2016年玉溪市高三第三次教学质量检测文科数学试卷含答案解析

2016年云南省玉溪市高三第三次教学质量检测文科数学试卷 一、单选题（共 12小题） 1 已知集合 ，则 （ ） A B C D 考点： 集合的运算 答案： D 试题解析： 由 ，解得 ，得 故答案为： D 2 设复数 满足 ，则 （ ） A B C D 考点： 复数乘除和乘方 答案： A 试题解析： 故答案为： A 3 各项均为正数的等差数列 。其公差 ，前 项和为 ，若 构成等比数列，则下列能构成等比数列的是（ ） A B C D 考点： 等差数列 答案： B 试题解析： 由题意知等差数列 的首项 ，公差 ， 由 构成等比数列得 ， 即 ，得 ， 所以 所以 成等比数列。 故答案为： B 4 已知 为异面直线， 为两个不同的平面， ，直线 满足，则（ ） A 且 B 且 C 且 D 且 考点： 点线面的位置关系 答案： D 试题解析： 由 。得： 且 。 故答案为： D 5 的内角 的对边分别为 ， ，则（ ） A B C 2 D 考点： 正弦定理 答案： C 试题解析： 由题意得 ，解得 。 故答案为： C 6 下列程序框图的输出结 果为 的是（ ） A B C D 考点： 算法和程序框图 答案： D 试题解析： 选项 的程序框图输出的结果为 ； 选项 的程序框图输出的结果为 ； 选项 的程序框图输出的结果为 ； 选项 的程序框图输出的结果为 。 故答案为： D 7 变量 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 4，则 的值为（ ） A B C D 4 考点： 线性规划 答案： D 试题解析： 作可行域： 作出不等式组表示的区域如图 1 所示， 由图可知， 过点 时取最大值，所以 故答案为： D 8 若实数 满足 ， 则 的最小值为（ ） A B C D 考点： 均值定理的应用 答案： A 试题解析： ， （当且仅当 时取等号）， ，解得 ，即 的最小值为 。 故答案为： A 9 如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A B C D 考点： 空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 答案： A 试题解析： 由三视图还原出几何图如图 2 所示，其中正视图由 面看入， 平面， 与 平行，。 故答案为： A 10 设函数 ，在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 （ ） A B C D 考点： 利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 答案： C 试题解析： ，由于 在区间 上单调递减， 则有 在 上恒成立，即 ， 也即 在 上恒成立，因为 在 上单调递增， 所以 . 故答案为： C 11 已知三棱锥 的外接球为球 ，球 的直径 ，且 都是等边三角形，则三棱锥 的体积是（ ） A B C D 考点： 空间几何体的表面积与体积 答案： A 试题解析： 取 外接圆圆心 ，连接 的中点即球心 与 ， 由球的性质可知 与平面 垂直， 在 中， ，故 又 ，故 到平面 的距离 ， 因此 故答案为： A 12 过双曲线 的左焦点 作圆： 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 考点： 双曲线 答案： B 试题解析： ， ， ，设 为双曲线右焦点，则 ， ， 故答案为： B 二、 填空题（共 4小题） 直线 及 ，都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为 _ 考点：圆的标准方程与一般方程 答案： 试题解析：设圆心 坐标为 ，则有 ，解得 ，则 ， 所以圆 的方程为 故答案为： 一元二次方程 ，若 是从区间 任取的一个数，则上述方程有实根的概率为 _ 考点：几何概型 答案： 试题解析：方程有实根，则 ，即 ，解得 或，所以概率为 故答案为： 足 ，则该数列的前 20 项和为 _ 考点：数列综合应用 答案： 试题解析：当 为奇数时， ，故奇数项是以 为首项，公比为 2 的等比数列； 当 为偶数时， ，故偶数项是以 为首项，公差为 2 的等差数列，所以前20 项中的奇数项和为 ， 前 20 项中的偶数项和为 ， 所以 故答案为： 1133 正三角形 ，其内切圆与 切于点 为内切圆上任意一点，则的取值范围为 _ 考点：数量积的应用 答案： 试题解析：以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示则点 ， ，内切圆 的方程为 ， 设点 ，则 故答案为： 三、 解答题（共 8小题） 内角 的对边分别为 ，且 （ 1）求 ； （ 2）若点 为边 的中点， ，求 面积的最大值 考点：正弦定理余 弦定理 答案：见解析 试题解析：（ 1）因为 ， 由正弦定理知 ， 即 ， 又由 为 的内角，故而 ， 所以 又由 为 的内角，故而 （ 2）如图，因为点 为边 的中点，故而 ， 两边平方得 ，又由（ 1）知 ，所以 ，即 向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组，第 5 组 ，得如图所示的频率分布直方图 （ 1）若从第 3， 4， 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3， 4， 5 组中各抽取多少名志愿者？ （ 2）在（ 1）的条件下，该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率 考点：古典概型抽样 答案：见解析 试题解析：（ 1）第 3 组的人数为 ，第 4 组的人数为 ， 第 5 组的人数为 因为第 3， 4， 5 组共有 60 名志愿者， 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者，每组抽取的人数分别为： 第 3 组： ； 第 4 组： ； 第 5 组： ； 所以应从第 3， 4， 5 组中分别抽取 3 人， 2 人， 1 人 （ 2）记第 3 组的 3 名志愿者为 ，第 4 组的 2 名志愿者为 ， 第 5 组的 1 名志愿者为 ， 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有：， 共有 15 种结果 其中第 4 组的 2 名志愿者 ， 至少有一名志愿者被抽中的有：，共有 9 种结果 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 知四棱锥 的底面是直角梯形，侧面 底面 ，点在线段 上，且满足 （ 1）当 时，求证： 平面 ； （ 2）当 时，求三棱锥 的体积 考点：空间几何体的表面积与体积平行 答案：见解 析 试题解析：（ 1）证明：当 时，点 为 的中点，如图， 取 的中点 ，连接 ，则 且 又由题意知， 且 ，所以 且 ， 故而四边形 为平行四边形， 所以 ， 又由 平面 且 平面 ， 所以 平面 （ 2）解：如图，取 的中点 ，连接 ， 由 ，则 ，且 又侧面 底面 ， 且平面 平面 ， 所以 平面 ， 所以 由题意知， ， 所以 由 ，则 ， 所以三棱锥 的体积为 作直线 交椭圆 于 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 （ 1）求椭圆 的离心率； （ 2）设直线 与 轴交于点 ，且满足 ，当 的面积最大时，求椭圆 的方程 考点：圆锥曲线综合椭圆 答案：见解析 试题解析：（ 1）设 ，代入椭圆的方程有， ，两式相减： ， 即 ， 又 ， 联立两个方程有 ， 解得 （ 2）由（ 1）知 ，得 ， 可设椭圆方程为 设直线 的方程为 ，代入椭圆的方程有， 因为直线与椭圆相交，所以 ， 由韦达定理得 又 ，所以 ， 代入上述两式有 所以，当且仅当 时，等号成立 此时 ，代入 有 成立， 所以所求椭圆方程为 。 （ 1）若 恒成立，试确定实数 的取值范围； （ 2）证明： 考点：导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 答案：见解析 试题解析：（ 1）解：由 有 ， 即 ，令 ， 解得 在 上， ，在 上， ， 所以在 时， 取得最大值 ，即 （ 2）证明：由（ 1）知，当 时， ， 令 ，有 所以有 ， 累加得： 何证明选讲 如图，在 中， 是 的平分线， 的外接圆 交 于点 是的切线交 于点 ，且 （ 1）若 为 的中点， ，求 的长； （ 2）求 考点：圆相似三角形 答案：见解析 试题解析：（ 1）因为 为 的中点，所以 由割线定理知， ，所以 ，可得 又因为 是 的平分线， 所以 （ 2）因为 是圆 的切线， 为切点， 为圆 的割线， 由切割线定理知， ， 因为 ，所以 ，即 ， 由 ，所以 标系与参数方程 已知平面直角坐标系 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 点极坐标系为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数） （ 1）写出点 的直角坐标及曲线 的直角坐标方程； （ 2）若 为曲线 上的动点，求 的 中点 到直线 的距离的最小值 考点：参数和普通方程互化极坐标方程 答案：见解析 试题解析：（ 1）点 的直角坐标为 ；由 得 ，将 代入 ， 可得曲线 的直角坐标方程为 （ 2）直线 的直角坐标方程为 设点 的直角坐标为 ， 则 ， 那么 到直线 的距离 （当且