河南示范性普通高中毕业班教学质量调研考试理科数学

2006年河南省示范性普通高中毕业班教学质量调研考试理科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷（选择题 共60分）参考公式 如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R表示球的半径一、选择题： （1）若集合，则 A. B. C. D. （2）已知等差数列，公差为，且，若，则k A. 6B. 7C. 8D. 9 （3）当时，的值等于 A. 1B. 1C. iD. i （4）设a0为常数，已知和这两个展开式中的系数相等，则a的值为 A. B. C. D. （5）曲线在点P处的切线斜率为k，当k3时的P点坐标为 A. （2，8）B. （1，1），（1，1） C. （2，8）D. （） （6）函数的反函数的解析式为 A. B. C. D. （7）为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度 （8）函数的最大值是 A. B. C. D. （9）在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，则C1O与A1D所成的角为 A. 60B. 90C. D. （10）设椭圆、双曲线、抛物线（其中）的离心率分别为，则下列结论正确的是 A. B. C. D. （11）点O是ABC所在平面内一点，满足，则点O是ABC的 A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心 （12）函数的图象关于直线对称，则导函数的图象 A. 关于直线对称B. 关于直线对称 C. 关于点（1，0）对称D. 关于点（1，0）对称第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 （13）若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为_。 （14）已知x，y满足约束条件，则的最小值是_。 （15）已知点，其中n为正整数。设Sn表示ABC外接圆的面积，则_。 （16）对某种产品的6件不同正品和4件不同次品，一一进行测试，到区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有_种。（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知函数的定义域为R。 （I）当时，求的单调增区间； （II）当，且，当为何值时，为偶函数。 （18）（本小题满分12分） 一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 （I）求前两次取出的都是二等品的概率； （II）用随机变量表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求的分布列及数学期望。 （19）（本小题满分12分） 如图，在直三柱锥ABCA1B1C1中，ACB90，BCCC1a，AC2a。 （I）求证：AB1BC1； （II）求二面角BAB1C的正切值； （III）求点A1到平面AB1C的距离。 （20）（本小题满分12分） 设函数，其中。 （I）求a的范围，使在上是增函数； （II）函数在上能否是增函数？为什么？ （21）（本小题满分14分） 已知、D三点不在同一直线上，且，。 （I）求点E轨迹方程； （II）过F1作直线以F1、F2为焦点的椭圆C于P、Q两点，线段PQ的中点到y轴的距离为，且直线PQ与点E的轨迹相切，求该椭圆的方程； （III）若该圆C的一个顶点T（0，2），试问能否找到一条斜率为k（k0）的直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M，N满足。 （22）（本小题满分12分） 四棱锥SABCD的所有棱长均为1米，一只小虫从S点出发沿四棱锥爬行，若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的。设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为Pn。 （I）求P2、P3的值； （II）求证：； （III）求证：【试题答案】2006年河南省示范性普通高中毕业班教学质量调研考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题 （1）C（2）B（3）D（4）A（5）B （6）B（7）B（8）D（9）D（10）A （11）B（12）C二、填空题 （13）（14）6（15）（16）576三、解答题 （17）（本小题满分12分） 解：（I）当时，。 依条件有： 的单调增区间为 6分 （II）设 依条件令，即时，为偶函数。 12分 （18）（本小题满分12分） 解：（I）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的概率为； 6分 （II）的所有可能取值为2，3，4，的概率分布为234P 12分 （19）（本小题满分12分） （I）证明：ABCA1B1C1是直三棱柱， CC1平面ABC，ACCC1。 ACBC，AC平面B1BCC1。 B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影。 BCCC1，四边形B1BCC1是正方形。 BC1B1C。根据三垂线定理得 AB1BC1 4分 （II）解：设，作OPAB1于点P 连结BP，BOAC，且BOB1C， BO平面AB1C OP是BP在平面AB1C上的射影。 根据三垂线定理得AB1BP。 OPB是二面角BAB1C的平面角 在RtPOB中， 二面角BAB1C的正切值为 8分 （III）解：解法1：A1C1AC，AC平面AB1C， A1C1平面AB1C。 点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C的距离相等。 BC1平面AB1C， 线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离 点A1到平面AB1C的距离为a 12分 解法2：连结A1C，有设点A1到平面AB1C的距离为h。 B1C1平面ACC1A1，h， 又 ， 点A1到平面AB1C的距离为 12分 （20）（本小题满分12分） 解：（I）若在0，）上是增函数，则时 恒成立 即恒成立 故a的取值范围是 6分 （II）若上是增函数 则恒成立 即对所有的均成立 得，与题设矛盾。 上不是增函数 12分 （21）（本小题满分14分） 解：（I）设E（x，y），则 由已知得 即为点E的轨迹方程。 4分 （II）设椭圆C的方程为，过F1的直线为 ，P、Q在椭圆C上， 两式相减，得 而， 代入得 由与圆相切，得代入得， 而椭圆C的方程为 9分 （III）假设存在直线，设MN的中点为 由|TM|TN|，TP为线段MN的中垂线，其方程为 又设 相减并由 整理得： 又点P（4k，2）在椭圆的内部 ，解之得，即k不存在 不存在直线l满足题设条件。 14分 （22）（本小题满分12分） 解：（I）P2表示