2016年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1设集合 M=x|x2=x， N=x|0，则 M N= 2已知虚数 1+2i 是方程 x2+ax+b=0（ a， b R）的一个根，则 a+b= 3在报名的 5 名男生和 4 名女生中，选取 5 人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示） 4已知复数 z 在复 平面内对应的点在曲线 y= 上运动，则 |z|的最小值为 5已知函数 f（ x）的对应关系如表： x 2 1 0 1 2 f（ x） 3 2 1 5 m 若函数 f（ x）不存在反函数，则实数 m 的取值集合为 6在正项等比数列 ， ， a2+，则 （ a1+= 7已知 f（ x） =2 0）在 0， 单调递增，则实数 的最大值为 8若行列式 中的元素 4 的代数余子式的值等于 ，则实数 x 的取值集合为 9二项式（ 2x ） n 展开式中的第 5 项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 10已知 A， B 是球 O 的球面 上两点， 0， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 11如图， A， B 为椭圆 + =1（ a b 0）的两个顶点，过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C，若 O 为坐标原点），则直线 斜率为 第 2 页（共 19 页） 12若经过抛物线 x 焦点的直线 l 与圆（ x 4） 2+ 相切，则直线 l 的方程为 13设函数 f（ x） = （其中 a 0， a 1），若不等式 f（ x） 3 的解集为（ ， 3，则实数 a 的取值范围为 14在直角坐标平面，已知两定点 A（ 1， 0）、 B（ 1， 1）和一动点 M（ x， y）满足 ，则点 P（ x+y， x y）构成的区域的面积 为 二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分 . 15 “a=3“是 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 平行 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 16一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 3 B 4 C 3+4 D 2+4 17在 ， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边，若 S （其中S 示 面积），且（ + ） =0，则 形状是（ ） A有一个角是 30的等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 第 3 页（共 19 页） 18已知抛物线 y=7 上存在关于直线 x+y=0 对称的 相异两点 A、 B，则 |于（ ） A 5 B C 6 D 三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 . 19在锐角 ， +B） B） （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 =12，求 面积 20如图，在四棱锥 P ，已知 平面 四边形 直角梯形， 0， D=， 求： （ 1）异面直线 成角的大小； （ 2）四棱锥 P 体积与侧面积 21已知函数 f（ x） = ）满足 f（ 2） =1，其中 a 为实常数 （ 1）求 a 的值，并判定函数 f（ x）的奇偶性； （ 2）若不等式 f（ x） （ ） x+t 在 x 2， 3上恒成立，求实数 t 的取值范围 22已知直线 y=2x 是双曲线 C： =1 的一条渐近线，点 A（ 1， 0）， M（ m， n）（ n 0）都在双曲线 C 上，直线 y 轴相交于 点 P，设坐标原点为 O （ 1）求双曲线 C 的方程，并求出点 P 的坐标（用 m， n 表示）； （ 2）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否存在定点 T，使得 存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）若过点 D（ 0， 2）的直线 l 与双曲线 C 交于 R， S 两点，且 | + |=| |，试求直线 l 的方程 23已知数列 奇数项是首项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数列设数列前 n 项和为 满足 3， a9=a3+ （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 =，求正整数 k 的值； （ 3）是否存在正整数 k，使得 恰好为数列 一项？若存在，求出所有满足条件的正整数 k；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 19 页） 2016 年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 题， 只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1设集合 M=x|x2=x， N=x|0，则 M N= 0， 1 【考点】 并集及其运算 【分析】 求出 M 中方程的解确定出 M，求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出两集合的并集即可 【解答】 解：由 M 中方程变形得： x（ x 1） =0， 解得： x=0 或 x=1，即 M=0， 1， 由 N 中不等式变形得： 0= 0 x 1， N=（ 0， 1， 则 M N=0， 1， 故答案为： 0， 1 2 已知虚数 1+2i 是方程 x2+ax+b=0（ a， b R）的一个根，则 a+b= 3 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 根据实系数的一元二次方程 x2+ax+b=0 的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出 a、 b 的值 【解答】 解：虚数 1+2i 是方程 x2+ax+b=0 的一个根， 共轭虚数 1 2i 也是此方程的一个根， a=（ x1+=（ 1+2i+1 2i） = 2； b= 1+2i）（ 1 2i） =5； a+b= 2+5=3 故答案为： 3 3在报名的 5 名男生和 4 名女生中，选取 5 人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 125 （结果用数值表示） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据题意，运用排除法分析，先在 9 名中选取 5 人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案 【解答】 解：根据题意，报名的 5 名男生和 4 名女生，共 9 名学生， 在 9 名中选取 5 人，参加志愿者服务，有 26 种； 其中只有男生 种情况； 则男、女生都有的选取方式的种数为 126 1=125 种； 故答案为： 125 4已知复 数 z 在复平面内对应的点在曲线 y= 上运动，则 |z|的最小值为 2 【考点】 复数求模 第 5 页（共 19 页） 【分析】 设 z=x+ i（ x R， x 0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：设 z=x+ i（ x R， x 0）， 则 |z|= =2，当且仅当 x= 时取等号， 故答案为： 2 5已知函数 f（ x）的对应关系如表： x 2 1 0 1 2 f（ x） 3 2 1 5 m 若函数 f（ x）不存在反函数，则实数 m 的取值集合为 2， 1， 3， 5 【考点】 反函数 【分析】 由已知可得： f（ 2） =3， f（ 1） = 2， f（ 0） =1， f（ 1） =5， f（ 2） =m，利用反函数的定义及其性质即可得出 【解答】 解：由已知可得： f（ 2） =3， f（ 1） = 2， f（ 0） =1， f（ 1） =5， f（ 2） =m， 函数 f（ x）不存在反函数， 则 m 的值只可以为： 2， 1， 3， 5，否则存在反函数 实数 m 的取值集合为 2， 1， 3， 5 故答案为： 2， 1， 3， 5 6在正项等比数列 ， ， a2+，则 （ a1+= 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项 公式、等比数列前 n 项和的极限性质即可得出 【解答】 解：设正项等比数列 公比为 q 0， ， a2+， =1， = 解得 ， q= 则 （ a1+= = = 故答案为： 7已知 f（ x） =2 0）在 0， 单调递增，则实数 的最大值为 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用正弦 函数的单调性可得 ，由此求得实数 的最大值 第 6 页（共 19 页） 【解答】 解： f（ x） =2 0）在 0， 单调递增， ， 求得 ，则实数 的最大值为 ， 故答案为： 8若行列式 中的元素 4 的代数余子式的值等于 ，则实数 x 的取值集合为 【考点】 三阶矩阵 【分析】 根据余子式的定义求出元素 4 的代数余子式的表达式，列出关于 x 的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数 x 的取值集合 【解答】 解：由题意 得， f（ x） = =+x） 1 2 （ 1） = = ， 解得 ，则 ， 所以实数 x 的取值集合是 ， 故答案为： 9二项式（ 2x ） n 展开式中的第 5 项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 64 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 = 2n 46，令 n 6=0，解得 n再利用展开式中各项的二项式系数之和为 2n，即可得出 【解答】 解： = 2n 46， 令 n 6=0，解得 n=6 展开式中各项的二项式系数之和为 26=64 故答案为： 64 10已知 A， B 是球 O 的球面上两点， 0， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 64 第 7 页（共 19 页） 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 当点 C 位于垂直 于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，利用三棱锥 O 积的最大值为 ，求出半径，即可求出球 O 的表面积 【解答】 解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 C = = ， 故 R=4，则球 O 的表 面积为 44， 故答案为： 64 11如图， A， B 为椭圆 + =1（ a b 0）的两个顶点，过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C，若 O 为坐标原点），则直线 斜率为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由已知得 C（ c， ）， A（ a， 0）， B（ 0， b），从而得到 ，即 b=c，由此能求出直线 斜率 第 8 页（共 19 页） 【解答】 解： A， B 为椭圆 + =1（ a b 0）的两个顶点， 过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C， O 为坐标原点）， C（ c， ）， A（ a， 0）， B（ 0， b）， ， bc= b=c， a2=b2+ a= = ， 直线 斜率 k= = 故答案为： 12若经过抛物线 x 焦点的直线 l 与圆（ x 4） 2+ 相切，则直线 l 的方程为 y= 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，设出 l 的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出 k 【解答】 解：抛物线的焦点为 F（ 1， 0），设直线 l 的方程为 y=k（ x 1），即 y k=0， 直线 l 与圆（ x 4） 2+ 相切， =2，解得 k= 直线 l 的方程为： y= （ x 1） 故答案为： y= （ x 1） 13设函数 f（ x） = （其中 a 0， a 1），若不等式 f（ x） 3 的解集为（ ， 3，则实数 a 的取值范围为 （ 1， 3 【考点】 指、对数不等式的解法 【分析】 利用分段函数，结合指数函 数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解： a 0，且 a 1，设函数 f（ x） = ，若不等式 f（ x） 3 的解集是（ ， 3， 当 x 1 时， |2x| 3，可得 3 2x 3，解得 1 x 3； 当 x 1，即 x （ ， 1）时， 3，不等式恒成立可得 1 a 3 综上可得 1 a 3 实数 a 的取值范围为：（ 1， 3 故答案为：（ 1， 3 14在直角坐标平面，已知两定点 A（ 1， 0）、 B（ 1， 1）和一动点 M（ x， y）满足 ，则点 P（ x+y， x y）构成的区域的面积为 4 【考点】 简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式 【分析】 利用数量的数量积将不等式组进行化简，设 M（ s， t），将条件进行中转化，即可得到结论 【解答】 解：由 ，得 设 M（ s， t），则 ，解得 ， 由 ，得 作出不等式组对应的平面区域， 则对应平行四边形 则 A（ 0， 2）， B（ 2， 0）， C（ 2， 2）， 则四边形的面积 S=2 ， 故答案为： 4 第 10 页（共 19 页） 二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相 应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分 . 15 “a=3“是 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 平行 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断 “a=3”“直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”的真假，再判断 “直线（ 2a） x+y=0和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论 【解答】 解：当 “a=3”时，直线（ 2a） x+y=0 的方程可化为 3x+y=0， 此时 “直线（ a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ” 即 “a=3”“直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”为真命题； 而当 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”时， 2a 3=0，即 a=3 或 a= 1，此时 “a=3”不一定成立， 即 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”“a=3”为假 命题； 故 “a=3”是 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”的充分不必要条件 故选： A 16一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 3 B 4 C 3+4 D 2+4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个半圆柱 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱 该几何体的表面积 = 12+ 1 2+2 2=4+3 故选： C 17在 ， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边，若 S （其中S 示 面积），且（ + ） =0，则 形状是（ ） A有一个角是 30的等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 第 11 页（共 19 页） D等腰直角三角形 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可作 ，从而可作出平行四边形 且该四边形为菱形，且有 ，根据条件即可得出 而便可得出 C，即 b=c，这样即可求得 ，而根据条件可得 ，从而有，进一步即可得到 c2=b2+样便可得出 形状 【解答】 解：如图，在边 分别取点 D， E，使 ，以 E 为邻边作平行四边形 ： 四边形 菱形，连接 ； ； ； 又 E； C，即 b=c； 延长 中点于 O，则： ， b=c； ； ； 4a2= c2=b2+ 0，且 b=c； 形状为等腰直角三角形 故选： D 第 12 页（共 19 页） 18已知抛物线 y=7 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、 B，则 |于（ ） A 5 B C 6 D 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 【分析】 先设出直线 方程，代入抛物线方程消去 y，根据韦达定理求得 x1+值，由中点坐标公式求得 点 M 的坐标，代入直线 x+y=0 中求得 b，进而由弦长公式求得| 【解答】 解：由题意可得，可设 方程为 y=x+b， 代入抛物线 y=7 化简可得 x b 7=0， x1+， x1 b 7， y1+y2=7+7=（ x1+2 2x114=1+2b+14 14=1+2b， 故 中点为 M（ ， b+ ）， 由点 M 在 x+y=0 上，即 +b+ =0，解得： b= 1， x1 6， 由弦长公式可求出丨 = =5 ， 故答案选： B 三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 . 19在锐角 ， +B） B） （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 =12，求 面积 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）根据两角和差的正弦公式便可以得出= ，从而可由 得出 ，这样即可得到 A= ； （ 2）可由 及 便可得出 的值，这样根据三角形的面积公式即可求出 面积 第 13 页（共 19 页） 【解答】 解：（ 1）在 ， = = = = ； 又 A 为锐角； ； （ 2） ； ； = 20 如图，在四棱锥 P ，已知 平面 四边形 直角梯形， 0， D=， 求： （ 1）异面直线 成角的大小； （ 2）四棱锥 P 体积与侧面积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角 【分析】 （ 1） 成的角 于 成的角，且 可求出异面直线 成角的大小； （ 2）利用体积、侧面积公式求出四棱锥 P 体积与侧面积 【解答】 解：（ 1）由已知，有 面 故 成的角 于 成的角， 且 因 ，易知 ，故 故异面直线 成角的大小为 第 14 页（共 19 页） 求得： ， 故由余弦 定理，得 ； 从而 又 ， 因此 21已知函数 f（ x） = ）满足 f（ 2） =1，其中 a 为实常数 （ 1）求 a 的值，并判定函数 f（ x）的奇偶性； （ 2）若不等式 f（ x） （ ） x+t 在 x 2， 3上恒成立，求实数 t 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 （ 1）根据 f（ 2） =1，构造方程，可得 a 的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数 f（ x）的奇偶性； （ 2）若不等式 f（ x） （ ） x+t 在 x 2， 3上恒成立，则 t ）（ ）x 在 x 2， 3上恒成立，构造函数求出最值，可得答案 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） = ）满足 f（ 2） =1， ） =1， = ， 解得： a= 1， f（ x） = ）的定义域（ ， 1） （ 1， +）关于原点对称； 第 15 页（共 19 页） 又 f（ x） = ） = ） = ） = f（ x）， 故函数 f（ x）为奇函数； （ 2）若不等式 f（ x） （ ） x+t 在 x 2， 3上恒成立， 则 t ）（ ） x 在 x 2， 3上恒成立， 设 g（ x） = ）（ ） x， 则 g（ x）在 2， 3上是增函数 g（ x） t 对 x 2， 3恒成立， t g（ 2） = 22已知直线 y=2x 是双曲线 C： =1 的一条渐近线，点 A（ 1， 0）， M（ m， n）（ n 0）都在双曲线 C 上，直线 y 轴相交于点 P，设坐标原点为 O （ 1）求双曲线 C 的方程，并求出点 P 的坐标（用 m， n 表示）； （ 2）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否存在定点 T，使得 存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）若过点 D（ 0， 2）的直线 l 与双曲线 C 交于 R， S 两点，且 | + |=| |，试求直线 l 的方程 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 （ 1）求得双曲线的渐近线方程，可得 b=2a，由题意可得 a=1， b=2，可得双曲线的方程，求出直线 方程，可令 x=0，求得 P 的坐标； （ 2）求得对称点 N 的坐标，直线 程，令 x=0，可得 N 的坐标，假设存在 T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，结合 M 在双曲线上，化简整理，即可得到定点 T； （ 3）设出直线 l 的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可 得向量 数量积为 0，化简整理，解方程可得 k 的值，检验判别式大于 0 成立，进而得到直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1）双曲线 C： =1 的渐近线为 y= x， 由题意可得 =2， a=1，可得 b=2， 即有双曲线的方程为 =1， 又 方程为 y= （ x 1）， 令 x=0，可得 P（ 0， ）； （ 2）点 M 关于 y 轴的对称点为 N（ m， n）， 第 16 页（共 19 页） 直线 方程为 y= （ x 1）， 令 x=0，可得 Q（ 0， ）， 假设 x 轴存在点 T（ t， 0），使得 即有 1， 即为 = 1， 可得 ， 由（ m， n）满足双曲线的方程，可得 =1， 即有 =4， 可得 ，解得 t= 2， 故存在点 T（ 2， 0），使得 （ 3）可设过点 D（ 0， 2）的直线 l： y=， 代入双曲线的方程可得（ 4 48=0， 即有 =162（ 4 0，即 8， 设 R（ S（ 可得 x1+， ， 由 | + |=| |=| |， 两边平方可得 =0