怎样探讨轨迹的纯粹性人教_第1页
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怎样探讨轨迹的纯粹性 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本知识，课本在谈到曲线的方程和方程的曲线时，指出两个关系： 曲线上的点的坐标都是方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 其中我们叫曲线方程的完备性；叫曲线的方程的纯粹性。在求轨迹方程时，教材强调分五步求轨迹方程，“除个别情况外。化简过程都是同解变形过程，步骤5（即证明）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明。”所谓予以说明，就是要探讨轨迹方程的纯粹性很多学生对此缺乏规律性的认识，以至心有余而力不足，那么，解决轨迹方程的纯粹性问题应该怎样进行呢?笔者总结了一首歌诀： 纯粹性，看转换，以等价，找特征；条件显，看方程，条件隐，画图形。 下面就几个实例来研究一下。 一、显性条件的制约 例1、设动直线轴，且与椭圆交于A，B两点，P是上满足的点，求P点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形?解：列方程的主要依据是，由AB轴可设，且A、B在椭圆上，若设P点坐标为， 即，即。代入条件得：，即。 又，即。故轨迹方程为或。 点评：很多学生到此为止，不再考虑条件限制。这道题属于显性条件约束P点轨迹是因AB移动而产生的，即，而有范围：-22（由椭圆决定）。故必有-22。又当时，A，B两者重合于一点（原已知椭圆的顶点），不满足题意，因此为必备条件，显然所求轨迹中的超过了这个范围，应该剔除不合条件的点，“纯粹”所求轨迹。正确的结论是：或，轨迹图形是两个椭圆夹在直线间的部分。 总结：本题条件显然，因此“纯粹性”的讨论不是很棘手，直接由原已知椭圆的几何性质 “范围”可以得出，如已自身满足，因此可以不标明。这正是：条件显，看方程。 例2、ABC 一边的两个端点是B（0，6）和C（0，一6），另两边斜率的积是，求顶点A的轨迹。解：设动点A，由两边斜率之积为。 列方程，整理为。点评：这道题的约束条件是显性的，顶点A必须满足与B，C构成ABC。即剔除A，B，C三点共线的情况（），反映到方程中也可以表示成，正确解答如前，只需在所求方程后附加条件：（y 6或y 0，即且。 即M点必须在大圆内、小圆外，如果去解不等式得出范围太繁杂了，显然当M（8，0）时，要舍去。综合各方面因素，最终仍是结论：条件隐，画图形。 总体看来，“纯粹”轨迹方程既可以从方程的等价性入手，也可以从结论本身入手，画出轨迹图形再剔除不满足题意的点。至于条件的隐显只是相对而言，关键还是看学生有没有轨迹方程的“纯粹”意识。在此基
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