江西省新余市2015-2016年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每题 5 分） 1命题 “任意的 x R， 2 0”的否定是（ ） A不存在 x R， 2 0 B存在 x R， 2 0 C对任意的 x R， 2 0 D存在 x R， 2 0 2设复数 z 满足 =（ ） A 0 B 1 C D 2 3下列结论正确的个数是（ ） 命题 “所有的四边形都是矩形 ”是特称命题； 命题 “ x R， 0”是全称命题； 若 p： x R， x+4 0，则 q： x R， x+4 0 是全称命题 A 0 B 1 C 2 D 3 4设 =（ x， 2y， 3）， =（ 1， 1， 6），且 ，则 x+y 等于（ ） A B C D 2 5设 f（ x）是函数 f（ x）的导函数， y=f（ x）的图象如图，则 y=f（ x）的图象最有可能的是（ ） A B C D 6对于数 25，规定第 1 次操作为 23+53=133，第 2 次操作为 13+33+33=55，如此反复操作，则第 2016 次操作后得到的数是（ ） A 25 B 250 C 55 D 133 7用反证法证明命题 “若 a+b+c 0， 0，则 a、 b、 c 三个实数中最多有一个小于零 ”的反设内容为（ ） A a、 b、 c 三个实数中最多有一个不大于零 B a、 b、 c 三个实数中最多有两个小于零 C a、 b、 c 三个实数中至少有 两个小于零 D a、 b、 c 三个实数中至少有一个不大于零 8若 （ x a） a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 第 2 页（共 16 页） 9在正方体 ， M 为 中点， O 为四边形 中心， P 为棱 异面直线 成的角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 10平面内有两定点 A、 B 及动点 P，设命题甲是： “|定值 ”，命题乙是： “点 、 B 为焦点的椭圆 ”，那么（ ） A甲是乙成立的充分不必要条件 B甲是乙成立的必要不充分条件 C甲是乙成立的充要条件 D甲是乙成立的非充分非必要条件 11设 4a（ a 0）的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足 ，则 a 的值为（ ） A 2 B C 1 D 12若函数 f（ x）对任意的 x R 都有 f（ x） f（ x）恒成立，则（ ） A 3f（ 2f（ B 3f（ =2f（ C 3f（ 2f（ D 3f（ 2f（ 大小不确定 二、填空题（每题 5 分） 13如图，设 O 为平行四边形 在平面外任意一点， E 为 中点，若 = +x+y ，则 x+y= 14已知在等差数列 ， ，则在等比数列 ，类似的结论为 15设点 P 是曲线 上的任意一点，点 P 处的切线的倾斜角为 ， 则 的取值范围为 16设双曲线 （ a 0， b 0）的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，线段 ，若 ，则双曲线的离心率为 三、解答题 第 3 页（共 16 页） 17已知命题 p：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：关于 x 的方程m+3=0 无实根， （ 1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 “p q”为假命题， “p q”为真命题，求实数 m 的取值范围 18在数列 ， ，且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2n 1 倍（ n N*） （ 1）写出此数列的前 5 项； （ 2）归纳猜想 通项公式，并用数学归纳法证明 19由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨 x 成（即上涨率为 ），涨价后商品卖出的个数减少 ，税率是新价的 a 成，这里 a， b 均为常数，且 a 10，用 A 表示过 去定价， B 表示过去卖出的个数 （ 1）设售货款扣除税款后，剩余 y 元，求 y 关于 x 的函数解析式； （ 2）要使 y 最大，求 x 的值 20如图，在直三棱柱 ， C=2， ，点 D 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求平面 成二面角的平面角的正弦值 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，短轴长为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点 O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 P 在椭圆 C 上，且 = + ，求直线 l 的方程 22已知函数 f（ x） =g（ x） =中 x R （ ）若曲线 y=f（ x）与 y=g（ x）在 x=1 处的切线相互平行，求两平行直线间的距离； （ ）若 f（ x） g（ x） 1 对任意 x 0 恒成立，求实数 a 的值； （ ）当 a 0 时，对于函数 h（ x） =f（ x） g（ x） +1，记在 h（ x）图象上任取两点 A、 | 1，求 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分） 1命题 “任意的 x R， 2 0”的否定是（ ） A不存在 x R， 2 0 B存在 x R， 2 0 C对任意的 x R， 2 0 D存在 x R， 2 0 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是全称命题，则全称命题的否定是特称命题得命题的否定是： 存在 x R， 2 0， 故选： D 2设复数 z 满足 =（ ） A 0 B 1 C D 2 【考 点】 复数代数形式的混合运算；复数求模 【分析】 化简复数方程，求出复数 z 为 a+a、 b R）的形式，然后再求复数 |1+z|的模 【解答】 解：由于 ，所以 1 z=i+以 z= 则 |1+z|= 故选 C 3下列结论正确的个数是（ ） 命题 “所有的四边形都是矩形 ”是特称命 题； 命题 “ x R， 0”是全称命题； 若 p： x R， x+4 0，则 q： x R， x+4 0 是全称命题 A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 全称命题；特称命题 【分析】 利用全称命题与特称命题的定义判断即可 【解答】 解： 命题 “所有的四边形都是矩形 ”是全称命题，故 错误； 命题 “ x R， 0”是全称命题，故 正确； 若 p： x R， x+4 0，则 q： x R， x+4 0 是全称命题，故 正确 故选： C 4设 =（ x， 2y， 3）， =（ 1， 1， 6），且 ，则 x+y 等于（ ） A B C D 2 第 5 页（共 16 页） 【考点】 共线向量与共面向量 【分析】 利用向量共线定 理即可得出 【解答】 解： ， 存在实数 使得 ， （ x， 2y， 3） =（ 1， 1， 6）， x=， 2y=， 3=6， 解得 ， x= ， y= x+y= 故选： B 5设 f（ x）是函数 f（ x）的导函数， y=f（ x）的图象如图，则 y=f（ x）的图象最有可能的是（ ） A B C D 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【分析 】 直接根据导函数在 x （ 0， 2）上的符号得到原函数在 x （ 0， 2）上的单调性，由此可得结论 【解答】 解：因为函数 y=f（ x）的导函数在 x （ 0， 2）时恒大于 0，所以原函数 y=f（ x）的图象在 x （ 0， 2）时为增函数 选项中只有 C 符合 故选 C 6对于数 25，规定第 1 次操作为 23+53=133，第 2 次操作为 13+33+33=55，如此反复操作，则第 2016 次操作后得到的数是（ ） A 25 B 250 C 55 D 133 【考点】 归纳推理 【分析】 第 1 次操作为 23+53=133，第 2 次操作为 13+33+33=55，第 3 次操作为 53+53=250，第 4 次操作为 23+53+03=133，所以操作结果，以 3 为周期，循环出现，由此可得第 2016 次操作后得到的数 【解答】 解：第 1 次操作为 23+53=133， 第 2 次操作为 13+33+33=55， 第 3 次操作为 53+53=250， 第 4 次操作为 23+53+03=133 操作结果，以 3 为周期，循环出现 第 6 页（共 16 页） 2016=3 672， 第 2016 次操作后得到的数与第 3 次操作后得到的数相同 第 2016 次操作后得到的数是 250， 故选： B 7用反证法证明命题 “若 a+b+c 0， 0，则 a、 b、 c 三个实数中最多有一个小于零 ”的反设内容为（ ） A a、 b、 c 三个实数中最多有一个不大于零 B a、 b、 c 三个实数中最多有两个小于零 C a、 b、 c 三个实数中至少有两个小于零 D a、 b、 c 三个实数中至少有一个不大于零 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题 “a、 b、 c 三个实数中最多有一个小于零 ”的否定为： “a、 b、 c 三个实数中至少有两个小于零 ”，由此得出结论 【解答】 解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的 否定成立， 而命题 “a、 b、 c 三个实数中最多有一个小于零 ”的否定为： “a、 b、 c 三个实数中至少有两个小于零 ”， 故应假设的内容是： a、 b、 c 三个实数中至少有两个小于零 故选： C 8若 （ x a） a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 【考点】 定积分 【分析】 利用定积分的运算法则列出方程，求出 a 的值即可 【解答】 解： ， （ = 即 a= ， 解得 a=1 故选： B 9在正方体 ， M 为 中点， O 为四边形 中心， P 为棱 异面直线 成的角为 （ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 根据题意，直线 点 O 与 定的平面内设点 O 与 定的平面为， 且 ，可得 F、 E 为 中点，由正方形的性质可得 7 页（共 16 页） 由 面 得 此 面 合 面 此即可得到异面直线 成的角为 90 【解答】 解： 面 面 设 点 O 与 定的平面为 ， 且 ，则 F、 E 为 中点， 根据正方形的性质，可得 11， 面面 面 又 面 即直线 直线 成的角是 90 故选： D 10平面内有两定点 A、 B 及动点 P，设命题甲是： “|定值 ”，命题乙是： “点 、 B 为焦点的椭圆 ”，那么（ ） A甲是乙成立的充分不必要条件 B甲是乙成立的必要不充分条件 C甲是乙成立的充要条件 D甲是乙成立的非充分非必要条件 【考点】 椭圆的定义 【分析】 当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆，一定能够推出 |定值 【解答】 解：命题甲是： “|定值 ”， 命题乙是： “点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆 当一个动点到两个定点距离之和等于定值时， 再加上这个和 大于两个定点之间的距离， 可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出， 而点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆，一定能够推出 |定值， 甲是乙成立的必要不充分条件 故选 B 11设 4a（ a 0）的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足 ，则 a 的值为（ ） A 2 B C 1 D 【考点】 双曲线的简单性质 第 8 页（共 16 页） 【分析】 由数量积的意义结合勾股定理可得（ 2+20a，代入已知可得关于 a 的方程，解之可得 【解答】 解：由题意可得 直角， 直角三角形， 又双曲线的方程可化为 ， 故 =40a， 变形可得（ 2+20a， 由双曲线定义得（ 2 ） 2+4=20a， 即 ，解得 a=1， 故选 C 12若函数 f（ x）对任意的 x R 都有 f（ x） f（ x）恒成立，则（ ） A 3f（ 2f（ B 3f（ =2f（ C 3f（ 2f（ D 3f（ 2f（ 大小不确定 【考点】 导数的运算；利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造函数 g（ x），利用导数可判断 g（ x）的单调性，由单调性可得 g（ g（ 大小关系，整理即可得 到答案 【解答】 解：令 g（ x） = ，则 g（ x） = ， 因为对任意 x R 都有 f（ x） f（ x）， 所以 g（ x） 0，即 g（ x）在 R 上单调递增， 又 以 g（ g（ 即 ，即 即 3f（ 2f（ 故选： C 二、填空题（每题 5 分） 13如图，设 O 为平行四边形 在平面外任意一点， E 为 中点，若 = +x+y ，则 x+y= 1 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 第 9 页（共 16 页） 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则便有 ， ，再根据向量减法的几何意义，及向量的数乘运算便可得到 ，这样便可求出 x， y，从而求出 x+y 的值 【解答】 解：根据题意， = = = ； x+y= 1 故答案为： 1 14已知在等差数列 ， ，则在等比数列 ，类似的结论为 【考点】 类比推理 【分析】 在等差数列中，等差数列的性质 m+n=p+q，则 am+an=ap+么对应的在等比数列中对应的性质是若 m+n=p+q，则 【解答】 解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法， 等差数列中除法对应等比数列中的开方， 故此我们可以类比得到结论： 故答案为： 15设点 P 是曲线 上的任意一点，点 P 处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围为 0， 90 120， 180） 【考点】 简单复合函数的导数；直线的倾斜角 【分析】 先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到 的范围确定答案 【解答】 解：设点 P 是曲线 上的任意一点， y=3 点 P 处的切线的斜率 k=3 k 第 10 页（共 16 页） 切线的倾斜角 的范围为： 0， 90 120， 180） 故答案为： 0， 90 120， 180） 16设双曲线 （ a 0， b 0）的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，线段 ，若 ，则双曲线的离心率为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由 ，得 ，从而求出 A 点坐标，再由点 A 在渐近线 y=上，能求出双曲线的离心率 【解答】 解：设点 F（ c， 0）， B（ 0， b）， 由 ，得 =2（ ）， ， A（ ， ）， 点 A 在渐近线 y= 上，则 ， 解得 e= 故答案为： 2 三、解答题 17已知命题 p：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：关于 x 的方程m+3=0 无实根， （ 1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 “p q”为假命题， “p q”为真命题，求实数 m 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 （ 1）若命题 p 为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数 （ 2）根据复合命题的关系得到 p， q 为一个真命题，一个假命题，然后求解即可 【解答】 解：（ 1） 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆， ，即 ， 即 1 m 1， 若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围是（ 1， 1）； 第 11 页（共 16 页） （ 2）若 “p q”为假命题， “p q”为真命题， 则 p， q 为一个真命题，一个假命题， 若关于 x 的方程 m+3=0 无实根， 则判别式 =44（ 2m+3） 0， 即 2m 3 0，得 1 m 3 若 p 真 q 假，则 ，此时无解， 柔 p 假 q 真，则 ，得 1 m 3， 综上，实数 m 的取值范围是 1， 3） 18在数列 ， ，且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2n 1 倍（ n N*） （ 1）写出此数列的前 5 项； （ 2）归纳猜想 通项公式，并用数学归纳法证明 【考点】 数学归纳法；数列的函数特性 【分析】 （ 1）利用数列 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2n 1 倍，推出关系式，通过n=2， 3， 4， 5 求出此数列的前 5 项； （ 2）通过（ 1）归纳出数列 通项公式，然后用数学归纳法证明第一步验证 n=1 成立；第二步，假设 n=k 猜想成立，然后证明 n=k+1 时猜想也成立 【解答】 解：（ 1）由已知 ， =（ 2n 1） 别取 n=2， 3， 4，5， 得 ， ， ； 所以数列的前 5 项是： ， ， ， ， ； （ 2）由（ 1）中的分析可以猜想 （ n N*） 下面用数学归纳法证明： 当 n=1 时，猜想显然成立 假设当 n=k（ k 1 且 k N*）时猜想成立，即 那么由已知，得 ， 即 a1+a2+ 2k） 所以（ 2k） 2k） ， 即（ 2k 1） 2k+3） ，又由归纳假设，得 ， 所以 ，即当 n=k+1 时，猜想也成立 第 12 页（共 16 页） 综上 和 知，对一切 n N*，都有 成立 19由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨 x 成（即上涨率为 ），涨价后商品卖出的个数减少 ，税率是新价的 a 成，这里 a， b 均为常数，且 a 10，用 A 表示过去定价， B 表示过去卖出的个数 （ 1）设售货款扣除税款后，剩余 y 元，求 y 关于 x 的函数解析式； （ 2）要使 y 最大，求 x 的值 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【 分析】 （ 1）定价上涨 x 成，即为 A（ 1+ ），卖出的个数为 B（ 1 ），售货款扣除税款后，能求出 y 关于 x 的函数解析式 （ 2）由已知得 ，由此利用导数性质能求出使 y 最大的 x 的值 【解答】 解：（ 1）定价上涨 x 成，即为 A（ 1+ ）， 卖出的个数为 B（ 1 ），售货款扣除税款后， 剩余 y=1+ ）（ 1 ）（ 1 ），（ 0 x 10） （ 2） y=1+ ）（ 1 ）（ 1 ） =1 ） +（ ） x+1， ， 令 y=0，得 x= ， x （ 0， ）时， y 0；当 x （ ）时， y 0 =1 ） 使 y 最大有 x 的值为 20如图，在直三棱柱 ， C=2， ，点 D 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求平面 成二面角的平面角的正弦值 第 13 页（共 16 页） 【考点】 二面角的平 面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）连接 E，证明： 可证明 平面 （ ）建立空间直角坐标系，求出平面 一个法向量、平面 法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面 成二面角的平面角的正弦值 【解答】 （ ）证明：连接 E，则 E 为 中点，又点 D 是 中点， 所以 又 面 面 平面 （ ）解：如图建立空间直角 坐标系 A 则 A（ 0， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， D（ 1， 1， 0）， 0， 2， 4）， =（ 0， 2， 0）是平面 一个法向量， 设平面 法向量 =（ x， y， z） =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 2， 4）， 取 z=1，得 y= 2， x=2 平面 法向量 =（ 2， 2， 1）， 平面 成的二面角为 ， | |= 从而 ，即平面 成二面角的正弦值为 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，短轴长为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点 O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 P 在椭圆 C 上，且 = + ，求直线 l 的方程 第 14 页（共 16 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得 b= ，运用离心率公式和 a， b， c 的关系，可得 a，进而得到椭圆方程； （ 2）设 A（ B（ （ ）当 l 不垂直于 x 轴时，设 l 的方程为 y=k（ x 1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得 k；（ ）当 l 垂直于 x 轴时，由向量的加法运算，即可判断 【解答 】 解：（ 1）由 2b=2 得 b= ， 即有 = ， ， 所以 ， 则椭圆方程为 ； （ 2）椭圆 C 的方程为 2设 A（ B（ （ ）当 l 不 垂直于 x 轴时，设 l 的方程为 y=k（ x 1） C 上的点 P 使 = + 成立的充要条件是 P 点坐标为（ x1+y1+ 且 2（ x1+2+3（ y1+2=6， 整理得 2， 又 A、 B 在椭圆 C 上，即 2， 2， 故 2=0 将 y=k（ x 1）代入 2，并化简得 （ 2+366=0， 于是 x1+， x1， y1y2=1）（ 1） = 代入 解得 ， 因此，当 k= 时， l 的方程为 x+y =0； 当 k= 时， l 的方程为 x y =0 （ ）当 l 垂直于 x 轴时，由 + =（ 2， 0）知， C 上不存在点 P 使 = + 成立 综上， l 的方程为 x y =0 22已知函数 f（ x） =g（ x） =中 x R （ ）若曲线 y=f（ x）与 y=g（ x