高考数学必修知识讲解 奇偶性基础

函数的奇偶性【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且=-，则既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间a,b和-b，-a上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间a,b上是增函数（减函数），则在区间-b，-a上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间a,b和-b，-a上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间a,b上是增函数（减函数），则在区间-b，-a上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数【解析】(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)对任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数；(4)，f(x)为奇函数；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数；(6)，f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数【解析】(1)的定义域是，又，是奇函数（2）的定义域是，又，是偶函数（3）函数定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数（4）任取x0则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) xR时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函数 B-|g(x)|是奇函数C| +g(x)是偶函数 D|- g(x)是奇函数【答案】A类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.举一反三：【变式1】已知为奇函数，则为（ ）【答案】6【解析】，又为奇函数，所以例3.（2016春 山东临沂期中）已知f（x）的定义域为xRx0，且f（x）是奇函数，当x0时，若f（1）=f（3），f（2）=2（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x0时的表达式【思路点拨】（1）根据f（1）=f（3）得函数图象关于直线x=2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值（2）当x0时，x是正数，代入题中正数范围内的表达式得到f（x）的式子，再结合f（x）是奇函数，取相反数即可得到f（x）在x0时的表达式【答案】（1）b=4，c=2；（2）【解析】（1）f（1）=f（3），函数图象的对称轴，得b=4又f（2）=4+42+c=2，c=2（2）由（1）得当x0时，当x0时，f（x）是奇函数，当x0时，【总结升华】本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x0时的表达式着重考查了函数奇偶性的性质和函数解析式的求解及常用方法举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.（2）已知奇函数的定义域是R，当时，求的解析式.【答案】（1）；（2）例4.设定义在-2，2上的偶函数f(x)在0，2上是单调递增，当时，求的取值范围.【答案】【解析】f(a+1)f(a) f(|a+1|)f(|a|)而|a+1|，|a|0，2.【总结升华】若一个函数是偶函数，则一定有，这样就减少了讨论的麻烦举一反三【变式1】定义在1+a，2上的偶函数在区间1，2上是（ ）A增函数B减函数C先增后减函数D先减后增函数【思路点拨】根据偶函数的性质先求出a，b，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性【答案】B【解析】f（x）是定义在1+a，2上的偶函数，区间关于原点对称，即1+a+2=0，解得a=3，且f（x）=f（x）， ，即bx=bx，解得b=0， ，f（x）在区间1，2上是减函数故选：B【总结升华】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键类型三、函数奇偶性的综合问题例5设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a0时，函数为非奇非偶函数. 当当.【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当时， 且上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当时，上单调递减，上的最小值为上的最小值为综上：.举一反三：【变式1】（2016 上海崇明模拟）已知函数f（x）=xxa+b，xR当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由【答案】非奇非偶函数【解析】当b=0时，f（x）=xxa，当a=0时，f（x）为奇函数；当a0时，f（x）为非奇非偶函数，理由：当a=0时，f（x）=xx，f（x）=xx=xx=f（x），f（x）为奇函数；当a0时，f（x）=xxa=xx+af（x），且f（x）f（x），则f（x）为非奇非偶函数例6.已知是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数的单调递增区间【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。【答案】0，1和（，1【解析】 是偶函数，且在0，+）上是减函数，在（，0上是增函数设u=1x2，则函数是函数与函数u=1x2的复合函数当0x1时，u是减函数，且u0，而u0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数当x1时，u是增函数，且u0，而u0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数同理可得当1x0或x1时，是减函数所求的递增区间为0，1和（，1【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围本例中，x1时，u仍是减函数，但此时u0，不属于的减区间，所以不能取x1，这是应当特别注意的例7已知f（x）的定义域为（0，+），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），又当时， （1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；（2）若有f（x）+f（x2）3成立，求x的取值范围【思路点拨】本题考查抽象函数及其应用；函数单调性的性质 （1）由f（xy）=f（x）+f（y），通过赋值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；（2）由“时，”可知f（x）在定义域