浙江地区高二数学三垂线定理 人教

三垂线定理,斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段。,PO是平面的斜线,O为斜足;,PA是平面的垂线,A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线,自一点P向平面引垂线，垂足A叫做点P在平面内的正射影（简称射影）,性质定理,判定定理,性质定理,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,三垂线定理,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,三垂线定理,面ABCD面直线A1C斜线a直线B1B垂线b,面ABCD面面B1BCC1面直线A1C斜线a直线AB垂线b,面ABCD面直线A1C斜线a直线B1B垂线b,A,B,C,D,B1,A1,D1,C1,已知：长方体AC1中，BD1为体对角线，当底面ABCD满足条件时，有BD1A1C1,当ACBD时结论成立。,解：,例1:,B1,例2、已知P是平面ABC外一点，PA平面ABC，ACBC，求证：PCBC,证明：P是平面ABC外一点PA平面ABCAC是斜线PC在平面ABC上的射影BC平面ABC且ACBC由三垂线定理得PCBC,例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,ABCD是正方形，ACBD又DD1平面ABCDBD是斜线D1B在平面ABCD上的射影AC在平面AC内，BD1AC,而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内BD1平面AB1C,证明：连结BD，,请同学思考：如何证明BD1AB1,连结A1B,三垂线定理,三垂线定理,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直,三由线面垂直，线射垂直得出线斜垂直,解题回顾,例4、一段笔直的道路旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河怎样求出电塔顶A与道路的距离？,解：在道边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20m,三垂线定理,BC是AC在地平面内的射影且CDBCCDAC,CDB=45，CDBC，CD=20mBC=20m，,因此斜线段AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。,三垂线定理,课堂练习：,正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与面对角线BD垂直，你能说出理由吗？,三垂线定理,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,小结,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“平面”这个参照系,三垂线定理,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,aPO求证：aAO,三垂线定理的逆定理,例如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO,P,如图，在空间四边形ABCD中,PA面ABC,ACBC,若A在PB、PC上的射影分别是E、F，求证：EFPB,补充作业：,1.点P在ABC的射影为