高中数学 2.2.2 事件的相互独立性课件 新人教A版选修23 .ppt

2.2.2事件的相互独立性,事件的相互独立性(1)定义:设a,b为两个事件,如果p(ab)=_,则称事件a与事件b相互独立.(2)性质:a与b是相互独立事件,则也相互独立.,p(a)p(b),1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.()(2)必然事件与任何一个事件相互独立.()(3)如果事件a与事件b相互独立,则p(b|a)=p(b).()(4)“p(ab)=p(a)p(b)”是“事件a,b相互独立”的充要条件.(),【解析】(1)正确.不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.(2)正确.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.(3)正确.如果事件a与事件b相互独立,则p(b|a)=p(b).(4)正确.如果事件a与事件b相互独立,则有p(b|a)=p(b),又p(b|a)=,从而p(ab)=p(a)p(b|a)=p(a)p(b),即p(ab)=p(a)p(b)是事件a,b相互独立的充要条件.答案:(1)(2)(3)(4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)甲、乙两水文站同时作水文预报,如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么,在一次预报中,甲、乙两站预报都准确的概率为.(2)一件产品要经过两道独立的工序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则该产品的正品率为.(3)已知a,b是相互独立事件,且p(a)=,p(b)=,则p(a)=;p()=.,【解析】(1)甲、乙两站水文预报相互独立，则p=0.80.7=0.56.答案：0.56(2)由于经过两道工序才能生产出一件产品，当两道工序都合格时才能生产出正品，又由于两道工序相互独立，则该产品的正品率为(1-a)(1-b).答案：(1-a)(1-b),(3)因为p(a)=，p(b)=，所以所以答案：,【要点探究】知识点相互独立事件1.对事件相互独立性的两点说明(1)前提:在应用公式p(ab)=p(a)p(b)时,一定要注意公式成立的条件,即各事件必须相互独立.(2)推广:一般地,如果事件a1,a2,an相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即p(a1a2an)=p(a1)p(a2)p(an).,2.相互独立事件与互斥事件的区别,3.两个事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)定义法:如果事件a,b同时发生的概率等于事件a发生的概率与事件b发生的概率的积,则事件a,b为相互独立事件.(3)条件概率法:当p(a)0时,可用p(b|a)=p(b)判断.,【微思考】(1)若两个事件相互独立,是否就说明这两个事件间没有任何关系?提示:不是.若两事件a,b相互独立是指事件a是否发生与事件b是否发生没有关系,并不是说事件a,b间没有关系,相反,若事件a,b相互独立,则事件ab,即事件a,b不互斥.(2)能否利用p(b|a)=p(b)来定义相互独立的概念?提示:不能.原因是这个等式的适用范围是p(a)0,否则p(b|a)没有意义.,【即时练】1.下列事件中a,b是相互独立事件的是()a.一枚硬币掷两次,事件a为“第一次为正面”,事件b为“第二次为反面”b.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,事件a为“第一次摸到白球”,事件b为“第二次摸到白球”c.掷一枚骰子,事件a为“出现点数为奇数”,事件b为“出现点数为偶数”d.事件a为“人能活到20岁”,事件b为“人能活到50岁”,【解析】选a.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故a是独立事件;b中是不放回地摸球,显然a事件与b事件不相互独立;对于c,a,b应为互斥事件,不相互独立;d是条件概率,事件b受事件a的影响.,2.判断下列各对事件是否是相互独立事件:(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.(3)掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.,【解析】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.,(3)记a：出现偶数点，b：出现3点或6点，则a=2，4，6，b=3，6，ab=6，所以所以p(ab)=p(a)p(b)，所以事件a与b相互独立.,【题型示范】类型一相互独立事件发生的概率【典例1】(1)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对(x,y)，则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为(),(2)根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.,【解题探究】1.题(1)满足xy=4的数对(x,y)有几个?2.题(2)中车主不购买甲种保险的概率是多少?【探究提示】1.有3个,分别为(1,4),(2,2),(4,1).2.车主不购买甲种保险的概率p=1-0.5=0.5.,【自主解答】(1)选c.满足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.所以,所求事件的概率p=p(x=1,y=4)+p(x=2,y=2)+p(x=4,y=1),(2)记a表示事件“购买甲种保险”，b表示事件“购买乙种保险”，则由题意得a与b，a与与b，与都是相互独立事件，且p(a)=0.5，p(b)=0.6.记c表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则c=ab.所以p(c)=p(ab)=p(a)p(b)=0.50.6=0.3.记d表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则d=b，所以p(d)=p(b)=p()p(b)=(1-0.5)0.6=0.3.,【延伸探究】题(2)中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？【解析】方法一：记e表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件e包括b，a，ab，且它们彼此为互斥事件.所以p(e)=0.50.6+0.50.4+0.50.6=0.8.,方法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.所以p(e)=1-p()=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.,【方法技巧】与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地，已知两个事件a，b，它们的概率分别为p(a)，p(b)，那么：,(1)a，b中至少有一个发生为事件ab.(2)a，b都发生为事件ab.(3)a，b都不发生为事件.(4)a，b恰有一个发生为事件.(5)a，b中至多有一个发生为事件,它们之间的概率关系如表所示：,【变式训练】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员a,b,c进行围棋比赛,甲对a、乙对b、丙对c各一盘.已知甲胜a、乙胜b、丙胜c的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求:(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率.(2)红队至少两名队员获胜的概率.,【解题指南】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的,及这些事件间的关系,然后选择相应概率公式求值.,【解析】设甲胜a的事件为d，乙胜b的事件为e，丙胜c的事件为f，则分别表示甲不胜a、乙不胜b，丙不胜c的事件.因为p(d)=0.6，p(e)=0.5，p(f)=0.5，由对立事件的概率公式知p()=0.4，p()=0.5，p()=0.5.,(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有以上3个事件彼此互斥且独立.所以红队有且只有一名队员获胜的概率,(2)方法一：红队至少两人获胜的事件有：由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为=0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55.,方法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且p()=0.40.50.5=0.1.所以红队至少两人获胜的概率为p2=1-p1-p()=1-0.35-0.1=0.55.,【补偿训练】甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为求：(1)两个人都译出密码的概率.(2)两个人都译不出密码的概率.(3)恰有一人译出密码的概率.(4)至多一人译出密码的概率.(5)至少一人译出密码的概率,【解析】记a为“甲独立地译出密码”，b为“乙独立地译出密码”(1)两个人都译出密码的概率为(2)两个人都译不出密码的概率为,(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即所以(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，所以1-p(ab)=(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，所以,类型二相互独立事件概率的实际应用【典例2】(1)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,则在这段时间内线路正常工作的概率是.(2)在一袋中装有2只红球和8只白球,每次从袋中任取一球,取后放回,直到取得红球为止,求取球次数x的分布列.,【解题探究】1.题(1)中,线路能正常工作存在几种情况?不能正常工作又有几种情况?2.题(2)中,取球的次数x的取值有哪些?【探究提示】1.能正常工作的情况可分为三类,一类是只有1个开关闭合,此时又有3种情况,二类是有2个开关闭合,此时有=3种情况,三类是3个开关均闭合,有1种情况,故共有7种情况;而不能正常工作仅有一种情况.2.x的所有可能取值为1,2,i,.,【自主解答】(1)由题意，分别记这段时间内开关ja，jb，jc能够闭合为事件a，b，c这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是=1-p(a)1-p(b)1-p(c)=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027.,所以这段时间内至少有1个开关能够闭合，即使线路能正常工作的概率是1-p()=1-0.027=0.973答案：0.973,(2)x的所有可能取值为1，2，i，令ai表示“第i次取得红球”，则由于各次取球相互独立，且取到红球的概率为p=0.2，于是得p(x=1)=p(a1)=0.2，,所以其分布列为,【方法技巧】系统可靠性问题的求解策略由于该类问题常常与物理知识相联系,在考查知识纵向联系的同时,重点考查事件独立性的综合应用.求解时可先从系统的构造出发,分析所给的系统是单纯的串(并)联还是串并联混合体结构.(1)直接法:把所求的事件分成若干个互斥事件之和,根据互斥事件的概率公式求解.(2)间接法:当所涉及的事件较多,而其对立事件所涉及的事件较少时,可根据对立事件的概率公式求解.,【变式训练】(2014武汉高二检测)已知某音响设备由五个部件组成,a电视机,b影碟机,c线路,d左声道和e右声道,其中每个部件工作的概率如图所示,能听到声音,当且仅当a与b中有一个工作,c工作,d与e中有一个工作;且若d和e同时工作则有立体声效果.(1)求能听到立体声效果的概率.(2)求听不到声音的概率.(结果精确到0.01),【解题指南】(1)根据事件a,b,c,d,e的能否正常工作之间没有影响,所以事件a,b,c,d,e是相互独立事件,又事件a发生的概率为0.9,由对立事件的概率得出事件a不发生的概率为1-0.9,同理事件b不发生的概率为1-0.8,根据独立事件的概率公式可得出能听到立体声效果的概率.(2)事件“听不到声音”即为“当a,b都不工作,或c不工作,或d,e都不工作时”,又由独立事件的概率公式得出结论.,【解析】(1)因为a与b中都不工作的概率为(1-0.9)(1-0.8);所以能听到立体声效果的概率为1-(1-0.9)(1-0.8)0.950.80.70.52.(2)当a,b都不工作,或c不工作,或d,e都不工作时,就听不到音响设备的声音.其否定是:a,b至少有1个工作,且c工作,且d,e中至少有一个工作.,所以,听不到声音的概率为1-1-(1-0.9)(1-0.8)0.951-(1-0.8)(1-0.7)=1-0.875140.12.答:(1)能听到立体声效果的概率约为0.52;(2)听不到声音的概率约为0.12.,【补偿训练】(2014宝鸡高二检测)某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市e运至销售城市f，已知从城市e到城市f有两条公路.统计表明：汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路堵车的概率为，不堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路，第三辆汽车丙由于其他原因走公路运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响.(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率.(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率.,【解析】记“汽车甲走公路堵车”为事件a，“汽车乙走公路堵车”为事件b，“汽车丙走公路堵车”为事件c.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为,【易错误区】对事件类型判断不准导致错误【典例】甲、乙两人参加环