2016年湖南省永州市高考文科数学预测卷(二)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年湖南省永州市高考数学预测卷（文科）（二） 一、选择题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1在等差数列 ， 3（ a3+2（ a7+=24，则此数列前 13 项的和是（ ） A 13 B 26 C 52 D 56 2定义在 R 上的函数 f（ x）满足 ，则 f（ 3）的值为（ ） A 1 B 2 C 2 D 3 3已知函数 图象上的一个最低点为 A，离 A 最近的两个最高点分别为 B 与 C，则 =（ ） A B C D 4双曲线 C： =1（ a b， b 0）的左、右焦点分别是 左焦点 直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A， B 两点， | | |3： 3： 4，则双曲线的离心率是（ ） A B C D 5 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 6函数 y=f（ x）的定义域为 D，若满足： f（ x）在 D 内是单调函数； 存在 a， b D 使得 f（ x）在 a， b上的值域为 ， ，则称函数 f（ x）为 “成功函数 ” 若函数 f（ x） =cx+t）（ c 0， c 1）是 “成功函数 ”，则 t 的取值范围为（ ） A（ 0， +） B（ ， ） C（ ， +） D（ 0， ） 第 2 页（共 17 页） 二、填空题：（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上） 7设不等式组 表示区域为 D，且圆 x2+ 在 D 内的弧长为 ，则实数 8在 ， c=2， 当 a=的 两解，则 取值范围是 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9已知等差数列 首项 ，公差 d 0，且 别等于等比数列 b2， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 足 ，求 c1+值 10为了研究某校的高三市三模的文科数学成绩，现随机抽取了 60 名学生的数学成绩进行分析，现将成绩按如下方式分为 6 组，第一组 80， 90），第二组 90， 100）， ，第六组 130，140），得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）求频率分布直方图中 a 的值； （ 2）估计该校高三年级文 科数学成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ 3）从成绩在 110， 130）的同学中用分层抽样的方法抽取 5 位同学，并从这 5 位同学中任选 2 人跟数学老师参与信息反馈，求选中 2 位数学成绩不在同一组的同学的概率 11如图所示的多面体中， 菱形， 矩形， 面 （ 1）求证：平面 面 （ 2）若 D=a，求四棱锥 A 体 积 第 3 页（共 17 页） 12已知定义在正实数集上的函数 f（ x） = g（ x） =3b，其中 a 0设两曲线 y=f（ x）， y=g（ x）有公共点，且在该点处的切线相同 （ 1）用 a 表示 b； （ 2）求证：当 x 0 时， f（ x） g（ x） 13已知抛物线 p 0）的通径长为 4，椭圆 + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过抛物线 焦点 （ 1）求抛物线 椭圆 方程； （ 2）已知圆 M 过定点 D（ 0， 2），圆心 M 在 迹上运动，且圆 M 与 x 轴交于 A、 B 两点，设 |m， |n，求 的最大值 请从下面所给的第 14、 15、 16 三题中选定一题作答多答按所答第一题评分 选修 4何证明选讲 14如图，已知 C，圆 O 是 外接 圆， 圆 O 的直径过点 的切线交 延长线于点 F （ ）求证： B=E； （ ）若 ， ，求 面积 选修 4标系与参数方程 15选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 ，过点 作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C： x2+ 相交于不同的两点 M， N （ ）写出直线 l 的参数方程； （ ）求 的取值范围 选修 4等式选讲 16已知函数 f（ x） =|3x+2| （ ）解不等式 f（ x） 4 |x 1|； （ ）已知 m+n=1（ m， n 0），若 |x a| f（ x） + （ a 0）恒成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2016 年湖南省永州市高考数学预测卷（ 文科）（二） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1在等差数列 ， 3（ a3+2（ a7+=24，则此数列前 13 项的和是（ ） A 13 B 26 C 52 D 56 【考点】 等差数列的性质；等差数列的前 n 项和 【分析】 可得 a3+a7+入已知可得 a4+，而 ，代入计算可得 【解答】 解：由等差数列的性质可得： a3+a7+ 代入已知可得 3 2 34，即 a4+， 故数列的前 13 项之和 = = =26 故选 B 2定义在 R 上的函数 f（ x）满足 ，则 f（ 3）的值为（ ） A 1 B 2 C 2 D 3 【考点】 函数的值 【分析】 利用分段函数的性质，得到 f（ 3） =f（ 2） f（ 1） = f（ 0），由此能够求出结果 【解答】 解： R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = ， f（ 3） =f（ 2） f（ 1） =f（ 1） f（ 0） f（ 0） +f（ 1） =f（ 0） f（ 1） f（ 0） f（ 0） +f（ 1） = f（ 0） = 3 故选 D 3已知函数 图象上的一个最低点为 A，离 A 最近的两个最高点分别为 B 与 C，则 =（ ） 第 5 页（共 17 页） A B C D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的 运算；正弦函数的图象 【分析】 由三角函数公式化简可得 f（ x） =2x+ ） ，结合图象可得 A、 B、 C 的坐标，可得向量的坐标，计算可得 【解答】 解：由三角函数公式化简可得 f（ x） = （ 1 = =2x+ ） ，令 2x+ = 可得 x= ， 可取一个最低点 A（ ， ）， 同理可得 B（ ， ）， C（ ， ）， =（ ， 2）， =（ ， 2）， = +4， 故选： D 4双曲线 C： =1（ a b， b 0）的左、右焦点分别是 左焦点 直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A， B 两点， | | |3： 3： 4，则双曲线的离心率是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 故 【解答】 解： | | |3： 3： 4， 不妨令 |3t， |3t， |4t， 由双曲线的定义得： | |2a，即 | |2a， 即 |2a， 又 | |2a， |2a=4a=4t， t=a， 即 |3a， |3a， |4a， = ， 第 6 页（共 17 页） 即 = ， 整理得 3 即 c= a， 则 = = ， 5某空间几何体 的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解： 由三视图得该几何体是从四棱锥 P 挖去一个半圆锥， 四棱锥的底面是以 2 为边长的正方形、高是 2， 圆锥的底面半径是 1、高是 2， 所求的体积 V= = ， 故选： B 第 7 页（共 17 页） 6函数 y=f（ x）的定义域为 D，若满足： f（ x）在 D 内是单调函数； 存在 a， b D 使得 f（ x）在 a， b上的值域为 ， ，则称函数 f（ x）为 “成功函数 ” 若函数 f（ x） =cx+t）（ c 0， c 1）是 “成功函数 ”，则 t 的取值范围为（ ） A（ 0， +） B（ ， ） C（ ， +） D（ 0， ） 【考点】 函数的值域 【分析】 由 f（ x） =cx+t）（ c 0， c 1）是 “成功函数 ”，知 f（ x）在其定义域内为增函数， f（ x） =cx+t） = x，故 cx+t= ，由此能求出 t 的取值范围 【解答】 解： f（ x） =cx+t）（ c 0， c 1）是 “成功函数 ”， f（ x）在其定义域内为增函数， f（ x） =cx+t） = x， cx+t= ， +t=0， 令 a= 0， a+t=0 有两个不同的正数根， ， 解得 t （ 0， ） 故选： D 二、填空题：（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上） 第 8 页（共 17 页） 7设不等式组 表示区域为 D，且圆 x2+ 在 D 内的弧长为 ，则实数 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 求出弧对应的圆心角，利用数形结合即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组和圆对应的图象， 圆 x2+ 在 D 内的弧长为 ， 弧对应的圆心角 ， 即 ， 则 B（ 2 2， 即 B（ ， ），将 B 的坐标代入直线 y+2=0， 得 ， 解得 a=1 ， 故答案为： 1 8在 ， c=2， 当 a=的 两解，则 取值范围是 （ 2，2 ） 【考点】 正弦定理 【分析】 由 用正弦定理可得 C当 a=的 两解，可得 2 出即可得出 【解答】 解： 正弦定理可得： 0， ，C （ 0， ） C= 当 a=的 两解， 第 9 页（共 17 页） 2 解得 2 2 ， 则 取值范围是（ 2， 2 ）， 故答案为：（ 2， 2 ） 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9已知等差数列 首项 ，公差 d 0，且 别等于等比数列 b2， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 足 ，求 c1+值 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）等差数列 首项 ，公差 d 0，且 别等于等比数列 得： =（ 1+4d） 2=（ 1+d）（ 1+13d），解得 d 利用等差数列的通项公式可得 利用等比数列的通项公式即可得出 （ 2） ，利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 等差数列 首项 ，公差 d 0，且 别等于等比数列 = （ 1+4d） 2=（ 1+d）（ 1+13d），化为： 2d=0，解得 d=2 +2（ n 1） =2n 1 b2=+2=3， b3= q= =3 =3 3n 2=3n 1 （ 2） = ， c1+（ 3+5+199） +2 （ 3+32+399） =3+ +2 第 10 页（共 17 页） =3100+9999 10为了研究某校的高三市三模的文科数学成绩，现随机抽取了 60 名学生的数学成绩进行分析，现将成绩按如下方式分为 6 组，第一组 80， 90），第二组 90， 100）， ，第六组 130，140），得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）求频率分布直方图中 a 的值； （ 2）估计该校高三年级文科 数学成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ 3）从成绩在 110， 130）的同学中用分层抽样的方法抽取 5 位同学，并从这 5 位同学中任选 2 人跟数学老师参与信息反馈，求选中 2 位数学成绩不在同一组的同学的概率 【考点】 频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）由频率分布直方图的性质能求出 a （ 2）由频率分布直方图的性质得 110， 120）小矩形最高，能估计该校高三年级文科数学成绩的众数；由频率分布直 方图的性质能估计该校高三年级文科数学平均成绩 （ 3）由题意得 110， 120）中有 18 人， 120， 130）中有 12 人，从成绩在 110， 130）的同学中用分层抽样的方法抽取 5 位同学，其中成绩在 110， 120）内的有 3 人， 120， 130）内的有 2 人，由此能求出选中 2 位数学成绩不在同一组的同学的概率 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图的性质得： （ a+a+ 10=1， 解得 a= （ 2）由频率分布直方图的性质得 110， 120）小矩形最高， 估计该 校高三年级文科数学成绩的众数为 115， 估计该校高三年级文科数学成绩的众数和平均成绩为： 85 10+95 10+105 10+115 10+125 10+135 10= （ 3）由题意得 110， 120）中有 10 60=18 人， 120， 130）中有 10 60=12人， 从成绩在 110， 130）的同学中用分层抽样的方法抽取 5 位同学， 其中成绩在 110， 120）内的有 =3 人， 120， 130）内的有 5 =2 人， 从这 5 位同学中任选 2 人跟数学老师参与信息反馈， 基本事件总数 n= =10， 选中 2 位数学成绩不在同一组的同学包含的基本事件有 m= =6， 第 11 页（共 17 页） 选中 2 位数学成绩不在同一组的同学的概率 p= = 11如图所示的多面体中， 菱形， 矩形， 面 （ 1）求证：平面 面 （ 2）若 D=a，求四棱锥 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质 【分析】 （ 1）证明 平面 平面 用面面平行的判定定理可得结论； （ 2）连接 D=O，证明 面 可求出 四棱锥 A 体积 【解答】 （ 1）证明： 菱形， 面 矩形， 面 F=B， 面 面 （ 2）解：连接 D=O 菱形， 面 D=D， 面 四棱锥 A 高 由 菱形， ，则 等边三角形， 由 D=a，则 ， ， 第 12 页（共 17 页） 12已知定义在正实数集上的函数 f（ x） = g（ x） =3b，其中 a 0设两曲线 y=f（ x）， y=g（ x）有公共点，且在该点处的切线相同 （ 1）用 a 表示 b； （ 2）求证：当 x 0 时， f（ x） g（ x） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）设出两曲线的公共点坐标，分别求出 f（ x）和 g（ x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用 a 表示出 b 的式子； （ 2）设 F（ x） =f（ x） g（ x），求出 F（ x）的导函数，根据导函数的正负得到 F（ x）的单调区间，由 x 大于 0 和函数的增减性得到 F（ x）的最小值为 0，即 f（ x） g（ x）大于等于 0，证得当 x 0 时， f（ x） g（ x） 【解答】 解：（ 1）设 y=f（ x）与 y=g（ x）（ x 0）在公共点（ 的切线相同 f（ x） =x+2a， g（ x） = ， 由题意得： f（ =g（ f（ =g（ 即 ，由 ，得 ： x0=a，或 3a（舍去） 即有 b= ； （ 2）设 F（ x） =f（ x） g（ x） = （ x 0）， 则 F（ x） =x+2a = （ x 0） 故 F（ x）在（ 0， a）为减函数，在（ a， +）为增函数， 于是函数 F（ x）在（ 0， +）上的最小值是 F（ a） =f（ a） g（ a） = 33， 故当 x 0 时，有 f（ x） g（ x） 0，即当 x 0 时， f（ x） g（ x） 第 13 页（共 17 页） 13已知抛物线 p 0）的通径长为 4，椭圆 + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过抛物线 焦点 （ 1）求抛物线 椭圆 方程； （ 2）已知圆 M 过定点 D（ 0， 2），圆心 M 在 迹上运动，且圆 M 与 x 轴交于 A、 B 两点，设 |m， |n，求 的最大值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）由抛物线 p 0）的通径长为 4，得 p=2，由此能求出抛物线 题意 点坐标为（ 0， 1）， e= = = ，由此能求出椭圆 方程 （ 2）先利用条件设出圆的方程，并求出 A、 B 两点的坐标以及 |m， |n 的表达式，代入 整理后利用基本不等式求最大值即可 【解答】 解：（ 1） 抛物线 p 0）的通径长为 4， 2p=4，解得 p=2， 抛物线 方程为 y 由题意 点坐标为（ 0， 1）， b=1， 离心率为 ， e= = = ，解得 a=2， 椭圆 方程为 =1 （ 2）设圆 M 的圆心坐标为 M（ a， b），则 b 圆 M 的半径为 | 圆 M 的方程为（ x a） 2+（ y b） 2= b 2） 2 令 y=0，则（ x a） 2+b2= b 2） 2， 整理得， 2b 4=0 由 、 解得， x=a 2 不妨设 A（ a 2， 0）， B（ a+2， 0）， m= ， n= = = ， 第 14 页（共 17 页） 当 a 0 时，由 得， = 2 当且仅当 a= 2 时，等号成立 当 a=0 时，由 得， =2 故当 a= 2 时， 的最大值为 2 请从下面所给的第 14、 15、 16 三题中选定一题作答多答按所答第一题评分 选修 4何证明选讲 14如图，已知 C，圆 O 是 外接圆， 圆 O 的直径过点 的切线交 延长线于点 F （ ）求证： B=E； （ ）若 ， ，求 面积 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）连接 明 合 C，即可证明： B=E； （ ）证明 得 F，利用切割线定理有 C=出 可求 面积 【解答】 证明：（ ）连接 直径， 0， 又 0， ， B=E 又 C， B=E （ ） O 的切线， 在 ， ， ， F 设 AC=x，则根据切割线定理有 C= x2x=8， x=2， 第 15 页（共 17 页） 选修 4标系与参数方程 15选修 4 4：坐标系 与参数方程 在直角坐标系 ，过点 作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C： x2+ 相交于不同的两点 M， N （ ）写出直线 l 的参数方程； （ ）求 的