高三数学1三个公理

1. 三个公理1.1 共面问题【例1】空间中有四个点，其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面的个数可能是（ ）A1或3 B2或3 C1或4 D2或4【解析】设这四个点分别为、当这四点共面时，经过其中三点的平面的个数为1；当四点不共面时，由、不共线，根据公理2，、三点确定一个平面；同理，、分别确定一个平面，一共可以确定4个平面所以经过其中三个点的平面的个数可能是1或4，选C【评注】过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，是确定一个平面的重要方法【变式1】经过一条直线和直线外一点，有且仅有一个平面求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内【分析】文字叙述题，必须改写为数学语言、图形语言，写出已知、求证.【证明】已知直线两两相交，交点分别为（如图），点不在直线上，过点和直线可确定平面，,三直线在同一平面内【变式2】经过两条相交直线，有且仅有一个平面共点的三条直线可以确定的平面个数是（ ）A1 B2 C3 D1或3【解析】当三条直线共面时，可以确定1个平面；当三条直线不共面时，其中任意两条直线相交可确定1个平面，一共可确定3个平面选D【变式3】经过两条平行直线，有且只有一个平面如图，在三棱锥中，、分别为，的中点求证：、四点共面；【证明】、分别为，的中点，由公理4，由公理2的推论，、四点共面【变式4】证明共面问题的主要方法是纳入法先由部分元素确定一个平面，证明其余元素也在这个平面内。证明：两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内【证明】已知：四条直线不交于同一点，且两两相交，求证： 四条直线在同一平面内设，由公理3的推论2可知，确定一个平面，设为，如图所示，则， 因，由公理1可知；同理，故得证【变式5】同一法证明共面问题，先由部分元素确定一个平面，通过其他元素确定一个辅助平面，再证明两个平面重合正方体中，如图所示，分别为所在棱的中点，证明：六点共面【证明】连结，则，由平行公理4可知；由公理3的推论3可知，共面，设为；连结，同理可知共面，设为；由公理3可知，所以与重合；同理，故六点共面1.2 共线问题【例2】如图，在四面体中作截面，若，证明： 共线【证明】因为，则；同理，所以；， ；由公理1可知，共线【评注】证明思路是先证明其中两点确定的直线是两个平面的交线，再证明其它点都在该直线上.【变式】证明共线问题的方法是纳入法，亦即证明所有元素都在两个平面的交线上。三棱锥被一个平面所截，截面经过的中点，与底面的边于，且点到的距离是点到的距离，证明：交于一点，且共线【证明】 因为，所以，由平行公理4可知；又点到的距离是点到的距离，因为，所以，交于一点；因为平面，所以平面，又因为平面，所以平面，又平面平面，所以.故交于一点，且共线1.3 共点问题【例3】如图，四面体中，分别为的中点，证明：交于一点【解析】连接，则：分别为的中点，交于一点，设，则：因为，所以，由公理2可知交于一点【评注】共点问题的证明方法是纳入法先说明两条直线相交于一点，再证明其它直线也通过它们的交点.【变式1】反证法证明共点问题.证明：不在同一平面的两两相交的三条直线共点【解析】如图，已知两两相交，且不在同一平面，求证：交于一点设确定平面假设，不妨设，则：，由公理1可知，与不在同一平面矛盾故交于一点【变式2】三个平面两两相交，三条交线交于一点，则三面共点三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不互相平行，则它们的位置关系为 _【解析】设a，=b，=c a，b，c不互相平行，不妨设a与b相交于点O，则，又点O是与的一个公共点，而与的交线为c，所以点Oc即a，b，c交于同一点O1.4 截面问题【例4】正方体中，如图，过作出正方体的截面【解析】如图所示在同一个表面中，连接，并延长，与的延长线分别交于，则，又，连接，并延长，与的延长线交于，则：，又，连接，与分别交于两点，得正方体的截面【评注】几何体的截面的作法主要是依据四个公理以及点、线、面的位置关系加以解决。【变式1】截面多边形的形状的判断.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）.时，为四边形；当时，为等腰梯形； 时，与的交点满足；时，为六边形；当时，的面积为。 【解析】对于，当时，如图. 过点作的平行线交棱于，过点作的平行线交于，连结，则四边形是平行四边形，故，由平行公理知，故截面就是四边形，故正确； 对于，当时，仿可知截面就是等腰梯形，故正确； 对于，当时，如图，仿可知，截面是五边形，故，故正确；对于，可仿知得到的截面为五边形，故不正确；对于，当时，如图，仿可知，截面是四边形，该四边形是一个对角线长分别为的菱形，故其面积为，故正确.答案为.【变式2】满足条件的直线的作法，需转化为两个平面的交线.正方体中，如图，分别为的中点，为平面的中心，（1）过