2016年各地中考解析版数学试卷分类汇编(第2期)等腰三角形

等腰三角形 一、 选择题 1. （ 2016浙江省湖州市 3 分 ） 如图 1，在等腰三角形 ， C=4， 如图 2，在底边 取一点 D，连结 得 图 3，将 着 在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 到四边形 长是（ ） A 4 B C 3 D 2 【考点】 翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】 只要证明 = ，只要求出 可解决问题 【解答】 解： C， C= C， = ， = ， ， C ， = ， 即 = ， ， D ， C= A、 B、 E、 D 四点共圆， = ， = = 故选 B 2.（ 2016广西百色 3 分）如图，正 边长为 2，过点 l A于直线 l 对称， D 为线段 一动点，则 D 的最小值是（ ） A 4 B 3 2 C 2 3 D 2+ 3 【考点】 轴对称 边三角形的性质 【分析】 连接 连接 AC交 y 轴于点 D，连接 时 D 的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形 为菱形，根据菱形的性质即可求出 A而得出结论 【解答 】 解：连接 连接 AC交 l 于点 D，连接 时 D 的值最小，如图所示 A正三角形，且 A于直线 l 对称， 四边形 为边长为 2 的菱形，且 =60， AC=223AB=2 3 故选 C 3.（ 2016广西桂林 3 分）已知直线 y= 3 x+3 与坐标轴分别交于点 A， B，点 P 在抛物线y= （ x 3 ） 2+4 上，能使 等腰三角形的点 P 的个数有（ ） A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定 【分析】 以点 抛物线于点 C、 M、 N 点，连接 直线 y= x+3 可求出点 A、 合抛物线的解析式可得出 边三角形，再令抛物线解析式中 y=0 求出抛物线与 x 轴的两交点的坐标，发现该两点与 M、 N 重合，结合图形分三种情况研究 等腰三角形，由此即可得出结论 【解答】 解：以点 抛物线于点 C、 M、 N 点，连接 C，如图所示 令一次函数 y= x+3 中 x=0，则 y=3， 点 0， 3）； 令一次函数 y= x+3 中 y=0，则 x+3， 解得： x= ， 点 ， 0） 抛物线的对称轴为 x= ， 点 C 的坐标为（ 2 ， 3）， =C， 等边三角形 令 y= （ x ） 2+4 中 y=0，则 （ x ） 2+4=0， 解得： x= ，或 x=3 点 E 的坐标为（ ， 0），点 F 的坐标为（ 3 ， 0） 等腰三角形分三种情况： 当 P 时，以 度为半径做圆，与抛物线交于 C、 M、 N 三点； 当 P 时，以 度为半径做圆，与抛物线交于 C、 M 两点，； 当 P 时，作线段 垂直平分线，交抛物线交于 C、 M 两点； 能使 等腰三角形的点 P 的个数有 3 个 故选 A 4.（ 2016贵州安顺 3 分）已知实数 x， y 满足 ，则以 x， y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A 20 或 16B 20 C 16D以上答案均不对 【分析】 根据非负数的意义列出关于 x、 y 的方程并求出 x、 y 的值，再根据 x 是腰长和底边长两种情况讨论求解 【解答】 解：根据题意得 ， 解得 ， （ 1）若 4 是腰长，则三角形的三边长为： 4、 4、 8， 不能组成三角形； （ 2）若 4 是底边长，则三角形的三边长为： 4、 8、 8， 能组成三角形，周长为 4+8+8=20 故选 B 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关 系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键 5. （ 2016湖北武汉 3 分 ） 平面直角坐标系中， 已知 A(2， 2)、 B(4， 0)若在坐标轴上取点C，使 满足条件的点 ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 等腰三角形的判定；坐标与图形性质 【答案】 A 【解析】 构造等腰三角形， 分别以 A， 长为半径作圆； 作 图，一共有 5 个 C 点，注意，与 B 共线的点要排除。 6. （ 2016辽宁丹东 3 分 ） 如图，在 ， 分 点 F， 分 点 E， ， ，则 为（ ） A 8B 10C 12D 14 【考点】 平行四边形的性质 【分析】 由平行四边形的性质和角平分线得出 出 B=6，同理可证C=6，再由 长，即可求出 长 【解答】 解： 四边形 平行四边形， B=6， C， 分 则 B=6， 同理可证： C=6， F+， 即 6+6 ， 解得 ： 0； 故选： B 7. （ 2016四川内江 ） 已知等边三角形的边长为 3，点 P 为等边三角形内任意一点，则点 ) A 32B 332C 32D不能确定 答案 B 考点 勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。 解析 如图， 3，点 P 是三角形内任意一点，过点 P 分别向三边垂线，垂足依次为 D， E， F，过点 H 则 32， 22H 332 连接 S S S S 12D 12E 12F 12H 332 故选 B 8. （ 2016黑龙江龙东 3 分 ） 若点 O 是等腰 外心，且 0，底边 ，则 面积为（ ） A 2+ B C 2+ 或 2 D 4+2 或 2 【考点】 三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质 【分析】 根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下 面积，本题得以解决 【解答】 解：由题意可得，如右图所示 ， 存在两种情况， 当 ，连接 点 O 是等腰 外心，且 0，底边 ， C， 等边三角形， C=， 点 D， ， ， =2 ， 当 ，连接 点 O 是等腰 外心，且 0，底边 ， C， 等边三角形， C=， 点 D， ， ， S = =2+ ， 由上可得， 面积为 或 2+ ， 故选 C P B A D E F 答案图 C H 9 （ 2016湖北黄石 3 分 ） 如图所示，线段 垂直平分线交线段 ， A=50，则 ） A 50 B 100 C 120 D 130 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到 C，根据等腰三角形的性质得到 A，根据三角形的外角的性质计算即可 【解答】 解： 线段 垂直平分线， C， A=50， A=100， 故选： B 【点评】 本 题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 10.（ 2016湖北荆门 3 分 ） 如图， ， C， 平分线已知 ，则 长为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 【考点】 勾股定理；等腰三角形的性质 【分析】 根据等腰三角形的性质得到 D，根据勾股定理即可得到结论 【解答】 解： C， 平 分线， D， ， ， =4， ， 故选 C 11 （ 2016湖北荆门 3 分 ） 已知 3 是关于 x 的方程 m+1） x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 两条边的边长，则 周长为（ ） A 7 B 10 C 11 D 10 或 11 【考点】 解一元二次方程 元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角 形的性质 【分析】 把 x=3代入已知方程求 得 后通过解方程求得该方程的两根，即等腰 三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可 【解答】 解：把 x=3 代入方程得 9 3（ m+1） +2m=0， 解得 m=6， 则原方程为 7x+12=0， 解得 ， ， 因为这个方程的两个根恰好是等腰 两条边长， 当 腰为 4，底边为 3 时，则 周长为 4+4+3=11； 当 腰为 3，底边为 4 时，则 周长为 3+3+4=10 综上所述，该 周长为 10 或 11 故选： D 12 （ 2016湖北荆州 3 分 ） 如图，在 ， C=90， C 于 D， 垂直平分线，垂足为 E若 ，则 长为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得 B= 0， 【解答】 解： 直平分 B， B= 分 C=90， 3 0， 0， 分 E= ， E=1， 故选 A 【点评】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键 二、 填空题 1. （ 2016吉林 3 分 ） 在三角形纸片 ， C=90， B=30，点 D（不与 B， C 重合）是 任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若 长度为 a，则 周长为 3a （用含 a 的式子表示） 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 由折叠的性质得出 F=a， E，则 a，由含 30角的直角三角形的性质得出 BF=a，即可得出 周长 【解答】 解：由折叠的性质得： 点是对称关系， E， 则 F=a， a， B=30， BF=a， 周长 =F+F+a+a=3a； 故答案为： 3a 2. （ 2016江西 3 分 ） 如图是一张长方形纸片 知 ， ， E 为 E=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（ 使点 P 落在长方形 某一条边上，则等腰三角形 底边长是 5或 4或 5 【考点】 矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理 【分析】 分情况讨论： 当 E=5 时，则 等腰直角三角形，得出底边 E=5 即可； 当 E=5 时，求出 勾股定理求出 由勾股定理求出等边 可； 当 E 时，底边 ；即可得出结论 【解答】 解：如图所示： 当 E=5 时， 0， 等腰直角三角形， 底边 ； 当 E=5 时， B 5=3， B=90， =4， 底边 = =4 ； 当 E 时，底边 ； 综上所述：等腰三角形 对边长为 5 或 4 或 5； 故答案为： 5 或 4 或 5 3. （ 2016黑龙江龙东 3 分 ） 如图，等边三角形的顶点 A（ 1， 1）、 B（ 3， 1），规定把等边沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位 ”为一次変换，如果这样连续经过 2016 次变换后，等边 顶点 C 的坐标为 【考点】 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化 【分析】 据轴对称判断出点 x 轴上方，然后求出点 根据平移的距离求出 点 后写出即可 【解答】 解：解： 等边三角形 1=2， 点 C 到 x 轴的距离为 1+2 = +1， 横坐标为 2， A（ 2， +1）， 第 2016 次变换后的三角形在 x 轴上方， 点 1， 横坐标为 2= 所以，点 的坐标是 (+1) 故答案为： (+1) 4 （ 2016黑龙江齐齐哈尔 3 分 ） 有一面积为 5 的等腰三角形，它的一个内角是 30，则以它的腰长为边的正方形的面积为 20 和 20 【考点】 正方形的性质；等腰三角形的性质 【分析】 分两种情形讨论 当 30 度角是等腰三 角形的顶角， 当 30 度角是底角，分别作腰上的高即可 【解答】 解：如图 1 中，当 A=30， C 时，设 C=a， 作 D， A=30， a， a a=5 ， 0 ， 腰长为边的正方形的面积为 20 如图 2 中，当 0， C 时，作 A 的延长线于 D，设 C=a， C， C=30， 20， 0， 在 ， D=90， 0， a， a a=5 ， 0， 腰长为边的正方形的面积为 20 故答案为 20 或 20 5 （ 2016湖北黄石 3 分 ） 如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30方向，距离灯塔 4海里的 海轮沿南偏东 30方向航行 4 海里后，到达位于灯塔 P 的正东方向的 【分析】 根据等 腰三角形的性质，可得答案 【解答】 解：一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30方向，距离灯塔 4 海里的 海轮沿南偏东 30方向航行 4 海里后，到达位于灯塔 P 的正东方向的 故答案为： 4 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键 6 （ 2016湖北荆门 3 分 ） 如图，已知点 A（ 1， 2）是反比例函数 y= 图象上的一点，连接 延长交双曲线的另一分支于点 B，点 P 是 x 轴上一动点；若 点 P 的坐标是 （ 3， 0）或（ 5， 0）或（ 3， 0）或（ 5， 0） 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质 【分析】 由对称性可知 O 为 中点，则当 A=B，设 P 点坐标为（ x， 0），可分别表示出 而可得到关与 x 的方程，可求得 x，可求得 P 点坐标 【解答】 解： 反比例函数 y= 图象关于原点对称， A、 对称， O 为 中点，且 B（ 1， 2）， 当 A=B= 设 P 点坐标为（ x， 0）， A（ 1， 2）， B（ 1， 2）， =2 ， ， 当 有 =2 ，解得 x= 3 或 5，此时 P 点坐标为（ 3， 0）或（ 5， 0）； 当 B 时，则有 =2 ，解得 x=3 或 5，此时 P 点坐标为（ 3， 0）或（ 5， 0）； 综上可知 P 点的坐标为（ 3， 0）或（ 5， 0）或（ 3， 0）或（ 5， 0）， 故答案为：（ 3， 0）或（ 5， 0）或（ 3， 0）或（ 5， 0） 7.（ 2016福建龙岩 3 分）如图， 等边三角形， 分 E 在 延长线上，且 ， E=30，则 2 【考点】 等边三角形的性质 【分析】 先证明 明 等腰三角形即可解决问题 【解答】 解： 等边三角形， 0， C， 分 E=30， 0， E+ E=30， E=1， ， 故答案为 2 8.（ 2016广西桂林 3 分）如图，在 ， 0， C=3， ， ，点 O 是 点，连接 【考点】 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 在 截取 H，连接 据相似三角形的性质得到 ，求得 ，根据等腰直角三角形的性质得到 B= A= 5，等量代换得到 据全等三角形的性质得到 H， 出 等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论 【解答】 解：在 截取 H，连接 0 C=3， ， ， ， ， O 是 点， B= A= 5， 5， 5， 在 ， ， H， 0， 即 等腰直角三 角形， D = ， H = ， 故答案为： 9.（ 2016贵州安顺 4 分）如图，直线 m n， 等腰直角三角形， 0，则 1= 45 度 【分析】 先根据等腰直角三角形的性质求出 度数，再由平行线的性质即可得出结论 【解答】 解： 等腰直角三角形， 0， 5， m n， 1=45； 故答案为： 45 【点评】 此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：两直线平行，同位角相和等腰直角三角形的性质；关键是求出 度数 4.（ 2016黑龙江哈尔滨 3 分）在等腰直角三角形 ， 0， ，点 P 为边三等分点，连接 长为 或 【考点】 等腰直角三角形 【分析】 如图 1 根据已知条件得到 ，根据勾股定理即可得到结论； 如图 2，根据已知条件得到 ，根据勾股定理 即可得到结论 【解答】 解： 如图 1， 0， C=3， ， ， = ， 如图 2， 0， C=3， ， = ， 综上所述： 长为 或 ， 故答案为： 或 10（ 2016山东省滨州市 4 分 ）如图， 等边三角形， ，分别以 A， B， C 为圆心 ，以 2 为半径作弧，则图中阴影部分的面积是 2 3 【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的面积公式求出正 面积，根据扇形的面积公式 S=求出扇形的面积，求差得到答案 【解答】解： 正 边长为 2， 面积为 2 = ， 扇形 面积为 = ， 则图中阴影部分的面积 =3（ ） =2 3 ， 故答案为： 2 3 【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式 S=是解题的关键 三 1（ 2016山东省 菏泽 市 3 分 ）如图， 为等腰三角形，点 A， D， E 在同一直线上，连接 （ 1）如图 1，若 0 求证： E； 求 （ 2）如图 2，若 20， 上的高， 试证明： 【考点】等腰三角形的性质 【分析】（ 1） 通过角的计算找出 结合 为等腰三角形可得出 “C， C”，利用全等三角形的判定（ 可证出 此即可得出结论 E； 结合 中的 得出 通过角的计算 即可算出 （ 2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（ 1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段 长度，二者相加即可证出结论 【解答】（ 1） 证明： 0， 80 250=80 和 为等腰三角形， C， C 在 ，有 ， E 解： 点 A， D， E 在同一直线上，且 0， 80 30， 30 0， 30 50=80 （ 2）证明： 为等腰三角形，且 20， （ 180 120） =30 0， M 在 ， 0， 0， =2 80 30=150， 50 30=120， 80 120=60 在 ， 0， 0， = E， D+ E+ 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（ 1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出 2）找出线段 长本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键 2. （ 2016湖北随州 10 分 ） 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了 “中垂三角形 ”，即两条中线互相垂直的三角形称为 “中垂三角形 ”如图（ 1）、图（ 2）、图（ 3）中， 中线， 点 P，像 样的三角形均为 “中垂三角形 ”设 BC=a， AC=b， AB=c 【特 例探究】 （ 1）如图 1，当 ， c=4 时， a= 4 ， b= 4 ； 如图 2，当 0， c=2 时， a= ， b= ； 【归纳证明】 （ 2）请你观察（ 1）中的计算结果，猜想 等式 表示出来，并利用图 3 证明你的结论 【拓展证明】 （ 3）如图 4， ， E、 F 分别是 三等分点，且 接 E， 交点 G， ， ，求 长 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1） 首先证明 是等腰直角三角形，求出 利用勾股定理即可解决问题 连接 ，利用 30性质求出 利用勾股定理即可解决问题 （ 2）结论 a2+ MP=x， NP=y，则 x， y，利用勾股定理分别求出 b2、 （ 3）取 点 H，连接 A 的延长线于 P 点，首先证明 中垂三角形，利用（ 2）中结论列出方程即可解决问题 【解答】 （ 1）解：如图 1 中， E， F， ， ， 5， E=2， A=4， F= =2 b= ， a= 故答案为 4 ， 4 如图 2 中，连接 ， E， F， ， 0， ， ， 在 ， 0， ， ， = ， = ， a=， b=， 故答案分别为 ， （ 2）结 论 a2+ 证明：如图 3 中，连接 中线， = = ， 设 FP=x， EP=y，则 x， y， （ =46 （ =46 a2+00（ 4=5 （ 3）解：如图 4 中，在 ， G，取 点 H，连接 A 的延长线于 P 点， 同理可证 F， F=2 即 F， 四边形 平行四边形， 中垂三角形， 由 （ 2） 可知 ， ， 9+（ ） 2， 3. （ 2016吉林 10 分 ） 如图，在等腰直角三角形 ， 0， ，点 P 从点 AC 方向以 cm/s 的速度运动到点 C 停止，在运动过程中，过点 P 作 点 Q，以线段 边作等腰直角三角形 0（点 M， C 位于 侧）设点 P 的运动时间为 x（ s）， 叠部分的面积为 y（ （ 1）当点 M 落在 时， x= 4 ； （ 2）当点 M 落在 时， x= ； （ 3）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围 【考点】 三角形综合题 【分析】 （ 1）当点 M 落在 时，四边形 正方形，此时点 D 与点 Q 重合，由此即可解决问题 （ 2）如图 1 中，当点 M 落在 时，作 E，先证明 E= = = ，由此即可解决问题 （ 3）分三种情形 当 0 x4时，如图 2 中，设 别交 点 E、 F，则重叠部分为 当 4 x 时，如图 3 中，设 别交 E、 G，则重叠部分为四边形 当 x 8 时，如图 4 中，则重合部分为 别计算即可解决问题 【解答】 解：（ 1）当点 M 落在 时，四边形 正方形，此时点 D 与点 Q 重合，P=4 ，所以 x= =4 故答案为 4 （ 2）如图 1 中，当点 M 落在 时，作 E 是等腰直角三角形， Q= E= = = ， ， ， x= = 故答案为 （ 3） 当 0 x4时，如图 2 中，设 别交 点 E、 F，则重叠部分为 x， E=x， y=S F= 当 4 x 时，如图 3 中，设 别交 E、 G，则重叠部分为四边形 C=8 x， 6 2x， M 6 3x， y=S S （ 8 x） 2 （ 16 3x） 2= 2x 64 当 x 8 时，如图 4 中，则重合部分为 y=S （ 8 x） 2=16x+64 综上所述 y= 4. （ 2016黑龙江齐齐哈尔 12 分 ） 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A（ ， 0）的两条直线分别交 y 轴于 B、 C 两点，且 B、 C 两点的纵坐标分别是一元二次方程 2x3=0 的两个根 （ 1）求线段 长度； （ 2）试问：直线 直线 否垂直？请说明理由； （ 3）若点 D 在直线 ，且 C，求点 D 的坐标； （ 4）在（ 3）的条件下，直线 是否存在点 P，使以 A、 B、 P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出 P