，设曲线 y=2 x）在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 数列 前 n 项和为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知等差数列 公差为 2，的前 n 项和为 等比数列， （ 1）求数列 通项公 式； （ 2）设 （ n N*），求数列 前 n 项和 18 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c已知（ a+c） 2 1）求角 B； （ 2）当 b=6， ，求 面积 19已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F， C 上一点（ 3， m）到焦点的距离为 5 （ 1）求 C 的方程； （ 2）过 F 作直线 l，交 C 于 A、 B 两点，若线段 点的纵坐标为 1，求直线 l 的方程 20如图，在多面体 ， 0， C=2， ， 底面 F 为 中点 （ ）求证： 第 3 页（共 16 页） （ ）求二面角 A D 的余弦值 21已知函数 f（ x） = x=1 处取得极值 2 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若（ m+3） x f（ x）对于任意的 x （ 0， +）成立，求实数 m 的取值范围 22曲线 C 上的动点 M 到定点 F（ 1， 0）的距离和它到定直线 x=3 的距离之比是 1： （ ）求曲线 C 的方程； （ ）过点 F（ 1， 0）的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，当 积为 时，求直线 第 4 页（共 16 页） 2015年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1如果 a b 0，那么下列不等式成立的是（ ） A D 【分析】 利用不等式的基本性质即可判断出结论 【解答】 解： a b 0， ， 故选： A 【点评】 本题考查了不等式的基本性质，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 2 “ x R， 2 0”的否定是（ ） A x R， 2 0 B x R， 2 0 C R， x 2 0 D R， x 2 0 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即 R， x 2 0， 故选： D 【点评】 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3在等差数列 ， ， 5，则 ） A 20 B 25 C 45 D 75 【分析】 利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的第 15项 【解答】 解： 在等差数列 ， ， 5， ， 解得 3， d=2， 3+14 2=25 故选： B 【点评】 本题考查等差数列的第 15 项的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 第 5 页（共 16 页） 4在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， a=3， A=45， B=60，则 b=（ ） A B C D 【分析】 由已知利用正弦定理即可求值得解 【解答】 解： a=3， A=45， B=60， 由正弦定理可得： b= = = 故选： B 【点评】 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 5函数 y=x 在点（ 1， 1）处的切线方程是（ ） A 2x y 1=0 B 2x+y 1=0 C x 2y+1=0 D x+2y 1=0 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可 【解答】 解：函数的导数为 f（ x） = +1， 则 f（ 1） =1+1=2， 即切线斜率 k=2， 则函数 y=x 在点（ 1， 1）处的切线方程是 y 1=2（ x 1）， 即 2x y 1=0， 故选： A 【点评】 本题主要考查函数的切线的求解，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键 6 “m 0”是 “x2+x+m=0 无实根 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 x2+x+m=0 无实根 0，即可判断出结论 【解答】 解： x2+x+m=0 无实根 =1 4m 0， m “m 0”是 “x2+x+m=0 无实根 ”的必要不充分条件， 故选： B 【点评】 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7函数 f（ x）的定义域为 R，其导函数 f（ x）的图象如图，则 f（ x）的极值点有（ ）A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 第 6 页（共 16 页） 【分析】 结合图象，根 据导数大于零，即导函数的图象在 x 轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，符号相反，因此根据图象即可求得极值点的个数， 【解答】 解：结合函数图象，根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反， 从图象上可看出符合条件的有 3 点， 故选： A 【点评】 本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及学生的识图能力属于基础题 8已知数列 递增的等比数列， a1+7， 6，则公比 q=（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【分析】 设等 比数列 公比为 q 的递增的等比数列，运用等比数列的性质，求得 ，6，再由等比数列的通项公式求得公比即可 【解答】 解：设等比数列 公比为 q 的递增的等比数列， 由 6，可得 6， 又 a1+7，解得 或 （不合题意，舍去）， 即有 6，解得 q=2（负的舍去） 故选： D 【点评】 本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题 9经过点（ 3， ）的双曲线 =1，其一条渐近线方程为 y= x，该双曲线的焦距为（ ） A B 2 C 2 D 4 【分析】 将点（ 3， ）代入双曲线的方程，由渐近线方程可得 = ，解得 a， b，可得 c=2，进而得到焦距 2c=4 【解答】 解：点（ 3， ）在双曲线 =1 上，可得 =1， 又渐近线方程为 y= x，一条渐近线方程为 y= x， 可得 = ， 解得 a= ， b=1， 可得 c= =2， 即有焦距为 2c=4 故选： D 第 7 页（共 16 页） 【点评】 本题考查 双曲线的焦距的求法，注意运用点满足双曲线的方程和渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题 10若函数 f（ x） =1 在 x=1 处有极值，则 9a+3b 的最小值为（ ） A 4 B 9 C 18 D 81 【分析】 求出函数的导数，得到 2a+b=4，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可 【解答】 解： f（ x） =42b， 若 f（ x）在 x=1 处有极值， 则 f（ x） =4 2a b=0， 2a+b=4， 9a+3b=32a+3b 2 =18， 当且仅当 9a=3b 时 “=”成立， 故选： C 【点评】 本题考查了导数的应用，考查基本不等式的性质，是一道基础题 11在正方体 ，直线 平面 成角的余弦值是（ ） A B C D 【分析】 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 平面 成角的余弦值 【解答】 解：以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 棱长为 1， 则 D（ 0， 0， 0）， 0， 1， 1）， 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ 1， 0， 1）， =（ 1， 1， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 1）， 设直线 平面 成角为 ， 则 = = ， = 直线 平面 成角的余弦值为 故选： C 第 8 页（共 16 页） 【点评】 本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 12设椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 P 是椭圆上一点， | 2）， ，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A（ 0， B ， C ， D ， 1） 【分析】 设 c， 0）， c， 0），运用椭圆的定义和勾股定理，求得 ，令 m=+1，可得 =m 1，即有 = =2（ ） 2+ ，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围 【解答】 解：设 c， 0）， c， 0），由椭圆的定义可得， |2a， 可设 |t，可得 |t， 即有（ +1） t=2a 由 ，可得 |+|=4 即为（ 2+1） 由 2，可得 ， 令 m=+1，可得 =m 1， 即有 = =2（ ） 2+ ， 由 2，可得 m 3，即 ， 第 9 页（共 16 页） 则 m=2 时，取得最小值 ； m= 或 3 时，取得最大值 即有 ，解得 e 故选： B 【点评】 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13已知 =（ 2， 3， 1）， =（ x， y， 2），若 ，则 x+y= 10 【分析】 根据向量的共线定理，列出方程组求出 x、 y 的值，再计算 x+y 的值 【解答】 解： =（ 2， 3， 1）， =（ x， y， 2），且 ， = = ， 解得 x=4， y=6； x+y=10 故答案为： 10 【点评】 本题考查了空间向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题 14若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=x 2y 的最小值为 2 【分析】 作出可行域，变形目标函数，平移直线 y= x 可得结论 【解答 】 解：作出约束条件 所对应的可行域（如图 变形目标函数可得 y= x z，平移直线 y= x 可知， 当直线经过点 A（ ， ）时，直线的截距最大， z 取最小值 2， 故答案为： 2 第 10 页（共 16 页） 【点评】 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题 15已知在观测点 P 处测得在正东方向 A 处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过 1 小时后在观测点 P 测得轮船位于北偏东 60方向 B 处，又经过 t 小时发现该轮船在北偏东 45方向 C 处，则 t= 【分析】 设轮船的速度为 v，求出 可得出结论 【解答】 解：设轮船的速度为 v，则 AB=v， C= v， 1） v， t= = 故答案为： 【点评】 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 16对于正整数 n，设曲线 y=2 x）在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 数列 前 n 项和为 2n+2 4 【分析】 利用导数的几何意义求出切线方程为 y= 2n（ x 2），从而得到 n+1，利用等比数列的求和公式能求出 【解答】 解： y=2 x）， y=21（ n+1） 曲线 y=2 x）在 x=2 处的切线的斜率为 k= n+1） 2n= 2n， 切点为（ 2， 0）， 切线方程为 y= 2n（ x 2）， 令 x=0 得 n+1， 第 11 页（共 16 页） =2n+2 4， 故答案为： 2n+2 4 【点评】 考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知等差数列 公差为 2，的前 n 项和为 等比数列， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 （ n N*），求数列 前 n 项和 【分析】 （ 1）由 等比数列得 化简解得 利用等差数列的通项公式即可得出； （ 2）利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ 1）由 等比数列得 化简得 ，又 d=2，解得 ， 故数列 通项公式 （ 2） 由（ 1）得 ， = 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式、 “裂项求和 ”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c已知（ a+c） 2 1）求角 B； （ 2）当 b=6， ，求 面积 【分析】 （ 1）由余弦定理变形已知式子可得 值，可得 B 值； （ 2）由题意和正弦 定理可得 c=2a，代入 b2=ac+得 a 和 c 的值，可得三角形为直角三角形，由面积公式可得 【解答】 解：（ 1） （ a+c） 2 b2=ac+ ac=a2+ B （ 0， ）， ； （ 2） 由正弦定理可得 c=2a， 第 12 页（共 16 页） 代入 b2=ac+得 36=2 解得 ， ，满足 a2+b2= 直角三角形， 面积 S= 2 6=6 【点评】 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题 19已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F， C 上一点（ 3， m）到焦点的距离为 5 （ 1）求 C 的方程； （ 2）过 F 作直线 l，交 C 于 A、 B 两点，若线段 点的纵坐标为 1，求直线 l 的方程 【分析】 （ 1）利用抛物线的定义，求出 p，即可求 C 的方程； （ 2）利用点差法求出直线 l 的斜率，即可求直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1）抛物线 C： p 0）的准线方程为 ， 由抛物线的定义可知 解得 p=4 C 的方程为 x （ 2）由（ 1）得抛物线 C 的方程为 x，焦点 F（ 2， 0） 设 A， B 两点的坐 标分别为 A（ B（ 则 两式相减整理得 线段 点的纵坐标为 1 直线 l 的斜率 直线 l 的方程为 y 0= 4（ x 2）即 4x+y 8=0 【点评】 本题考查抛物线的定义与方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20如图，在多面体 ， 0， C=2， ， 底面 F 为 中点 （ ）求证： （ ）求二面角 A D 的余弦值 第 13 页（共 16 页） 【分析】 （ 1）推导出 而 而 面 此能证明 （ 2）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A D 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） C， F 为 中点， 底面 面 C=C，且 面 解：（ 2）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图， B（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 2）， E（ 0， 0， 1）， ， ， 设面 一个法向量为 ， 则 ，令 z=2 得 x=1， y= 1， ， 又面 一个法向量为 ， ， 二面角 A D 的平面角是锐角， 二面角 A D 的余弦值为 第 14 页（共 16 页） 【点评】 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 21已知函数 f（ x） = x=1 处取得极值 2 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若（ m+3） x f（ x）对于任意的 x （ 0， +）成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （ ）根据极值的定义得到关于 a， b 的方程组，求出 a， b 的值，从而求出 f（ x）的表达式； （ ）问题等价于 m 2x 于任意的 x （ 0， +）成立，设 h（ x） =2x，根据函数的单调性求出 m 的范围即可 【解答】 解：（ ） 函数 f（ x） = x=1 处取得极值 2， ，解得 ， f（ x） = x （ ） （ m+3） x f（ x）对于任意的 x （ 0， +