2025年宁夏中考数学真题卷含答案解析

中考2025年宁夏中考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1.如图，数轴上点表示的数可能是（）A. B. C. D.12.如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.4.如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（）A.主视图不变 B.左视图不变C.俯视图不变 D.三种视图都不变5.《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（）A. B.C. D.6.下列判断正确的是（）A.若点关于轴的对称点在第二象限，则B.夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长C.4的平方根是2D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直7.函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（）A. B. C. D.38.老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（）A.的长，的度数B.的长，的度数C.的长，的度数D.的长，的度数二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.计算：___．10.如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______．11.为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____．12.不等式组的解集是______．13.如图，⊙是的内切圆，，则_____．14.一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____．15.编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了_____步．16.如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是______(结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)．三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）17.计算：．18.化简求值：，其中．19.如图，点在直线外．①在直线上任取一点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤连接．（1）由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．（2）求证：四边形是菱形．20.定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．【理解定义】三位数是否为“极差数”？___________．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？21.中国结起源于旧石器时代结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．（1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？（2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？22.如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．（1）过点作垂线段；（2）过点作的平行线．23.宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是___________．A．依次抽取100株B．随机抽取100株C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：甲样本的频数分布表频数745152013乙样本的频数分布直方图注：每组含最小值，不含最大值．根据以上信息，解答问题：（1）甲样本中组的频率是_________；（2）补全乙样本频数分布直方图．【分析与应用】（1）填表：样本平均数（kg）中位数出现的组别方差甲

5.73乙15.74

4.85（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．24.如图，四边形内接于⊙平分，连接．（1）求证：；（2）延长至点，使，连接．求证：．25.如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；（3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．26.如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接．（1）如图1，当点在上时，求证：是等边三角形；（2）将图1中的绕点顺时针旋转．①当旋转角为时，如图2所示，（1）中结论还成立吗？说明理由；②当最长时，与交点记作．若，则_________．

2025年宁夏中考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1.如图，数轴上点表示数可能是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，解题的关键是根据点在数轴上的位置确定其表示的数的取值范围，再与选项对比．明确数轴上数的分布特点：原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小；由题意知点A在0与之间，因此点A表示的数是大于且小于0的负数；分析各选项，找出符合该取值范围的数．【详解】分析点A的位置范围：∵点A在数轴上0与中间，∴点A表示的数满足该数．逐一分析选项：选项不满足该数，不符合要求．选项满足，符合要求．选项是正数，不满足该数，不符合要求．选项是正数，不满足该数，不符合要求．故选：B．2.如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断．详解】解：A.，不能判定，故不符合题意；B.，不能判定，故不符合题意；C.能判定，故符合题意；D.，不能判定，故不符合题意；故选：C．3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式计算即可．【详解】解：A.，故此选项错误；B.，故此选项错误；C.，故此选项错误；D.，故此选项正确；故选：D．4.如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（）A.主视图不变 B.左视图不变C.俯视图不变 D.三种视图都不变【答案】B【解析】【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误．选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确．选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误．选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误．故选：B．5.《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子．明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组．【详解】解：分析题目中的等量关系：若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即，若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即，因此，可列方程组为，故选：C．6.下列判断正确的是（）A.若点关于轴的对称点在第二象限，则B.夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长C.4的平方根是2D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A【解析】【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征、中心投影的特点、平方根的定义以及垂线的性质，解题的关键是逐一分析每个选项所涉及的知识点，判断其正确性．分别对各选项涉及的知识点进行分析：根据关于x轴对称点的坐标变化规律判断选项A；结合中心投影中物体与光源距离对影长的影响分析选项B；依据平方根的定义判断选项C；根据垂线的性质（强调“在同一平面内”的前提）判断选项D，进而选出正确选项．【详解】解：选项点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确．选项夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误．选项的平方根是（因为，并非只有2，该选项错误．选项垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误．故选：A．7.函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．【详解】解：如图，连接，轴，，，．点A在反比例函数图象上，，，且，∴，∴．故选A．8.老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（）A.的长，的度数B.的长，的度数C.的长，的度数D.的长，的度数【答案】D【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到．【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米，因此，要求只需先求．设，．在中，，则．在中，，则．所以．又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同，所以，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到．综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到．选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解：选项缺少，无法联立方程组：选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到；选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到．故选：D二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.计算：___．【答案】3【解析】【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得．【详解】解：∵33=27，∴．故答案为3．【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键．10.如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系．明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解．【详解】∵直线与直线交于点，∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式，即方程组的解为点A的坐标．故答案为：．11.为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及他们恰好参加同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：把器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团分别记为、、，画树状图得：共有9种等可能的结果，他们恰好参加同一个社团的有3种情况，两人恰好参加同一社团的概率为：；故答案为：．12.不等式组的解集是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是分别解出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分．先解第一个不等式通过移项、系数化为1求出解集；再解第二个不等式，通过去分母、移项求出解集；最后根据“同小取小，同大取大，大小小大中间找”的原则确定不等式组的解集．【详解】解不等式解不等式①，移项得即解得．解不等式②，去分母得，移项得，即．则不等式组的解集为与的公共部分，即故答案为：13.如图，⊙是的内切圆，，则_____．【答案】【解析】【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案．【详解】解：∵是的内切圆，∴，，∵，∴，∴故答案为：．14.一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____．【答案】【解析】【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，解得，∴，故答案为：15.编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了_____步．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可．由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．【详解】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形，

∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：，

则第一次回到出发点时，该机器人共走了步，

故答案为：．16.如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是______(结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)．【答案】2【解析】【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边．根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；由点B坐标确定圆柱的高；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数．【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度，∵点坐标为，∴，，∴，∵铅笔总长度为，即，∴，∵，∴，∴即，∵结果保留整数，∴露出部分的最小长度约为．故答案为：2．三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了绝对值的化简、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算，解题的关键是分别掌握各知识点的运算法则，准确进行化简和计算．先化简绝对值，因为，所以；再计算特殊角的三角函数值，；接着计算负整数指数幂，；最后将各部分结果代入原式进行加减运算．【详解】解：．18.化简求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算．先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果．【详解】当时，原式．19.如图，点在直线外．①在直线上任取一点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤连接．（1）由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．（2）求证：四边形是菱形．【答案】（1）；射线平分（2）见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定．（1）根据步骤②中“以点A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出与的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线的性质．（2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论．【小问1详解】解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，∴，∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法，∴射线平分．故答案为：；射线平分．【小问2详解】证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，∴，∵射线平分，∴；在和中，，∴，∴，又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，∴，∴，∴四边形是菱形．20.定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．【理解定义】三位数是否为“极差数”？___________．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析．【解析】【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力．理解定义：根据定义进行验证即可；建模推理：（1）根据“极差数”的定义即可求出答案；（2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证．【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为，∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，∴三位数不是“极差数”故答案为：不是建模推理：（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，根据题意可得，，故答案为：；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，∵，∴，∴能被11整除，∴任意一个“极差数”都能被11整除．21.中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．（1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？（2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个．（2）当大号编织个时总利润最大，最大利润元．【解析】【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键．（1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可；（2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案．【小问1详解】解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个，由题意列方程得：，∴，∵，均是正整数，∴当时，，当时，，答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个．【小问2详解】解：设大号编织个，则小号编织个，则，解得，∵为正整数，∴，设总利润为元，则，∵，∴随着的增大而增大，∴当时，取得最大值，最大值为，答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元．22.如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．（1）过点作的垂线段；（2）过点作的平行线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段．（1）可证，则，因，，，即．（2）可证，则，又，(等量减等量，差相等)，即可求解．【小问1详解】如图，连接，即为所求作的垂线段．如图，则，因，∴，∴，即．【小问2详解】如图，即为所求作的平行线．如图，，则，又，∴(等量减等量，差相等)，∴．23.宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是___________．A．依次抽取100株B．随机抽取100株C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：甲样本的频数分布表频数745152013乙样本的频数分布直方图注：每组含最小值，不含最大值．根据以上信息，解答问题：（1）甲样本中组的频率是_________；（2）补全乙样本的频数分布直方图．【分析与应用】（1）填表：样本平均数（kg）中位数出现的组别方差甲

5.73乙15.74

4.85（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．【答案】[调查与收集]B；[整理与描述]（1）；（2）见解析；[调查与收集]（1）见解析；（2）65；（3）见解析【解析】【分析】[调查与收集]利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断；[整理与描述]（1）根据频率的定义计算甲样本中组的频率；（2）先计算出乙样本组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图；[分析与应用]（1）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填表即可；（2）根据两者的方差提出建议即可．【详解】解：[调查与收集]为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，所以应该随机抽取100株作为样本；故选：B；[整理与描述]（1）甲样本中组的频率，（2）乙样本总频数为100，已知各组频数为，则组的频数为：，补全乙样本的频数分布直方图：[分析与应用]（1）甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，‌甲样本平均数=，乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，前两组频数和为，前三组频数和为，第50、51个数据落在组，乙样本中位数出现的组别落在组，填表如下：样本平均数（kg）中位数出现的组别方差甲15.745.73乙15.744.85（2）估计甲种葡萄树每株产量不低于的株数：甲样本中组频数为13，频率为，试验田甲种葡萄树共500株，故估计株数为（株）（3）合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术．【点睛】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．24.如图，四边形内接于⊙平分，连接．（1）求证：；（2）延长至点，使，连接．求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的定义以及全等三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用圆周角与弧的对应关系转化角的等量关系，通过构造辅助线（延长线段）创造全等或相似的条件．（1）利用平分得到角相等，结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），将角平分线得到的等角转化为与、相关的角，进而证明两角相等．（2）由可得通过圆内接四边形的对角互补性质得到结合第一问结论及角平分线性质证明再通过角的等量转化证明，最终得到比例式．【小问1详解】证明：∵平分∴．∵四边形内接于∴（同弧所对的圆周角相等）．∵∴．【小问2详解】证明：∵∴．∵四边形内接于∴（圆内接四边形对角互补）．又∵（平角定义），∴．由（1）知∴（等角对等边）．在和中∴．∴．∵∴．又∵，，∴即∴（两角分别相等）．∴，∴，即．25.如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；（3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在点P，横坐标为,，【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像与性质（包括顶点坐标、与坐标轴交点求解）、直线与抛物线的位置关系（交点存在性条件）、三角形面积的计算（基于坐标公式）以及面积相等的点的存在