2016年山西省朔州市高考数学模拟试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山西省朔州市高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=（ x， y） |y= B=（ x， y） |2x y 1=0，则 AB=（ ） A x=1， y=1 B（ 1， 1） C 1， 1 D （ 1， 1） 2 “ ”是 “ ”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3若直线 l： 与圆 C： x2+ 相切，则直线 l 的方程为（ ） A x=1 B x= 1 C y=1 D y= 1 4已知 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为（ ） A 3 B 5 C 6 D 14 5若点（ 在角 的终边上，则 值为（ ） A B C D 6四棱锥 P 底面 正方形， 底面 ， ，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A B C 65 D 7某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票 2 张，两元餐票 2 张，五元餐票 1 张，若他从口袋中随意摸出 2 张，则其面值之和不少于四元的概率为（ ） A B C D 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 44 B 32 C 10+6 D 22+6 第 2 页（共 19 页） 9已知函数 f（ x） = 若函数 f（ x）的值域为 R，则实数 a 的取值范围为（ ） A a B a C a D a 10点 O 为 一点，且满足 ，设 面积分别为 2，则 =（ ） A B C D 11执行如图所示的程序框图（其中 x表示不超过实数 x 的最大整数），则运行后输出的结果是（ ） A 31 B 33 C 35 D 37 12在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 = ， b=4，则 ） A 4 B 2 C 2 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 是复数 z 的共轭复数，若 z =4，则 |z|= 14已知函数 f（ x） =x3+x 在定义域上是增函数，则实数 a 的取值范围为 15函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则函数 f（ x）在区间 0， 上的最小值为 第 3 页（共 19 页） 16 F 为抛物线 2x 的焦点，过 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，过 A 作 ，若直线 l 的倾角 （ 0， ，则 积的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 等差数列，且 ， 3， 等比数列 （ ）求 （ ）求数列 的前 n 项和 18在三棱柱 ，侧面 底面 M 为 中点， 0，1A， 0， C=2 （ ）求证： M； （ ）求三棱锥 体积 19为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 /8 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值 =65，标准差 =频率值作为概率的估计值 （ ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根据以下不等式进行评判（ P 表示相就事件睥概率）： P（ X +） P（ 2 X +2） P（ 3 X +3） 判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备 M 的性能等级 （ ）将 直径小于等于 2 或直径不大于 +2 的零件认为是次品，从样本所含次品中任取 2 件，则它们的直径之差不超过 1概率是多少？ 20已知 别为椭圆 + 的左、右焦点，过 直线 l 与椭圆交于不同的两点A、 B，连接 （ ）求 周长； （ ）若 面积 第 4 页（共 19 页） 21已知函数 f（ x） =ax+a 2， a R （ ）求函数 f（ x）的单 调区间； （ ）设 g（ x） =x） +2，求证：当 a ， g（ x） 2a 选做题：请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图 O 是 外接圆， E、 F 是 的点，且 A， E， F， C 四点共圆，延长 D，使得 F=E （ 1）证明： O 的切线； （ 2）若 B=1： ，试求过点 A、 E、 F、 C 的圆的面积与 O 的面积之比 选修 4标系与参数方程选讲 23在极坐标系 ，曲线 C 的极坐标方程为 ，以极点 O 为直角坐标原点、极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设曲线 C 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 A、 B， P 是曲线 C 上一点，求 积的最大值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1| |2x a| （ 1）当 a=5 时，求不等式 f（ x） 0 的解集； （ 2）设不等式 f（ x） 3 的解集为 A，若 5 A， 6A，求整数 a 的值 第 5 页（共 19 页） 2016 年山西省朔州市高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=（ x， y） |y= B=（ x， y） |2x y 1=0，则 AB=（ ） A x=1， y=1 B（ 1， 1） C 1， 1 D （ 1， 1） 【考点】 交集及其 运算 【分析】 联立 A 与 B 中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集 【解答】 解：联立得： ， 消去 y 得： 2x 1=（ x 1） 2=0， 解得： x=1， y=1， 则 AB=（ 1， 1） ， 故选： D 2 “ ”是 “ ”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数的周期性及其求法 【分析】 先判断 pq 与 qp 的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题 q 所表示的范围，再根据 “谁大谁必要，谁小谁充分 ”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系 【解答】 解：若 “ ”则 “ ”一定成立 若 “ ”，则 =2， k Z，即 不一定成立 故 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 故选 B 3若直线 l： 与圆 C： x2+ 相切，则直线 l 的方程为（ ） A x=1 B x= 1 C y=1 D y= 1 【考点】 圆的切线方程 【分析】 由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距 离公式求出圆心到直线的距离 d，让 d 等于半径 1，得到 ， 1，即可求出直线 l 的方程 【解答】 解：根据圆 C： x2+，得到圆心坐标 C（ 0， 0），半径 r=1， 直线与圆相切， 第 6 页（共 19 页） 圆心到直线的距离 d= =r=1， 解得： ， 1 则直线 l 的方程为 x= 1 故选： B 4已知 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为（ ） A 3 B 5 C 6 D 14 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= ，平移直线 y= ，由图象可知当直线经过点 B 时， 直线 y= 的截距最小，此时 z 最小， 由 ，得 ， 即 B（ 3， 3） 此时 z=3+2 （ 3） =3 6= 3 故选： A 5若点（ 在角 的终边上，则 值为（ ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解 第 7 页（共 19 页） 【解答】 解：角 的终边上一点的坐标为（ 即（ ， ）， 则由任意角的三角函数的定义，可得 ， 故选： A 6四棱锥 P 底面 正方形， 底面 ， ，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A B C 65 D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 连结 于点 E，则 E 是 点，取 点 O，连结 导出 半径 R= ，由此能求出该球的表面积 【解答】 解：四棱锥 P 底面 正方形， 底面 ， ， 连结 于点 E，则 E 是 点，取 点 O，连结 则 平面 O 到该四棱锥的所有顶点的距离相等，都为 ， O 是该四棱锥的外接的球心， 该球半径 R= = = = ， 该球的表面积为 S=4 = 故选： B 7某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票 2 张，两元餐票 2 张，五元餐票 1 张，若他从口袋中随意摸出 2 张，则其面值之和不少于四元的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 他从口袋中随意摸出 2 张，求出基本事 件总数，再求出其面值之和不少于四元包含的基本事件个数，由此能求出其面值之和不少于四元的概率 【解答】 解：小明口袋里有一元餐票 2 张，两元餐票 2 张，五元餐票 1 张， 第 8 页（共 19 页） 若他从口袋中随意摸出 2 张，基本事件总数 n= =10， 其面值之和不少于四元包含的基本事件个数 m= =5， 其面值之和不少于四元的概率 p= = 故选： C 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 44 B 32 C 10+6 D 22+6 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形四棱锥，结合图中数据求出它的表面积 【解答】 解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为矩形四棱锥； 且矩形的长为 6，宽 为 2，四棱锥的高为 4，如图所示： 所以该四棱锥的表面积为 S=S 矩形 S S 6 2+2 6 +2 2 =22+6 故选： D 9 已知函数 f（ x） = 若函数 f（ x）的值域为 R，则实数 a 的取值范围为（ ） 第 9 页（共 19 页） A a B a C a D a 【考点】 分段函数的应用；函数的值域 【分析】 根据分段函 数的表达式先求出当 x 1 时的取值范围，然后根据函数 f（ x）的值域为 R，确定当 x 1 时，函数 f（ x）的取值范围即可 【解答】 解：当 x 1 时，则 x 1 0，此时 f（ x） =2e x 1 2， 若 2a 1=0，则 a= ，此时当 x 1 时， f（ x） = 1，此时函数 f（ x）的值域不是 R，不满足条件 若 2a 1 0，即 a 时，函数 f（ x） =（ 2a 1） x 2a， x 1 为增函数， 此时 f（ x） （ 2a 1） 2a=1 4a，此时函数的值域不是 R， 若 2a 1 0，即 a 时，函数 f（ x） =（ 2a 1） x 2a， x 1 为减函数， 此时 f（ x） （ 2a 1） 2a=1 4a， 若函数的值域是 R， 则 1 4a 2，即 4a 1，即 a ， 故选： A 10点 O 为 一点，且满足 ，设 面积分别为 2，则 =（ ） A B C D 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 延长 D，使 长 E，由已知得 O 为 心，E 为 点，推 导出 S S S 此能求出结果 【解答】 解：延长 D，使 延长 E， O 为 一点，且满足 ， = ， 第 10 页（共 19 页） O 为 心， E 为 点， ： 1， ： 2， ： 2， S S S 面积分别为 = 故选： B 11执行如图所示的程序框图（其中 x表示不超过实数 x 的最大整数），则运行后输出的结果是（ ） A 31 B 33 C 35 D 37 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出终止循环时输出的 i 值是什 么 【解答】 解：模拟程序框图运行，如下； S=0， i=1， S 30 成立， S 是整数， S= ； i=3， S 30 成立， S 不是整数， S= =0， S= ； i=5， S 30 成立， S 不是整数， S= =1， S=3； i=7， S 30 成立， S 是整数， S=5； 第 11 页（共 19 页） i=9， S 30 成立， S 是整数， S=7； i=31， S 30 成立， S 是整数， S=29； i=33， S 30 成立， S 是整数， S=31； i=35， S 30 不成立，终止循环，输出 i=35 故选： C 12在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 = ， b=4，则 ） A 4 B 2 C 2 D 【考点】 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 由已知式子和正弦定理可得 B= ，再由余弦定理可得 16，由三角形的面积公式可得 【解答】 解： 在 = ， （ 2a c） （ 2 2B+C） = 约掉 得 ，即 B= ， 由余弦定理可得 16=a2+2a2+2 16，当且仅当 a=c 时取等号， 面积 S= 4 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 是复数 z 的共轭复数，若 z =4，则 |z|= 2 【考点】 复数求模 【分析】 设 z=a+a， b R），可得 =a |z|=| |，利用 z =|z|2，即可得出 【解答】 解：设 z=a+a， b R）， =a |z|=| |， z =4， |z|2=4， 则 |z|=2 故答案为： 2 14已知函数 f（ x） =x3+x 在定义域上是增函数，则实数 a 的取值范围为 3， 3 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 先求 出函数的导数，通过导函数大于 0，解不等式即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =x3+x 在定义域上是增函数， f（ x） =3 0 在 R 上恒成立， 第 12 页（共 19 页） =436 0， 解得： 3 a 3， 故答案为： 3， 3 15函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，则函数 f（ x）在区间 0， 上的最小值为 1 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值，可得函数 f（ x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数 f（ x）在区间 0， 上的最小值 【解答】 解：由函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象， 可得 A=2， = ，求得 =2 再根据图象经过点（ ， 0），可得 2 +=k Z， 求得 = ，故函数 f（ x） =22x ） x 0， ， 2x ， ，故函数 f（ x）的最小值为 2 （ ） = 1， 故答案为： 1 16 F 为抛物线 2x 的焦点，过 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，过 A 作 ，若直线 l 的倾角 （ 0， ，则 积的最小值为 36 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 A 点坐标（ x， y）（ y 0），直线 l 的倾角 （ 0， ，则 x 9， 积S= （ x+3） y，利用导数确定函数的单调性，即可求出 积的最小值 【解答】 解：设 A 点坐标（ x， y）（ y 0），直线 l 的倾角 （ 0， ，则 x 9 积 S= （ x+3） y， 第 13 页（共 19 页） t=（ x+3） 2 12x=3x（ x+3） 2， t=3（ x+3） 2+6x（ x+3） =3（ x+3）（ 3x+3） 0，函数单调递增 x=9 时， S 最小， 9 122， S=36 故答案为： 36 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 等差数列，且 ， 3， 等比数列 （ ）求 （ ）求数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ ）由 ， 3， 等比数列可得公比为 2再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出 （ ）由（ ）可知： = = ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ ） ， 3， 等比数列 公比为 =2 22=6， =12 设等差数列 公差为 d，则 ，解得 ， 于是 +（ n 1） =n+2 （ ）由（ ）可知： = = ， 于是 + + = = 18在三棱柱 ，侧面 底面 M 为 中点， 0，1A， 0， C=2 （ ）求证： M； （ ）求三棱锥 体积 第 14 页（共 19 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ I）取 中点 D，连接 题意可得 等腰直角三角形，四边形 菱形，利用菱形和等边三角形的性质可得 M，由面面垂直的性质可得 是 是 M； （ 据等腰直角三角形的性质计算 棱锥的底面，则棱锥的高与 入棱锥的体积公式计算 【解答】 （ ）证明： 取 中点 D，连接 C， 侧面 底面 面 C， 面 平面 面 D， M 是 中点， ， 0， 四边形 菱形， 等边三角形， = M （ ）解： C=2， 0， ， D= = = S = = 平面 点 平面 距离 h=， V =V = = = 19为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 /8 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 第 15 页（共 19 页） 经计算，样本的平均值 =65，标准差 =频率值作为概率的估计值 （ ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根据以下不等式进行评判（ P 表示相就事件睥概率）： P（ X +） P（ 2 X +2） P（ 3 X +3） 判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备 M 的性能等级 （ ）将直径小于等于 2 或直径不大于 +2 的零件认为是次品，从样本所含次品中任取 2 件，则它们的直径之差不超过 1概率是多少？ 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）利用条件，可得设备 M 的数据仅满足一个不等式，即可得出结论； （ ）确定基本事件，即可求出径之差不超过 1概率 【解答】 解：（ ） P（ X +） =P（ X =P（ 2 X +2） =P（ X =P（ 3 X +3） =P（ X 因为设备 M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙； （ ）易知样本中次品共 6 件，将直径为 58， 59， 70， 71， 71， 73 的次品依次记为 A， B，C， D， E， F 从中任取 2 件，共有 F， 可能，而直径不超过 1取法共有 4 种可能，由古典概型可知 P= 20已知 别为椭圆 + 的左、右焦点，过 直线 l 与椭圆交于不同的两点A、 B，连接 （ ）求 周长； （ ）若 面积 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）由椭圆定义得 周长为 4a，由此能求出结果 （ 直线 l 的方程为 x=1，与椭圆联立，得（ ） 21=0由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式，能求出 面积 【解答】 解：（ I） 别为椭圆 + 的左、右焦点， 过 直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、 B，连接 周长为 |4a=4 （ 直线 l 的方程为 x=1， 由 ，得（ ） 21=0 设 A（ B（ ，则 y1+， ， =0， =（ 1）（ 1） 第 16 页（共 19 页） =（ 2）（ 2） +（ ） 2m（ y1+4 = = =0 面积 S= | = 21已知函数 f（ x） =ax+a 2， a R （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =x） +2，求证：当 a ， g（ x） 2a 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数 f（ x）的导函数，然后分类讨论，当 a 0 时， f（ x）的单调增区间为（ 0， +），当 a 0 时， f（ x）的单调增区间为（ 0， ），单调递减区间为（ ， +）； （ ）求出 g（ x）的导函数 g（ x） = ax+a 1 （ x 0），当 时， g（ x）在（ 0， +）上单调递增，故而 g（ x）在（ 1， 2）存在唯一的零点 g（ =0，则当0 x ， g（ x）单调递减，当 x ， g（ x）单调递增，从而可证得结论 【解答】 （ ）解：由函数 f（ x） =ax+a 2， a R 得 ，（ x 0） 若 a 0 时， f（ x） 0，函数 f（ x）的单调递增区间为（ 0， +）； 若 a 0， 时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增， 若 时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减， 综上，若 a 0 时，函数 f（ x）的单调递增区间为（ 0， +）， 若 a 0 时，函数 f（ x）的单调递增区间为（ 0， ），单调递减区间为（ ， +）； （ ）证明： g（ x） =x） +2= ，（ x 0） 则 g（ x） = ax+a 1 （ x 0） 当 时， g（ x） = ax+a 1 在（ 0， +）上单调递增， 又 g（ 1） = 1 0， ， 第 17 页（共 19 页） g（ 2） = a+1 0， 故而 g（ x）在（ 1， 2）存在唯一的零点 g（ =0 则当 0 x ， g（ x） 0， g（ x）单调递减； 当 x ， g（ x） 0， g（ x）单调递增； 故而 （ a 2） 又 g（ = a 1=0， 1 2， 选做题：请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图 O 是 外接圆， E、 F 是 的点，且 A， E， F， C 四点共圆，延长 D，使得 F=E （ 1）证明： O 的切线； （ 2）若 B=1： ，试求过点 A、 E、 F、 C 的圆的面积与 O 的面积之比 【考点】 与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （ 1）证明： 而证明 0，即可证明 O 的切线； （ 2）由（ 1）知 过 A， E， F， C 四点的圆的直径，利用 ： ，即可求过点 A、 E、 F、 C