第二轮第10讲 不等式问题的题型与方法

第十课不平等不等式是渗透在中学数学所有分支中的知识的一部分，有着非常广泛的应用。因此，不等式应用问题体现了一定程度的全面性、灵活性和多样性，对促进数学各个部分的全面理解起到了很好的作用。在解决问题时，必须根据问题解决的结构特征、内在联系和结论来选择合适的解决方案，最终的结论是不等式的解或证明。不等式有广泛的应用。它一直贯穿整个中学的数学。例如，集合问题、方程(群)解的讨论、函数单调性的研究、函数定义域的确定、三角学中的最大值和最小值问题、数列、复数、立体几何和解析几何都与不等式密切相关。许多问题最终可以归因于不等式的解决或证明。一、知识整合1.不等式解的核心问题是不等式同解的变形。不等式的本质是不等式变形的理论基础。方程的根、函数的性质和图像与不等式的求解密切相关。他们应该很好地联系在一起，互相转化。在不等式求解中，代换法和图解法是常用的技巧之一。通过改变元素，更复杂的不等式可以分为更简单的或基本的不等式。通过构造函数，结合数字和形状，不等式的解可以分为直观和直观的图形关系。对于含有参数的不等式，可以用图解法来明确分类标准。2.代数表达式不等式(主要是一级和二级不等式)的求解是求解不等式的基础。利用不等式的性质和函数的单调性，解决不等式的基本思想是将分式不等式和绝对值不等式分类为代数表达式不等式(组)。分类、替换和数形结合是解决不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图像与不等式的解密切相关。我们应该善于将它们有机地联系起来，相互转化和改变。3.在解不等式时，代换法和图解法是常用的技巧之一。通过改变元素，更复杂的不等式可以分为更简单的或基本的不等式。通过构造函数，不等式的解可以分为直观的和直观的图像关系。对于含有参数的不等式，可以用图解法使分类标准更清晰。4.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法和分析法仍然是证明不等式最基本的方法。根据问题设置和问题分解的结构特点和内在联系，选择合适的证明方法，熟悉各种证明方法中的推理思维，掌握相应的步骤、技巧和语言特点。比较法的一般步骤是：求差(商)变形判断符号(值)。5.证明不平等的方法很多，内容丰富，技巧娴熟。在证明不等式之前，我们应该根据问题集和待证明不等式的结构特征和内在联系选择适当的方法。通过对方程或不等式的运算，将待证明的不等式转化为显而易见且广为人知的不等式，从而证明原不等式。另一方面，我们也可以从显而易见的和众所周知的不等式开始，通过一系列的运算得到要证明的不等式。前者是“持有果实的原因”，后者是“引导果实的原因”。作为一种交流和联系的方式，分析和综合经常被共同用于证明。双方互相攻击，互相补充，以达到证明的目的。6.不等式应用问题体现了一定的综合性。这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式和解决不等式；另一种是建立一个函数公式来求最大值或最小值。当用平均不等式求函数的最大值时，应特别注意7.通过应用代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等部分知识中的基本知识和不等式方法，深化数学知识的整合，从而提高分析和解决问题的能力。在运用不等式的基本知识、方法和思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质和创新意识。二、方法和技巧1.解不等式的基本思想是变换和归约，一般将其转化为最简单的一元一次不等式(群)或一元二次不等式(群)来求解。2.在用参数求解不等式时，应特别注意数形结合的思想、函数和方程的思想以及分类讨论思想的记录和应用。3.有许多方法可以证明不平等。我们不仅要注意各种证明的适用范围，还要在掌握常规证明的基础上选择一些特殊的技巧。例如，当使用标度法证明不等式时，应注意调整标度度。4.根据话题的结构特点，持果原因往往是一种有效的思维方式。三、实例分析B)M，对于M中的其他元素(c，d)，总是有ca，则a=_ _ _。分析：理解和揭示问题的数学本质将是解决问题的突破口。如何理解“对于M中的其他元素(C，D)，总是有ca”？m中元素的特征是什么？解决方法：根据问题，这个问题相当于找到函数x=f(y)=(y 3)| y-1 |(y 3)(2)当1y3时，所以当y=1，=4时。简评：集合的形式出现在主题设置条件中，所以我们应该认识集合元素的本质属性，然后结合条件来揭示它的数学本质是发现集合m中的元素满足关系表达式例2。如果已知一个非负实数，并且满足该条件，则最大值为()A.学士学位解决方案：绘制一个图像，它可以从线性规划的知识，并选择d例3。顺序由以下条件决定：(1)证明：对于，(2)证明：用于。证明：(1)(2)当时，=.例4。解决以下不等式：分析：本例主要回顾了绝对值不等式的解法和分类讨论的思想。这个题目的关键不是讨论参数，而是讨论在去掉绝对值时的未知数，从而得到两组不等式，最后找到两组不等式的解集的并集，从而得到原不等式的解集。解决方案：什么时候。例5。如果二次函数y=f(x)的像穿过原点，并且1f(-1)2，3f(1)4，则找到f(-2)的范围。分析：要要求f(-2)的取值范围，只需找到包含人类f(-2)的不等式(组)。因为y=f(x)是一个二次函数，f(x)的表达式应该先写。可以得到f(-2)的表达式，然后根据设定的条件列出包含f(-2)的不等式(群)。解决方案：由于y=f(x)的图像通过原点，您可以设置y=f (x)=ax2bx。然后解1(利用基本不等式的性质)不平等制度(一)是变形的(一)因此，f(-2)的值范围是6，10。解决方案2(数字和形状的组合)如图6中阴影部分所示，建立直角坐标系aob，并形成由不等式组(I)表示的区域。因为f(-2)=4a-2b，4a-2b-f(-2)=0代表斜率为2的直线系统。如图6所示，当直线4a-2b-f(-2)=0通过点a (2，1)和b (3，1)时，分别得到f(-2)的最小值6和最大值10，即f(-2)的取值范围为：6 f (-2) 10。解决方案3(利用等式的思想)f(-2)=4a-2b=3f(-1) f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4，So 3 3f (-1) 6.2 取43f(-1) f(1)10，即6 f (-2) 10。简评：(1)在解不等式时，要求对同一个解进行变形。应避免下列错误解决方案之一：2b，84a12，-3-2b-1，so 5 f (-2) 11。(2)解决这类问题的关键步骤是找到f(-2)的数学结构，然后根据其数学结构特征揭示F (-2)的代数和几何性质，并利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思维方法从不同角度解决同一问题。如果你想一想这个问题证明：从问题的含义来看，a 0。如果f(x)=a(x-x0)2 f(x0)，则二次方程ax2 bx c=x没有实根，所以1=(B1)2-4ac 0，2=(b-1)2-4ac 0。So (b1) 2 (b-1) 2-8ac 0，即2b2-8ac 0，即B2-4ac 1。简评：从上面的例子中，我们可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果根据问题的条件设置合理地采用不同形式的二次函数，那么我们就找到了一种有效的证明方法。例7。2