09高考数学第二轮大题专题辅导-----函数与导数、函数与数列、函数与向量

人教版数学高三下学期高考第二轮大题专题辅导函数与导数、函数与数列、函数与向量一、函数与导数1、设、，且，定义在区间内的函数是奇函数。（）求的取值范围；（）讨论函数的单调性。解：（）函数在区间内是奇函数等价于 对任意都有 即，由此可得，即，此式对任意都成立相当于，因为，代入 得，即，此式对任意都成立相当于，所以得的取值范围是.（）设任意的，且，由，得，所以，从而，因此在内是减函数，具有单调性。2、已知在区间上是增函数。（）求实数的值所组成的集合；（）设关于的方程的两个根为、，若对任意及，不等式恒成立，求的取值范围.解：（） ， 在区间上是增函数，对恒成立， 即 对恒成立 设，则问题等价于 ， 对，是连续函数，且只有当时， 及当时， （）由，得， 是方程 的两非零实根， ，从而， ，. 不等式对任意及恒成立 对任意恒成立 对任意恒成立 设，则问题又等价于 即 的取值范围是.3、 已知集合， （）证明：；（）某同学注意到是周期函数，也是偶函数，于是他着手探究：中的元素是否都是周期函数？是否都是偶函数？对这两个问题，给出并证明你的结论。解：（） .（）是周期是6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数。 由得， 两式相加可得 即是周期为6的周期函数，故中的元素是否都是周期函数. 令，同上可证得， ，但是奇函数不是偶函数， 中的元素不都是偶函数.4、已知函数（1）若在1，上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x3是的极值点，求在1，a上的最小值和最大值解析：（1）x1，当x1时，是增函数，其最小值为a0（a0时也符合题意）a0（2），即27-6a-30，a4有极大值点，极小值点此时f（x）在，上时减函数，在，上是增函数f（x）在，上的最小值是，最大值是，（因）5、已知函数的定义域为，值域为，并且在，上为减函数（1）求a的取值范围；（2）求证：；（3）若函数，的最大值为M，求证：（1）按题意，得即 又关于x的方程在（2，）内有二不等实根x、关于x的二次方程在（2，）内有二异根、故（2）令，则（3），当（，4）时，；当（4，）是又在，上连接，在，4上递增，在4，上递减故，09a1故M0若M1，则，矛盾故0M16、已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为若方程有两个相等的实数根，求的解析式；若函数无极值，求实数的取值范围设，不等式的解集为 又有两等根， 由解得 （5分）又，故. （7分）由得，（9分）无极值，方程 ，解得 （12分）7、已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是-2，2。（I）求函数的解析式；（II）若的图象与直线恰有三个公共点，求m的取值范围。解：（I），依题意有即解得。函数的解析式为。6分（II）由条件可知，函数有极大值，极小值。10分因为的图象与直线恰有三个公共点，所以，。12分8、二次函数满足条件：对任意，均有；函数的图象与直线相切。（I）求函数的解析式；（II）当且仅当时，恒成立，试求t、m的值。解：（I）函数的图象与直线相切，方程组有且只有一解；即有两个相同的实根，。函数的解析式为。6分（其它做法相应给分）（II）当且仅当时，恒成立，不等式的解集为。即的解集为4，m。方程的两根为4和m，即方程的两根为4和m。，解得和m的值分别为8和12。13分9、设函数f（x）=在1+，上为增函数. （1）求正实数a的取值范围. （2）若a=1，求征：（nN*且n2）解:（1）由已知： = 2分 依题意得：0对x1，+恒成立4分 ax10对x1，+恒成立 a10即：a15分 （2）a=1 由（1）知：f（x）=在1，+上为增函数， n2时：f（）= 即：7分 9分设g（x）=lnxx x1，+， 则对恒成立，g（x）在1+为减函数12分n2时：g（）=lng（1）=10 即：ln=1+（n2）综上所证：（nN*且2）成立. 14分10、二、函数与数列 1、将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列，.（）求数列的通项公式；（）设，求证：，. 解：（） 的极值点为，从而它在区间内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列， ， （）由 知对任意正整数，都不是的整数倍， 所以，从而 于是 又， 是以为首项，为公比的等比数列。，2、已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、（）设，试求函数的表达式；（）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值解：（）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， （1） 2分同理，由切线也过点，得（2）由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ） 4分 ，把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为 5分（）当点、与共线时，即，化简，得， （3） 7分把（*）式代入（3），解得存在，使得点、与三点共线，且 9分（）解法：易知在区间上为增函数，则依题意，不等式对一切的正整数恒成立， 11分，即对一切的正整数恒成立， ，由于为正整数， 13分又当时，存在，对所有的满足条件因此，的最大值为 14分解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值，长度最小的区间为， 11分当时，与解法相同分析，得，解得 13分三、函数与向量1、已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当0，时，求不等式f（）f（）的解集解析：设f（x）的二次