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第2课时基本不等式 1 定理1 重要不等式 如果a b r 那么a2 b2 2ab 当且仅当时 等号成立 自学导引 a b 正数 基础自测 答案c 答案b 答案a 思维启迪 解答本题可先对a b b c c a分别使用均值不等式 再把它们相乘或相加得到 规律方法 1 用基本不等式证明不等式时 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形 使之具备均值不等式的结构和条件 然后合理地选择均值不等式或其变形形式进行证明 2 本题证明过程中多次用到基本不等式 然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式 要注意不等式性质的使用条件 对 当且仅当 时取等号 这句话要搞清楚 思维启迪 解答本题可灵活使用 1 的代换或对条件进行必要的变形 再用基本不等式求得和的最小值 规律方法在应用基本不等式求最值时 分以下三步进行 1 首先看式子能否出现和 或积 的定值 若不具备 需对式子变形 凑出需要的定值 2 其次 看所用的两项是否同正 若不满足 通过分类解决 同负时 可提取 1 变为同正 3 利用已知条件对取等号的情况进行验证 若满足 则可取最值 若不满足 则可通过函数单调性或导数解决 变式2 已知x 0 y 0 且x 2y xy 30 求xy的最大值 题型三基本不等式的实际应用 例3 甲 乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片 甲 乙两公司分别购芯片各两次 两次的芯片价格不同 甲公司每次购10000片芯片 乙公司每次购10000元芯片 哪家公司平均成本较低 请说明理由 思维启迪 先建立数学模型 再用基本不等式求解 规律方法应用不等式解决问题时 关键是如何把等量关系 不等量关系转化为不等式的问题来解决 也就是建立数学模型是解应用题的关键 最后利用不等式的知识来解 变式3 某单位决定投资3200元建一仓库 长方体状 高度恒定 它的后墙利用旧墙不花钱 正面用铁栅 每米造价40元 两侧砌砖墙 每米造价45元 顶部每平方米造价20元 试问 1 仓库底面积s的最大允许值是多少 2 为使s达到最大 而实际投资又不超过预算 那么正面铁栅应设计为多长 答案 3 本题易出现的错误有两个方面 一是不会 凑 不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值 二是利用基本不等式求解最值时 忽视因式的取值范围 直接套用基本不等式求最值 答案 1 3 利用基本不等式求最值 关键是对式子恰当的变形 合理构造 和式 与 积式 的
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