高二数学暑期辅导材料函数人教

高二数学暑期专题辅导材料 函数一、 要点透视函数是高中数学最重要的内容之一，它内涵丰富，不仅其自身涉及到较多的思想方法，而且运用函数去分析与解决其他数学问题也是历来高考热点之一。函数思想是解决数学问题的重要教学思想之一，它是一根主线，贯穿整个高中数学的全过程。 主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性（周期性）、几个基本初等函数 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图象与性质定义域、值域、奇偶性、单调性、图象的对称性等。数形结合思想是本章的最基本的数学思想，另外，分类讨论思想、化归思想等也是本章的基本思想。二、 典型例题解析例1已知集合，。其中，若，映射使B中元素和A中元素对应。求和的值。解：A中元素对应B中元素，中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10。或 又 无解，而由解得，那么的象是，故 综上所述：例2判断下列各题中，函数与是不是同一函数？说明理由。，；，；，；，；，； ，解：的定义域是，而的定义域是R，与的定义域不同，与是两个不同的函数。与的定义域都是R，又，即与的对应法则边相同，所以与是相同函数。由于，它们对应法则不同，所以与是不同函数。是不同函数，的定义域是R，而的定义域是是相同函数，与的定义域都，又，所以它们的对应法则也相同。说明：定义域、值域、对应法则是函数的三大要素，定义域与对应法则确定则值域也随而定，故两个函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则（在本质上）相同。例3求下列函数的定义域解：由 结合右图：故原不等式的解集是由或或解之得：或或或由有， 当时，当时，则与同正或同负，故定义域为。说明：求由函数解析规定的定义域，主要考虑以下几个因素分式的分母不为0；偶次根式被开方式大于等于0；对数真数大于0，底数大于0且不等于1等。例4已知函数定义域为R，则的取值范围是 已知函数的定义域是，则函数的定义域是 若函数定义域是，则函数的定义域是 函数定义域是，则函数定义域是 解：由，则当时，显然；当时，要使，对任意恒成立，当且仅当即 综上所述：的范围是由，则，即函数的定义域是由的定义域是，则，的定义域是由得，故的定义域是例5函数的定义域是R，求实数m的取值范围。解：由对恒成立，即对任意恒成立。而（当且仅当时取“”） 的取值范围是说明：对于恒成立问题，一般地，若，恒成立，的取值范围是；若，恒成立，则的取值范围是，。例6求下列函数的值域解：由，故的值域是令，则结合二次函数的图象得出函数值域是 y由 8图象如右 3 0 5 x故的值域是 函数的定义域是R。由有当时，无解，当时，即 综上原函数的值域是。例7是R上奇函数，解关于的不等式函数的定义域为R，对任意，都有，且时，。求在上的最值。解：是奇函数，对任意，即，故 设，则 由于， 故在R上是单调增函数，其值域为又由由即 故的解集是说明：本题在求值也可由直接求出，更加便捷。另外在解时，也可如下处理：节R上单调增，由则即又 的解集是由于对任意、，都有 又 是奇函数。又设 即即是R上单调减函数 ，而 ，例8设，且，如果的定义域为，求的取值范围。解：由题意，得的解集为，即在上恒成立。令，是减函数又， 得的取值范围为 当时，取最大值，故说明：转化为恒成立问题，再求的最大值利用单调性例9对的哪些值，函数的值域包含？解：当时，若，则无解；若，则总有解。故。当时，则方程，为使方程对有解，则对恒成立。 设，则在上是两个减函数的和，也是减函数，故 当时，对总成立，方程总有解。综上所述，当且时，函数的值域包含例10已知，试证明的图象上不存在两点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直。解：由得，故函数的定义域是设图象上存在不同两点，且，则 ， 故函数在上为减函数，则垂直于y轴的直线与的图象至多有一个交点。所以，函数图象上不存在两点A、B，使直线AB与y轴垂直。说明：问题的实质是证明函数具有某种单调性。例11已知在上为单调函数，求的取值范围。解：在区间上任取、，则 要使在上单调增，即当时，要，只要恒成立，由，应有，但条件，故与题设矛盾，舍去。同理，要使在上是减函数，即恒成立，即在恒成立，又由可得综上所述，时函数在上为单调减函数。说明：本题针对函数单调性，作逆向分析，将问题转化为恒成立问题，对函数单调性的概念考查深入。例12解方程；设、是三角形的三边长，求证：解：原方程即为构造函数，易知函数在R上是增函数，于是原方程化为 由是单调增函数，故原方程的解是设，则，在上是增函数，又 即 又 说明：本题是函数单调性的应用。例13动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D，再回到A，设x表示点P的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数式。 解：如图，当点P在AB边上运动点，； 当点P在BC边上运动时，； P 当点P在CD边上运动时，；当点P在DA边上运动时， 故所求函数式为 D P C PA B例14已知是定义在上偶函数，当时是减函数，如果不等式恒成立，求实数的取值范围。解：是偶函数 不等式等价于 即 解之得：说明：本题充分利用偶函数的性质：，简化分解过程中繁琐的讨论。例15若函数的图象与其反函数的图象完全重合，其中实数、满足：，则此函数应具有怎样的解析式？解：由得， 函数的反函数由题设的图象与的图象完全重合可知，对定义域内的一切实数都有即 即 当，时；当，时，当，时，因此函数具有以下三种形式：，例16已知二次函数满足，且方程有等根。求、；是否存在实数、，使得函数在定义域内值域为。如果存在，求出、的值，如果不存在，请说明理由。解： 的图象关于直线对称，即 即有等根， 由三个式得，由得 ， 在上是单调增函数即 、是方程的两个不等根。解得 ，答：存在，满足条件巩固练习1已知映射，其中，B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素是，则B中元素的个数是（ ）A4 B5 C6 D72设集合A和B都是，映射把集合A中的元素n映射到B中元素是在映射f下，象20的原象是（ ）A2 B3 C4 D53从集合到集合的映射共有（ ）个A2 B3 C4 D54下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）A， B，C， D，5下列图象中，不可能是函数的图象是（ ） y y y y0 x 0 x 0 x 0 x A B C D6函数的定义域是（ ）A B C D7如果函数满足，则（ ）A3 B3 C3或3 D5或38若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）A B C D9已知函数，那么，当时，（ ）A B C D10函数满足，且，则 11由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为 。12函数的定义域是 13函数的定义域是R，则的取值范围是 14值域是 15，则方程的解集是 16已知定义域是求的定义域； 定义域；17若的定义域和值域都是，求参考答案1A 2C 3C 4A 5D6C 7B 8B 9B10111213141516 当时，当时，17能力提高1已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）A B C D2已知函数是偶函数，定义域为R，且在上递减，则下列各式正确的是（ ）A BC D3在区间上，函数与在同一点处取得相同的最小值，那么在上的最大值是（ ）A B C D4已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）A B C D5对于满足的所有实数，使不等式都成立的的取值范围是（ ）A B C D6现有一组实验数据如下：1.99 3.0 4.0 5.1 6.12：1.5 4.04 7.5 12 18.01准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A B C D7，的值域是 8的单调增区间是 9若为奇函数，则实数 10若函数在上单调递减，则的取值范围是 11设二次函数，若存在使，则实数的取值范围是 12若关于的方程有正数解，则的取值范围是 13若且，则、的大小关系是 14设是正数，记的最